1、第十章 無窮級數(shù) 張俊飛 主編第一節(jié) 無窮級數(shù)的概念（1、2）教學(xué)目的：理解無窮級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念，會用Mathematica判斷級數(shù)的斂散性。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：無窮級數(shù)的概念，利用Mathematica來判斷級數(shù)的斂散性。教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課無窮級數(shù)是研究函數(shù)的性質(zhì)、表達(dá)函數(shù)以及進(jìn)行數(shù)值計算的有力工具。無窮級數(shù)的理論豐富，應(yīng)用也很廣泛。通過例1-4的講解，讓學(xué)生對級數(shù)的概念有所認(rèn)識。二、新授課第一節(jié) 無窮級數(shù)的概念1.通過上述例題引出級數(shù)的概念：定義設(shè)給定數(shù)列，把它們各項依次相加得到的表達(dá)式 稱為常數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為，其中u1叫

2、做級數(shù)的首項，第n項un叫做通項，也叫做一般項我們可以從例題1的級數(shù)中看出首項為，通項為。那么從例題2-4的級數(shù)中的首項為？通項為？定義設(shè)給定數(shù)列unx，把它們各項依次相加得到的表達(dá)式稱為函數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為其中u1x叫做級數(shù)的首項，第n項叫做通項，也叫做一般項例、例和例是常數(shù)項無窮級數(shù)，例是函數(shù)項無窮級數(shù)例是下列函數(shù)項無窮級數(shù)的一般形式如果股票的每年紅利為Dn，市場的貼現(xiàn)利率為 rr>，求股票的價值因為第 n 年的紅利的現(xiàn)值為，故股票的內(nèi)在價值就是無限期紅利現(xiàn)值的總和可見，股票的內(nèi)在價值是通項為Dn1+rn的無窮級數(shù)對于無窮級數(shù)要研究如下問題：（1）常數(shù)項無窮級數(shù)是否趨向于某

3、一常數(shù)？這個常數(shù)是多少？（2）函數(shù)項無窮級數(shù)是否趨向某一函數(shù)？這個函數(shù)是多少？（3）如何將某一函數(shù)表達(dá)成函數(shù)項無窮級數(shù)？（4）如何將某一常數(shù)表達(dá)成常數(shù)項無窮級數(shù)？2、無窮級數(shù)的斂散性我們可以通過對無窮級數(shù)有限項的和進(jìn)行研究，觀測它的變化趨勢，由此來理解無窮級數(shù)多項相加的含義如果Sn為級數(shù)的前n項部分的和，即Sn=u1+u2+un，簡稱為部分和，顯然當(dāng)n依次取，時，部分和構(gòu)成一個新的數(shù)列Sn:S1=u1S2=u1+u2Sn=u1+u2+un把數(shù)列Sn稱為級數(shù)的部分和數(shù)列。定義3當(dāng) n時,如果級數(shù) 的部分和數(shù)列Sn極限存在，其極限值為，即limnSn=則稱級數(shù) 收斂，且稱為它的和，記作。如果Sn的

4、極限不存在，則稱級數(shù) 發(fā)散，發(fā)散的級數(shù)沒有和當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和Sn與級數(shù)的和S近似相等，它們的差SSn稱為級數(shù)的余項，記為Rn=SSn=un+1+un+2+un+3+例5討論幾何級數(shù)（又稱為等比級數(shù)）n=0aqn=a+aq+aq2+aqn+的斂散性。解如果q，則部分和為Sn=a+aq+aq2+aqn-1=a-qn-q當(dāng)q<時，limnSn=a1-q，幾何級數(shù)收斂；當(dāng)q>時，limnqn=，所以limnn=，幾何級數(shù)發(fā)散；當(dāng)q=時，Sn=na，所以limnSn=，幾何級數(shù)發(fā)散；當(dāng)q=-時，這時級數(shù)成為a-a+a-a+a-，其部分和為Sn=，當(dāng)n為偶數(shù)時；a，當(dāng)n為奇數(shù)時，所以此時

5、Sn的極限不存在，級數(shù)發(fā)散。根據(jù)以上的討論，可以得到幾何級數(shù)的斂散性：當(dāng)q<時，幾何級數(shù)= 收斂，且；當(dāng)q時，幾何級數(shù)= 發(fā)散幾何級數(shù)是一個重要的級數(shù)，記住其斂散性結(jié)論對今后的學(xué)習(xí)會有很大的幫助。例6判定級數(shù) 的斂散性解由于 lnn+1n=lnn+-lnn，n=，得到級數(shù)的前n項的部分和Sn=ln21+ln32+ln43+lnn+n =ln-ln+ln-ln+ln-ln+lnn+1-lnn=lnn+, 因為limnn=limnlnn+=+，所以，級數(shù)發(fā)散例7判斷級數(shù) 的斂散性解該級數(shù)的前n項的部分和 =12-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=12-12n+1 因為li

