1、初中二次函數綜合題解題技巧二次函數在中考數學中常常作為壓軸題，具有一定的綜合性和較大的難度。學生往往因缺乏思路,感到無從下手,難以拿到分數。事實上,只要理清思路,方法得當,穩步推進,少失分、多得分、是完全可以做到的。第1小題通常是求解析式：這一小題簡單，直接找出坐標或者用線段長度來確定坐標，進而用待定系數法求出解析式即可。第23小題通常要結合三角形、四邊形、圓、對稱、解方程（組）與不等式（組）等知識呈現，知識面廣，難度大；解這類題要善于運用轉化、數形結合、分類討論等數學思想，認真分析條件和結論、圖形的幾何特征與代數式的數量結構特征的關系，確定解題的思路和方法；同時需要心態平和，切記急躁：當思維

2、受阻時，要及時調整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯系；既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。大致將二次函數綜合題歸為以下7個類型：二次函數中線段數量關系的探究問題；二次函數中圖形面積數量關系及最值的探究問題；二次函數中旋轉、對稱的探究問題；二次函數與特殊三角形的探究問題；二次函數與特殊四邊形的探究問題；二次函數與圓的探究問題；二次函數中動態的探究問題。下面對每個類型進行逐一說明。類型一 二次函數中線段數量關系的探究問題例1：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸I為x=1（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；（2

3、）若動點P在第二象限內的拋物線上，動點N在對稱軸I上。當PANA，且PA=NA時，求此時點P的坐標。解：（1）二次函數的解析式為y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，頂點坐標為（-1，4）；（2）令y=-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，點A（-3，0），B（1，0），作PDx軸于點D，點P在y=-x2-2x+3上，設點P（x，-x2-2x+3）PANA，且PA=NA，PADANQ，AQ=PD，即y=-x2-2x+3=2，解得x=2-1（舍去）或x=-2-1，點P（-2-1，2）；方法提煉：設點坐標：若所求點在x軸上可設（x,0），在y軸上可設（0，y）；若所求的點在拋物線上時，該

4、點的坐標可以設為（x，ax2+bx+c)；若所求的點在對稱軸上時，該點的坐標可以設為（-1，y)；若所求的點在已知直線y=kx+b上時，該點的坐標可以設為（x，kx+b)，常用所設點坐標表示出相應幾何圖形的邊長.簡單概括就是規則與不規則線段的表示：規則：橫平豎直。橫平就是右減左，豎直就是上減下，不能確定點的左右上下位置就加絕對值。不規則：兩點間距離公式。根據已知條件列出滿足線段數量關系的等式，進而求出未知數的值；跟蹤訓練1 如圖，拋物線y=-x2+bx+c的圖象過點A(4，0)，B(-4，-4)，且拋物線與y軸交于點C，連接AB，BC, AC. (1)求拋物線的解析式；(2)若E是線段AB上的

5、一個動點(不與A、B重合)，過E作y軸的平行線，分別交拋物線及x軸于F、D兩點. 請問是否存在這樣的點E，使DE=2DF？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由. 類型二 二次函數中圖形面積數量關系及最值的探究問題例2：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸I為x=1（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；（2）若動點P在第二象限內的拋物線上，動點N在對稱軸I上。當PANA，且PA=NA時，求此時點P的坐標。當四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標方法1：當P位于第二象限即-3x0時，SAOC

6、=，SOCP=-x，SOAP=3|yP|=-x2-3x+，SAPC=SOAP+SOCP-SAOC=-x2+x-9=-（x+）2+，當x=-時取得最大值；當x=-時，SAPC最大值，此時P（-，）S四邊PA= SABC+SAPC，S四邊形PABC最大=方法2：可求直線AC：YAC=x+3，設PD與AC的交點為E,則點E（x，x+3）PE=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x當P位于第二象限即-3x0時，SAPC=3PE=(-x2-3x) =-（x+）2+，當x=-時取得最大值；當x=-時，SAPC最大值，此時P（-，）S四邊PA= SABC+SAPC，S四邊形PABC最大=方法提煉：三角形

