1、數學模型實驗一實驗報告10學院： 專 業：姓 名：學號： 實驗時間： 實驗地點：一、實驗項目：傳染病模型求解二、實驗目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的數值解三、實驗內容問題的描述各種傳染病給人類帶來的巨大的災難，長期以來，建立傳染病的數學模型來描述傳染病的的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點，在此以一般的傳播機理建立幾種 3模型。分別對3種建立成功的模型進行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一(SI模型)：(1)模型假設1 .在疾病傳播期內所考察地區的總人數

2、N不變，人群分為健康人和病人， 時刻t這兩類人在總人數中所占比例為s (t)和i (t)。2 .每個病人每天有效接觸的平均人數是常數a, a成為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，可使其患病。(2)建立模型根據假設，每個病人每天可使as (t)個健康人變成病人，t時刻病人數為Ni (t),所以每天共有aNsNdi/dt=aNsi(t) i (t)個健康者被感染，即病人的增加率為:又因為 s (t) +i (t) =1再記時刻t=0時病人的比例為i0則建立好的模型為：diai (1 i) dt(3)模型求解syms a i t i0 %的值i(0)=i0:日接觸率，i ：病人比例，s :健康人比

3、例，i0 :病人比例在t=0時(代碼、計算結果或輸出結果)i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,);ezplot(y,0,100)figure i=str2double(i); i=0:1;y=*i.*(1-i);piot(i,y)SI模型的it曲線SI模型的di/dti 曲線(4)結果分析由上圖可知，在i=0:1內，di/dt總是增大的，且在i二時，取到最大值，即在 t->inf 時，所有人 都將患病。上述模型顯然不符合實際，為修正上述結果，我們重新考慮模型假設，建立SI

4、S模型模型二(SIS模型)(1)模型假設假設條件與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數占病人總數的比例為常數u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s(t)=1 ;則有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定義k=a/b ,可知k是整個傳染傳染期內每個病人有效接觸的平均人數，成為接觸數。則建立好的模型為：di aii (1 1/k)dti(0)=i0;(2)模型求解(代碼、計算結果或輸出結果)>> syms a i u t i0 % a日接觸率，i ：病人比例，u：日治愈

5、率，i0 :病人比例在t=0時的值>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')%> > syms k% k> > k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t') %給k、a、i0指定特殊值，作出相關圖像> > y=subs(i,k,a,i0,2,);%> > ezplot(y,0,100)>>pause%>

6、; > gtext('1/k')> >legend('k>1 本例中 k=2')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:1;> > y=*i.*i-1/2;> > plot(i,y)%> > gtext('1-1/k, 在此圖中為')求用u表示的i t解析式:接觸數求用k表示的i t解析式k>1的情況，以k=2為例作i t圖，分析隨時間t的增加,i的變化作di/dt -i的圖像>> legend(

7、9;k=2')k<1的情況，以k=為例作i t圖，分析隨時間t增加，i的變化作di/dt -i的圖像SIS模型的di/dt i曲線 (k>1)SIS 模型的i t曲線(k>1)SIS模型的di/dt i曲線 (k<1)(4)結果分析不難看出，接觸數 k=1是一個閾值，當SIS 模型的i t曲線(k<1)k>1時，i (t)的增減性取決于i0的大小，但其極限值i( 8)=i-i/k隨k的增加而增加；當 k<=i時，病人比例i (t)越來越小，最終趨于 0,這是由于傳染期內經有效解除從而使健康者變為的病人數不超過原來病人數的緣故。模型三.SIR模型

8、(1)模型假設1 .總人數N不變，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱SIR模型。時刻t三類人在總人數N中占得比例分別記作可。/"和r(t)。2 .病人的日接觸率為，日治愈率為(與SI模型相同)，傳染期接觸數為(2)模型建立由假設1顯然有s(t) i(t) r(t) 1(1)對于病愈免疫的移出者而言應有drN Nidt(2)再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是SIR模型的方程可以寫作s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨設移出者的初始值r0=0),則di dt ds dtsi i,i(0) toSi, S(0)So(3)> > y=subs(i,

9、k,a,i0,);%> > ezplot(y,0,100)%> > legend('k<1 本例中 k=')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:1;> > y=*i.*i-(1-1/;> > plot(i,y)%> > legend('k=')> > gtext('k<=1 時的情況)(3)模型求解我們無法求出解析解，先做數值計算:設 1,O.3，i(0) O.02，S(0) 0.98,用 matla

10、瞅件編程:function y=ill a=1;b=;(t, x)y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=,；t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pause plot(x(:,2),x(:,1)表1i(t),s(t)的數值計算結果ti(t)012345678s(t)t91015202530354045i(t)0s(t)i(t),s的圖形is圖形(相軌線)(4)結果分析i(t)，s(t)的圖形見左圖，is的圖形見右圖，稱為相軌線，隨著t的增加，($D

11、沿軌線自右向左運動。由上圖結合表1可知，i(t)由初值增長至約t 7時達到最大值，然后減少，t ，t 0;s(t)則單調減少 t ,s O.0398。進行相軌線分析，可得：s i平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域(SD D為D (s,t)|s 0,i 0,s i 1在方程(3)中消去dt ,并注意到的定義，可得di 1 d二1 i |idt s |s s00(4)容易求出它的解為1 . si(So I。) s -ln -s0(5)在定義域D內，上式表示的曲線即為相軌線1.不論初始條件s0,i0如何，病人終將消失，即ds其證明如下，首先，由（3）, dti 0八dr -0 0而s0故s存在

12、；由（2）, dt ，而r故r存在,dr再由（1）,對于充分大的t有dt2 ,這將導致，與r存在相矛盾。2.最終未被感染的健康者的比例是s，在（5）式中令i 0得到，s是方程s0i01 . s 八s 一 ln 0s在（0，1/ ）內的根。在圖形上，s是相軌線與s軸在9,3 ）內交點的橫坐標。3.若s0 1/ ，則i先增加，當s 1/時，i達到最大值1i 生 i0（1 ln %）（8）然后i（t）減小且趨近于0, s（t）則單調減小至s 。4.若s0 1/ ,則i（t）單調減少至0, s（t）單調減少至s。如果僅當病人比例i（t）有一段增長的時期才 認為傳染病在蔓延，那么 1/是一個閾值，當s0 1/ （即1/s。）時傳染病就會蔓延。而減小傳染期接觸數，即提高閾值1/ ,使得s0 1/ （即 I/%）,傳染病就不會蔓延（健康者比例的初始值比是一定的，通常可認為 s0接近1）。并且，即使S。1/ ，從（7）,（8）式可以看出，減少時，s增加（通過作圖分析），im降低，也控制了蔓延的程度，我們注意到，在/中，人們的衛生水平越高，日接觸率 越小；醫療水平越高，日治愈率越大，于是 越小，所以提高衛生水平和醫療水平有助于控制傳染病