6、mnSn=limn12-12n+1=12，所以級數(shù)收斂。（第二節(jié)課）3、利用Mathematica來判斷級數(shù)的斂散性通過以上的例子，我們了解到判斷級數(shù)的斂散性問題，可以轉(zhuǎn)化為求級數(shù)的部分和，以及求部分和的級限問題因此，利用Mathematica軟件中的求和語句Sum與求極限語句Limit，就可以方便地判斷級數(shù)的斂散性Mathematica軟件中的求部分和語句Sumxn，n，s，m可以給出和式 xs+xs+1+xm 的計算結(jié)果例8利用Mathematica軟件判斷級數(shù) 的斂散性解（1）求級數(shù)的部分和In1:=Sum1/(2n-1)(2n+1),n,1,n)Out1=n/1+2n （2）求部分和極

7、限In2=Limitn1+2n，nInfinity Out2=1/2 由于部分和極限存在，所以級數(shù)收斂Mathematica軟件中的求無限和語句Sumxn，n，s，Infinity可以給出級數(shù)xs+xs+1+xm+的計算結(jié)果判斷級數(shù) 的斂散性，只要輸入In2:= Sum1/(2n-1)(2n+1),n,1,Infinity)則 Out2=1/2例利用Mathematica軟件判斷級數(shù)的斂散性解 In1:=SumLog(n+1)/n,n,1,Infinity則輸出級數(shù)發(fā)散的提示Sum:"div": "Sum does not converge. MoreMathem

8、atica軟件中的求和語句 Sumxn，n，s，Infinity能夠用于判斷級數(shù)的斂散性，并且給出級數(shù)的和，有很強(qiáng)的實(shí)用性但是，為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要，我們?nèi)匀粦?yīng)該了解級數(shù)的一些相關(guān)理論三、小結(jié)1.級數(shù)的概念。 2.級數(shù)的斂散性定義。 3.用Mathematica判斷級數(shù)的斂散性。 有限項求和語句：Sumxn,n,s,m 無限項求和語句：Sumxn,n,s,Infinity四、課堂練習(xí)書   習(xí)題101 1判斷下列級數(shù)的收斂性：2判斷下列級數(shù)的收斂性：五、課外作業(yè)：P218 習(xí)題10-1 1.（1）（3） 2.（2）（4）第十章 無窮級數(shù)第二節(jié) 無窮級數(shù)的性質(zhì)與斂散

9、性（3）教學(xué)目的：理解無窮級數(shù)的性質(zhì)，會用無窮級數(shù)的性質(zhì)判斷級數(shù)的斂散性。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：無窮級數(shù)的性質(zhì)，斂散性的判定。教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：45分鐘教學(xué)過程一、引入新課由無窮級數(shù)的斂散性定義可知，級數(shù)的收斂問題，實(shí)際上就是其部分和數(shù)列的收斂問題，因此，我們能夠應(yīng)用數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)來得到級數(shù)的一系列重要性質(zhì)二、新授課1、無窮級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)如果級數(shù) 與級數(shù) 分別收斂于、，則級數(shù) 也收斂，且有性質(zhì)如果級數(shù) 收斂（發(fā)散），k為任一常數(shù)且k0，則級數(shù) 也收斂（發(fā)散），且收斂時有n=1kun=kn=1un.即級數(shù)的每一項同乘以一個非零常數(shù)，其斂散性不變例判別級數(shù) 的斂散性解 顯然

10、而幾何級數(shù) 收斂，由性質(zhì)得級數(shù)也收斂性質(zhì)在級數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項，不影響級數(shù)的斂散性性質(zhì)如果級數(shù) 收斂于，則對其各項間任意添加括號后所得的級數(shù)仍收斂，且其和不變注意當(dāng)原級數(shù)收斂時，任意括號后所得到新級數(shù)也收斂，反之則不然如果加括號后的級數(shù)收斂，則原來級數(shù)未必收斂例如，將發(fā)散級數(shù)a-a+a-a+-1n-1a+的相鄰兩項加括號，則a-a+a-a+a-a+=0得到的新級數(shù)收斂然而，重新加括號得到的新級數(shù)不收斂。性質(zhì) （級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù) 收斂，則極限limnun=0它的逆否命題是：若級數(shù)一般項不趨向于零，該級數(shù)發(fā)散常常利用性質(zhì)來判斷一個級數(shù)的發(fā)散例判別級數(shù) 的斂散性，其中a、b、c