7、面積最值。分規則與不規則。有底或者高落在坐標軸上或者與坐標軸平行屬于規則，直接用面積公式求解。沒有底或者高落在坐標軸或平行于坐標軸屬于不規則，用割補法或S=水平寬鉛垂高。四邊形面積最值。常用到的方法是利用割補法將四邊形分成兩個三角形（常作平行于坐標軸的直線來分割四邊形面積），其求法同三角形。例3：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點。 （1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式； （2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值。解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點的坐標代入y=ax2+

8、bx+c中，解得a=，b=1，c=0 所以解析式為y=x2+x。 （2）由y=x2+x，可得 拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB OM=BM OM+AM=BM+AM 連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小 過點A作ANx軸于點N在RtABN中，由勾股定理得AB=4因此OM+AM最小值為4 方法提煉：已知一條直線上一動點M和直線同側兩個固定點A、O，求AM+OM最小值的問題，我們只需做出點O關于這條直線的對稱點B，將點A與B連接起來交直線與點M，那么AB就是AM+OM的最小值。同理，我們也可

9、以做出點A關于這條直線的對稱點A，將點O與A連接起來交直線與點M，那么OA就是AM+OM的最小值。應用的定理是：兩點之間線段最短。  初中階段學過的有關線段最值的有：兩點之間線段最短和垂線段最短；及三角形三邊之間的關系，“兩邊之和大于第三邊”求第三邊的最小值；“兩邊之差小于第三邊”，求第三邊的最大值；還有稍微難一點的就是利用二次函數及其自變量取值范圍來求最大值。跟蹤訓練2如圖，拋物線y=x2-bx+c交x軸于點A（1，0），交y軸于點B，對稱軸是x=2 （1）求拋物線的解析式； （2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使PAB的周長最小？若存在，求出點P的坐標；

10、若不存在，請說明理由跟蹤訓練3拋物線yax 2 bxc交x軸于A，B兩點，交y于點C，已知拋物線的對稱軸為x1，B(3，0)，C(0，3). (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B，C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.跟蹤訓練4（2016煙臺）如圖1，已知平行四邊形ABCD頂點A的坐標為（2，6），點B在y軸上，且ADBCx軸，過B，C，D三點的拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標為（2，2），點F（m，6）是線段AD上一動點，直線OF交BC于點E（1）求拋物線的表達式；（2）設四邊形ABEF的面積為S，請求出S與m的函

11、數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）如圖2，過點F作FMx軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PNy軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時m的值類型三 二次函數中旋轉、對稱的探究問題例4在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示放置，點A在x軸上，點B的坐標為（m，1）（m0），將此矩形繞O點逆時針旋轉90°，得到矩形OABC。（1）寫出點A、A、C的坐標；  （2）設過點A、A、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）試探究：當m的值改變時

12、，點B關于點O的對稱點D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時m的值。解：（1）四邊形ABCO是矩形，點B的坐標為（m，1）（m0）， A（m，0），C（0，1），  矩形OABC由矩形OABC旋轉而成， A（0，m），C（-1，0）；   （2）設過點A、A、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c， A（m，0），A（0，m），C（-1，0），  此拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m；    （3）存在。  點B與點D關于原點對稱，B（ m ， 1） ，   點D的坐標為：

13、 （-m，-1），  拋物線的解析式為：y=-x2+（m-1）x+m； 假設點D（-m，-1）在（2）中的拋物線上，  則y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， =22-4×（-2）×1=120， 此點在拋物線上，解得m= 1+32或m= 132（舍去）.方法提煉：（a，b）關于x軸對稱的點的坐標為（a，b）；關于y軸對稱的點的坐標為（a，b）；關于原點對稱的點的坐標為（a，b）；關于直線x=m的對稱點為（2ma，b）；關于直線y=n的對稱點為（a，2nb）；關于點（m，n）的