11、、k為常數(shù)且k、a.解因為a.，所以limnun并不等于零，所以級數(shù)發(fā)散需要注意的是，一般項趨向于零的級數(shù)不一定收斂例如對于級數(shù) ，滿足條件limnun=limnlnn+1n=limnln+1n=，但是在上一節(jié)中，我們已經(jīng)證明它是發(fā)散的三、小結(jié)性質(zhì)1-性質(zhì)5四、課堂練習(xí)書   習(xí)題102 習(xí)題10 - 21選擇題： （1）下列命題正確的是（ ）； A若，則級數(shù)收斂； B若，則級數(shù)收斂； C若級數(shù)發(fā)散，則； D若級數(shù)發(fā)散，則必有。 （2）下列命題正確的是（ ）；A若級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散；B若級數(shù)收斂，則級數(shù) 都收斂；C若級數(shù)收斂，發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散；D若級數(shù)發(fā)散

12、，則級數(shù) 都發(fā)散。 （3）下列命題正確的是（ ）.A若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂； B若級數(shù)收斂，則；C若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散； D若 ，則級數(shù)收斂。第十章 無窮級數(shù)第三節(jié) 正項級數(shù)（4、5）教學(xué)目的：掌握正項級數(shù)的比較判別法，會用比較判別法和柯西判別法判斷級數(shù)的斂散性。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：比較判別法，根值判別法的應(yīng)用。教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)無窮級數(shù)的性質(zhì)。二、新授課1、正項級數(shù)的定義在研究了級數(shù)的基本性質(zhì)之后，我們將進(jìn)一步了解不同類型級數(shù)的各自特征，本節(jié)要討論一般項大于等于零的特殊級數(shù)定義設(shè)級數(shù)，若unn=1，2，則稱級數(shù) 為正項級數(shù)對于正項級數(shù)，由于un，

13、因而Sn+1=Sn+un+1Sn，所以正項級數(shù) 的部分和數(shù)列Sn必為單調(diào)增加數(shù)列，即S1S2Sn-1Sn如果部分和數(shù)列Sn有界，則由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則知道，單調(diào)有界數(shù)列必有極限，所以limnSn存在，此時正項級數(shù)收斂；反之，若正項級數(shù)收斂，即limnSn=S，則數(shù)列Sn必有界，由此得到如下定理：定理一 正項級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列Sn有界根據(jù)這個充要條件，我們可以建立幾個驗證正項級數(shù)斂散性的判別法定理二 比較判別法，對于正項級數(shù)和 ，且unvnn=1，2，成立，（1） 如果級數(shù) 收斂，則級數(shù)也收斂；（2） 如果級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散證明略通俗地說，若一個級數(shù)收斂，那么每項都比它小的那個

14、級數(shù)肯定也收斂；若一個級數(shù)發(fā)散，那么每項都比它大的那個級數(shù)肯定也發(fā)散有時用比較判別法的極限形式更方便，對于正項級數(shù) 和 ，若滿足limnunvn=l0<l<+則級數(shù) 和 有著相同的斂散性。比較差別法需要與一個已知斂散性的級數(shù)比較，在實(shí)際應(yīng)用中也可以對級數(shù)自身相鄰項分析來判斷級數(shù)的斂散性例 判定調(diào)和級數(shù) 的斂散性解 =1+12+13+1n+ =1+12+13+14+15+16+17+18+19+116+ +>12+14+14+18+18+18+18+116+116+ +=12+12+12+12+ 即調(diào)和級數(shù)大于一般項為 的正項級數(shù)顯然由于一般項為的正項級數(shù)是發(fā)散的由定理二可得，

15、調(diào)和級數(shù)也是發(fā)散的此外，對于廣義調(diào)和級數(shù) ，也可以證明當(dāng)p>1時收斂，p1時發(fā)散p>1事實(shí)上當(dāng)有 = =即有上界，又對任意n有，所以，故有界，級數(shù)（p>1）是收斂的。例證明：級數(shù) 收斂證明因為級數(shù)的一般項滿足<1n!=××××n<n-而等比級數(shù) 是收斂的，根據(jù)定理二可得，級數(shù) 收斂定理三比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法），設(shè)正項級數(shù) ，如果 ，則（1）當(dāng)l<1時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng) 時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng) 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（此時要用其他方法判定）證明略定理四根值判別法（柯西判別法），設(shè)正項級數(shù)的一般項un的n次根的

16、極限滿足limnnun=l則（1）當(dāng)l<1時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)l>1時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)l=1時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（此時要用另的方法判定）證明略（第二節(jié)課）2、 利用Mathematica來判斷級數(shù)的斂散性例判定級數(shù) 的斂散性解利用Mathematica軟件求極限limnun+1un In1:= Limit(3(n+1)/(n+1)2(n+1)/(3n/(n2n),nInfinityOut1=32 由于極限大于，根據(jù)定理三可得，級數(shù)發(fā)散例判定級數(shù)的斂散性解由于 ncosn2nn2n因為cos2n3對于級數(shù)，利用Mathematica軟件求極限limnun+1unIn1=L

17、imit(n+1)/2(n+1)/(n/2n )，nLnfinity Out1=12 由于極限小于，根據(jù)定理三可知，級數(shù) 收斂，再根據(jù)定理二可得，級數(shù) 收斂三、小結(jié)1.正項級數(shù)的定義2.正項級數(shù)斂散性的判別法：（1）比較判別法；（2）比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）；（3）根值判別法（柯西判別法）。四、課堂練習(xí)書   習(xí)題103習(xí)題10 31選擇題： （1）下列命題正確的是（ ）； A若正項級數(shù)，則； B若正項級數(shù)，則必收斂； C若正項級數(shù)，則必有； D若，則級數(shù)必收斂。 （2）下列正項級數(shù)收斂的是（ ）.2用比較判別法判定下列級數(shù)的收斂性：3用比值判別法判定下列級數(shù)

18、的收斂性：4判定下列級數(shù)的收斂性：五、課外作業(yè)：P224 習(xí)題10-32. （1）（3）3. （1）（2）4. （1）（2）第十章 無窮級數(shù)第四節(jié) 交錯級數(shù)與任意項級數(shù)（6）教學(xué)目的：理解交錯級數(shù)的概念，能判斷級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：無窮級數(shù)的概念，斂散性的判定。教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：45分鐘教學(xué)過程一、引入新課本節(jié)討論各項有任意正負(fù)號的級數(shù)首先討論一種特殊形式，即正負(fù)項相間的級數(shù)。二、新授課1、交錯級數(shù)的定義定義1如果un>n=1，2，則稱級數(shù) 或 為交錯級數(shù)交錯級數(shù)的各項是正負(fù)相間的，關(guān)于交錯級數(shù)有以下定理：定理五萊布尼茲判別法，如果交錯級數(shù) 滿

19、足條件（1）unun+1n=1，2，； （2）limnun=， 則交錯級數(shù) 收斂，且其和u1，用它前n項的部分和Sn作為級數(shù)的和的近似值時，誤差Sn-Sun+1證明略例判別交錯級數(shù) 的斂散性解因為un=1n>1n+1=un+1，limnun=limn1n=根據(jù)萊布尼茲判別法，交錯級數(shù)n=1-1n-n收斂2、絕對收斂與條件收斂設(shè)有級數(shù)= u1+u2+un+，其中un為任意實(shí)數(shù)，那么該級數(shù)叫做任意項級數(shù)可見，交錯級數(shù)是任意項級數(shù)的一種特殊形式對任意項級數(shù)，我們給每項加上絕對值符號構(gòu)造一個正項級數(shù)，n=1un=u1+u2+u3+un+，任意項級數(shù)的斂散性判定涉及絕對收斂與條件收斂定義設(shè)有任意項

20、級數(shù) ，如果級數(shù) 收斂，則稱級數(shù) 絕對收斂，級數(shù) 發(fā)散，而級數(shù) 收斂，則稱級數(shù) 條件收斂由任意項級數(shù)各項的絕對值組成的級數(shù)是正項級數(shù)，因此，一切判別正項級數(shù)斂散性的方法，都可以用來判別任意項級數(shù)是否絕對收斂定理六如果任意項級數(shù) = u1+u2+un+，滿足條件limnun+1un=，則當(dāng)l<1時級數(shù)絕對收斂，當(dāng)l>1式級數(shù)發(fā)散例證明級數(shù) 絕對收斂證利用Mathematica軟件求解limnun+1un In1:=Limit(n+1)!/(n+1)(n+1)/(n!/(nn),nInfinityOut1= 其極限值小于，根據(jù)定理，原級數(shù)絕對收斂容易理解，絕對收斂的級數(shù)必定是收斂的反之

21、不然，當(dāng)級數(shù) 發(fā)散時，只能判斷 非絕對收斂，而不能判斷它必定發(fā)散如級數(shù) 絕對收斂，為條件收斂例證明級數(shù) 絕對收斂，并求其和解利用Mathematica軟件求解limnun+1un In1:=Limit(2(n+1)-1)/2n)/(2n-1)/(2(n-1),nInfinityOut1=12 limnun+1un小于，所以級數(shù) 絕對收斂利用Mathematica軟件求和 In1:=Sum(-1)(n-1)(2n-1)/(2(n-1),n,1,InfinityOut1=29 所以，級數(shù) n=1-n-12n-12n-=29三、小結(jié)1.交錯級數(shù)的定義2.絕對收斂與條件收斂的概念3.交錯級數(shù)斂散性的判

22、斷方法4.用mathematica軟件求交錯級數(shù)的斂散性四、課堂練習(xí)書   習(xí)題104 習(xí)題10 41選擇題：（1）對于級數(shù)，以下結(jié)論正確的是（ ）； A當(dāng)時級數(shù)條件收斂； B當(dāng)時級數(shù)絕對收斂； C當(dāng)時級數(shù)絕對收斂； D當(dāng)時級數(shù)發(fā)散。 （2）下列級數(shù)條件收斂的是（ ）； （3）下列級數(shù)絕對收斂的是（ ）； 五、課外作業(yè)：P227： 第2題第十章 無窮級數(shù)第五節(jié) 冪級數(shù)（7、8）教學(xué)目的：理解冪級數(shù)的有關(guān)概念，會求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，理解冪級數(shù)的性質(zhì)并會用性質(zhì)求和函數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：冪級數(shù)的概念，收斂區(qū)間及求法，冪級數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，能用Mathematica

23、求和函數(shù)。教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課在前面兩書中我們討論了常數(shù)項級數(shù)的一些初步理論，現(xiàn)在我們將討論應(yīng)用更為廣泛的函數(shù)項級數(shù)。二、新授課1、冪級數(shù)的收斂區(qū)間定義1形式為a0+a1x-x0+a2x-x02+anx-x0n+的級數(shù)，稱為x-x0的冪級數(shù)，簡記作，其中a0，a1，an，均為常數(shù)稱為冪級數(shù)的系數(shù)當(dāng)x0=時，將 級數(shù)稱為x的冪級數(shù)冪級數(shù)的斂散性問題可以借用常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別方法，當(dāng)x具體實(shí)數(shù)值x0時，冪級數(shù) 就成為一個常數(shù)級數(shù)對于冪級數(shù)，取an=1，x=12，得到的常數(shù)項級數(shù) 收斂；取an=1，x=2，得到的常數(shù)項級數(shù) 發(fā)散可見，不能籠統(tǒng)地判

24、斷一個冪級數(shù)的斂散性，而應(yīng)該考慮 x 在哪個范圍內(nèi)冪級數(shù)收斂，這就引出了收斂半徑和收斂區(qū)間兩個概念當(dāng)x=x0時，冪級數(shù) 收斂，稱點(diǎn)x0為冪級數(shù)的收斂點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的集合，稱為冪級數(shù) 的收斂域；反之，所有發(fā)散點(diǎn)的集合，稱為發(fā)散域定義2如果存一個正數(shù)，使得當(dāng) x<時，冪級數(shù) 絕對收斂；當(dāng) x>時，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng) x或 x-時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散正數(shù)稱為冪級數(shù) 的收斂半徑有關(guān)冪級數(shù)的收斂半徑存在如下定理：定理設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足limnun+1un=l（1）如果 ，則收斂半徑 ；（2）如果 ，則收斂半徑 ；（3）如果 ，則收斂半徑 例求級數(shù) 的收斂區(qū)間，并求和函數(shù)解利用Mathema

25、tica軟件求limnun+1unIn1:= Limit(1/(n+1)/(1/n),n®InfinityOut1=1所以收斂半徑=1當(dāng)x=1時，級數(shù) 為，該級數(shù)收斂；當(dāng)x=-1時，級數(shù)為 ，該級數(shù)發(fā)散所以，級數(shù) 收斂區(qū)間為(-1，1In2=Sum(-x)n/n，n，1，LnfinityOut2=-Log10，1+x 因此， 例求級數(shù) 的收斂區(qū)間，并求和函數(shù)解利用Mathematica軟件求limnun+1unIn=Limit(1/(n!*(n+1) ) )/(1/ (n!)，nLnfinity Out= 所以收斂半徑=+，收斂區(qū)間為-，+In2=Sumxn/n！，n，1，Lnfin

26、ity Out2=-1+ex 因此， 例 求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間，并求和函數(shù)解 我們可以利用比值法（達(dá)朗貝判別法）來確定冪級數(shù)的收斂問題，首先利用Mathematica軟件求limnun+1unIn1=Limit(x(2n+2-1) )/2(n+1) ) )/(x(2n-1)/(2n)，nLnfinity Out1=x2/2 當(dāng)12x2<1時，即 x<2 時，級數(shù)收斂；當(dāng)x=2時，級數(shù)為 ，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=-2時，級數(shù)為 ，級數(shù)發(fā)散；所以冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為2，-2In2=Sumx(2n-1)/2n，n，1，Lnfinity Out2=-x-2+x2 因此，利用通項比求冪級數(shù)的收斂區(qū)

27、域區(qū)域是一個重要的方法，適用于所有冪級數(shù)求收斂域的問題（第二節(jié)課）2、冪級數(shù)的性質(zhì)在冪級數(shù)計算過程中，還具有以下重要性質(zhì)：性質(zhì)設(shè)兩個冪級數(shù)=，其收斂半徑分別為R，R2，則n=0anxn+n=0bnxn=n=0an±bnxn=fx±g x，其收斂半徑R=minR，R2性質(zhì)設(shè)冪級數(shù) =的收斂半徑為R，則（1）和函數(shù)在內(nèi)連續(xù)；（2）和函數(shù)在 內(nèi)可導(dǎo)，且即冪級數(shù)在收斂的開區(qū)間上可以逐項求導(dǎo)；（3）和函數(shù)在內(nèi)可積，且0xfxdx=0xn=0anxndx=n=00xanxndx=n=0ann+1xn+1即冪級數(shù)在收斂的開區(qū)間上可以逐項積分例4求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間及和函數(shù)解（1）由lim

28、nan+1an=limnn+2n+1=1，得到收斂半徑R=1當(dāng)x=1時，級數(shù)為 ，一般項不趨于，因此它發(fā)散；當(dāng)x=-1時，級數(shù)為 ，一般項不趨于，它也發(fā)散；所以冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為-1，1（2）用傳統(tǒng)方法求和函數(shù)設(shè)和函數(shù)為：Sx=1+2x+3x2+nxn-1+兩邊由到x積分，得0xSxdx=x+x2+x3+xn+=x1+x+xn-1+ =x1+0xSxdx. 因此， 0xSxdx=x1-x=11-x-1.對兩邊求導(dǎo)，得Sx=ddx0xStdt=ddx11-x-1=11-x2.所以冪級數(shù)的和函數(shù)為（3）用Mathematica軟件求和函數(shù)In1=Sumn(x(n-1)，n，1，Lnfinity

29、Out1=1/(-1+x)2 冪級數(shù) 的和函數(shù)為比較可見（2）與（3）兩種求和方式，傳統(tǒng)的求和需要一定的數(shù)學(xué)技巧，而利用Mathematica軟件的強(qiáng)大功能，可以更方便地求解三、小結(jié)1冪級數(shù)的定義 2冪級數(shù)的收斂區(qū)間 3冪級數(shù)的收斂半徑的判斷 4用Mathematica求冪級數(shù)的收斂半徑 四、課堂練習(xí)書   習(xí)題105習(xí)題10 51選擇題： （1）若冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂開區(qū)間為（ ）； （2）若冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在點(diǎn)處（ ）； A條件收斂 B絕對收斂 C發(fā)散 D斂散性不能確定 （3）若冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂開區(qū)間為（ ）.2求下列冪

30、級數(shù)的收斂域：3求下列冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)：五、課外作業(yè)：P2312. (2)(4)3. (3)(4)第十章 無窮級數(shù)第六節(jié) 冪級數(shù)在函數(shù)逼近中的應(yīng)用（9、10、11）教學(xué)目的：理解泰勒公式，泰勒級數(shù)以及冪級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：泰勒公式，泰勒級數(shù)。教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課無窮級數(shù)是研究函數(shù)的性質(zhì)、表達(dá)函數(shù)以及進(jìn)行數(shù)值計算的有力工具。無窮級數(shù)的理論豐富，應(yīng)用也很廣泛。通過例1-4的講解，讓學(xué)生對級數(shù)的概念有所認(rèn)識。二、新授課對于一些較為復(fù)雜的計算，為了便于研究，我們往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達(dá)某函數(shù)我們常用多項式來近似表達(dá)函

31、數(shù)，稱為用多項式來逼近函數(shù)在微分應(yīng)用中，我們已經(jīng)知道，當(dāng)變量x的絕對值很小時，有如下的近似計算：sinxx，ex1+x，ln1+xx顯然，在x=0處，這些多項式及其一階導(dǎo)數(shù)的值，分別等于被近似表達(dá)的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值但是這種表達(dá)式還存在不足之處就是精度不高，對于精度要求較高且需要估計誤差的情形，往往須用高次多項式來近似表達(dá)函數(shù)，同時給出誤差公式1、泰勒公式定義1設(shè)函數(shù)fx在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有直至n+1階導(dǎo)數(shù)，則對此領(lǐng)域內(nèi)任何一個 x，有+fnx0n!x-x0n+ Rnx，稱為泰勒公式，其中Rnx=fn+n+!x-x0n+叫做余項， 在x0與x之間容易驗證當(dāng)n=0時，泰勒公式fx=fx0+fx-

32、x0就是微分的拉格朗日中值定理特別地，取x0=0時泰勒公式稱為麥克勞林公式例1寫出函數(shù)fx=ex的麥克勞林展開式解因為 , , , fn+1x=ex ，fn+1x=ex0<<1當(dāng)x=0時，得麥克勞林展開式為ex=1+x+x22!+xnn!+Rnx其中，Rnx為余項我們也可以利用Mathematica軟件來展開函數(shù)，其語句為Seriesfx，x，x0，n其含義是將fx展開到的n次冪對于本例，如果n=6，則In1=SeriesEx，x，0，6 Out1=1+x+ x2/2+x3/6+x4/24+x5/120+x6/720+0x7 其中0x7為余項當(dāng)n=6，x=1時，可以算出e2.718

33、06，其誤差不超過萬分之一（第二節(jié)課）2、 泰勒級數(shù)定義2設(shè)函數(shù)fx在x0的某領(lǐng)域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), , ，則稱級數(shù) = +fnx0n!x-x0n+為函數(shù)fx在x0的泰勒級數(shù)特別地，當(dāng)取x0=0時，稱為 fx的麥克勞林級數(shù)泰勒級數(shù)是泰勒多項式從有限項到無限項的推廣，帶來了兩個問題：一個是該級數(shù)在什么條件下收斂，二是該級數(shù)是否收斂于函數(shù)fx定理設(shè)fx在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，那么在此領(lǐng)域內(nèi)，泰勒級數(shù) 收斂于fx的充要條件是泰勒公式的余項滿足limnRnx=0同樣地，麥克勞林級數(shù) 收斂于fx的的充要條件是泰勒公式的余項滿足limnRnx=0例2將fx=sinx展開成x的冪級數(shù)解 （1）先求出f

34、nxn=1，2，分別算出在x=0處的值fn0，fx=sinx，f0=0； fx=sinx+2，f0=1； fx=sinx+2×2，f0=0； fnx=sinx+n×2， fn0=sinn2=0， 當(dāng)n=2m時； -1m-1當(dāng)n=2m-1時 （2）寫出麥克勞林級數(shù) =x-13!x3+15!x5-+-1m-1x2m-12m-1!+ （3）求級數(shù)的收斂半徑R或收斂區(qū)間余項Rnx=xn+1n+1!sinx+n+12，-1<<1.因為對于-<x<+，有l(wèi)imnRnx=0，所以級數(shù)的收斂區(qū)間為-<x<+利用麥克勞林公式，不難得出幾個常用的初等函數(shù)的冪

35、級數(shù)展開式：（1） （2） （3）sinx= x-13!x3+15!x5-17!x7+-1n12n-1!x2n-1+= （4）cosx=x-12!x2+14!x4-16!x6+-1n12n!x2n+= （5）ln1+x=x-12x2+13x3-+-1n-11nxn+ = （6）1+xa=1+ax+aa-12!x2+aa-1a-2a-n+12!xn+= （第三節(jié)課）3、 冪級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)和工程技術(shù)領(lǐng)域中，常常涉及近似計算問題，例如在債券理論中，為了研究收益率對價格的影響，往往利用泰勒級數(shù)的前兩項或前三項來近似計算，并根據(jù)近似計算公式研究債券的性質(zhì)，為復(fù)雜的債券投資組合提供依據(jù)由函數(shù)

36、產(chǎn)生的泰勒級數(shù)是函數(shù)的精確表達(dá)式：只要x適當(dāng)小，可用級數(shù)前幾項部分和來作近似計算，這種近似計算還是具有相當(dāng)精確度的，而且所產(chǎn)生的誤差可以由余項 Rnx來估計我們來研究冪級數(shù)近似計算在固定收益證券中的應(yīng)用對于總期限為的付息債券而言，其價格的變化主要取決于收益率y,如果第t年所得的現(xiàn)金流為CFt，它的現(xiàn)值為Pt=CFt1+y，那么債券的理論價格就是各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和Py=CF11+y+CF21+y2+CF31+y3+CFt1+yt+=t=1TCFt1+yt.下面我們來求Py的泰勒級數(shù)前三項展開式Py的一階導(dǎo)數(shù)為dPdy=CF11+y2-CF21+y3-CF31+y4-t×CFt1+yt+

37、1- Py的二階導(dǎo)數(shù)為d2Pdy2=2×CF11+y3+2×3×CF21+y4+t×t+1×CFt1+yt+2+ 根據(jù)泰勒級數(shù)公式，債券價格Py的近似計算公式為PyPy0+dPdyy-y0+12d2Pdy2y-y02將一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)代入上式PyPy0-11+yt=1Tt×CFt1+yt×y-y0 +121+y2t=1Ttt+1×CFt1+yt×y-y02或者Py-Py0Py-y-y0Py1+y2t=1Tt×CFt1+yty-y022Pyy-y02tt+1×CFt1+yt令P=Py-

38、Py0，y=y-y0令是債券現(xiàn)金流的加權(quán)平均期限，被稱為修正的久期，表示不同的現(xiàn)金流支付的時間加權(quán)平均，其中的權(quán)數(shù)是該時間t所支付的現(xiàn)金流CFt的現(xiàn)值占整個現(xiàn)金流P的百分比，修正值為1+y-1經(jīng)濟(jì)含義是債券產(chǎn)生的現(xiàn)金流的平均回收期，反映了債券價格對收益率y的彈性，是研究債券特性和進(jìn)行債券組合的重要指標(biāo)令C被稱為債券的凸性，債券凸性是時間乘積t×t+1的加權(quán)修正值，權(quán)數(shù)是現(xiàn)金流CFt的現(xiàn)值占整個現(xiàn)金流P的百分比，不同于久期的是，其修正值為1+y-2因此，債券價格的近似公式簡化為PP-×y+C×y2例3面值為100元的上海世博一期債券期限為7年，每年利息為4元，市場價

39、格為105元求債券的修正久期的凸性，當(dāng)收益率上升0.01時，世博債券的價格變化解每份債券前六年的現(xiàn)金流為4元，第七年還本付息所得現(xiàn)金流為(4+100)元設(shè)債券的收益率為y，則債券的價格P等于現(xiàn)金流的總現(xiàn)值Py=t=1741+yt+1001+y7利用Mathematica軟件，首先定義價格方程In1：=py_ =Sum4/(1+y)t ，t，1，7 +100/(1+y)7 Out1=104/(1+y)7 +4/(1+y)6 +4/(1+y)5 +4/(1+y)4 +4/(1+y)3 +4/(1+y)2 +4/(1+y) 當(dāng)P0=105元時的y0值In2：=Solvepy=105，y/N Out2

40、=y0.031916613114415196 由于收益率y介于0和1之間，所以y0=0.0319求一階導(dǎo)數(shù)和修正久期In3：=Dpy，y/105/y0.0319 Out3=-6.07 求二階導(dǎo)數(shù)和凸性In4：= Dpy，y，y/105/y0.0319 Out4=45.2659因此，債券的近似計算公式為PP-y+C×y2 =-6.0698y+45.25952y2 =-6.0698y+22.6297y2當(dāng)收益率上升0.01的時候，世博債券的價格變動幅度為PP=-6.0698×0.01+22.6297×0.012=-0.0584.即債券的收益率上升100個基點(diǎn)（0.01），債券的價格大約下降5.84%有關(guān)冪級數(shù)的近似計算，也可以直接利用Mathematica軟件中函數(shù)Series的功能，它將按照要求將目標(biāo)函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的前n次冪項，并用0n+1表示余項例4利用Mathematica軟件