14、對稱點為（2ma，2nb）；繞原點逆時針旋轉90°的坐標為（b，a）；繞原點順時針旋轉90°的坐標為（b，a）；任意兩點（x1，y1）和（x2，y2 ）的中點為（x1+x22，y1+y22）。跟蹤訓練5（2014煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，RtABC的頂點A，C分別在y軸，x軸上，ACB=90°，OA=3，拋物線y=ax2axa經過點B（2，33），與y軸交于點D （1）求拋物線的表達式； （2）點B關于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由； （3）延長BA交拋物線于點E，連接ED，試說明EDAC的理由跟蹤訓練6若兩條拋物線的頂點相同,則稱它們為“友好拋

15、物線”.拋物線C1(如圖1): y1=ax2-2x+c與C2: y2=-x2+2x-5為“友好拋物線”.圖1圖2(1)求拋物線C1的表達式；(2)點P是拋物線C1上在第四象限的一個動點，過點P作PEx軸，E為垂足，求PE+OE的最大值；(3) 如圖2，設拋物線C1的頂點為C，點B的坐標為(1, 4)，連接BC.在C1的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M順時針旋轉90o得到線段MB，且點B恰好落在拋物線C1上?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.類型四 二次函數與特殊三角形的探究問題（1）與直角三角形的探究問題例5如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸為直線x=-1,

16、且經過A(1，0)，C(0,3)兩點，與x軸的另一個交點為B。（1）若直線y=mx+n經過B，C兩點，求拋物線和直線BC的解析式；（2）設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使BPC為直角三角形的點P的坐標.解：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a0）的對稱軸為直線x=-1，且拋物線經過A（1，0），拋物線與x軸的另一交點為B，B的坐標為：（-3，0），設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+3）， 把C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1，拋物線的解析式為：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： m=1，n=3直線y

17、=mx+n的解析式為：y=x+3；（1）設P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2，即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2；若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2，即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4，若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18，解之得：t1= 3+172 ， t2=3-172綜上所述P的坐標為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，3+172）

18、0;或（-1，3-172）方法提煉(1)：利用坐標系中兩點距離公式,得到所求三角形三邊平方的代數式；確定三角形中的直角頂點，若無法確定則分情況討論；根據勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此點存在；否則不存在；方法提煉(2)：利用兩直線垂直，K值互為負倒數（K1K2=-1），先確定點所在的直線表達式將直線與拋物線的表達式聯立方程組，若求出交點坐標，此點存在；否則不存在；方法提煉(3)：利用特殊角45°構造直角三角形，易求點的坐標。（2）與等腰三角形的探究問題例6如圖，直線y3x3交x軸于點A，交y軸于點B，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3，0)。(1)求拋物線的解析式；

19、(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由。解：(1)拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3 (2)該拋物線的對稱軸為x= 1。設Q點坐標為(1，m)當AB=AQ時 Q點坐標(1， 6)，或(1，- 6)； 當BA= BQ時 解得：m=0，m =6, Q點坐標為(1，0)或(1，6) 此點在直線AB上，不符合題意應舍去; 當QA=QB時 解得：m=1， Q點坐標為(1，1) 拋物線的對稱軸上是存在著點Q(1, 6)、(1,- 6)、(1，0)、(1，1)方法提煉：設出點坐標，求邊長.

20、；（類型一方法提煉）當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分三種情況討論，如：本題中當AB=AQ時；當BA= BQ時；當QA=QB時；具體方法如下:當定長為腰，找已知直線上滿足條件的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與已知直線有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與已知直線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；當定長為底邊時，作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與已知直線有交點，則交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與已知直線無交點，則滿足條件的點不存在用以上方法即可找出所有符合條件的點。（3）與相似三角形的探究問題例7如圖，

21、直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點。 （1）求拋物線的解析式; （2）若點D的坐標為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P,使ABO與ADP相似，求出點P的坐標；解：（1）拋物線的解析式為y=x2-4x+3（2）由題意可得：ABO為等腰三角形，     若ABOAP1D ，則=       DP1=AD=4  , P1(1,4)若ABOADP2 ，過點P2作P2 Mx軸于M，AD=4,  ABO為等

22、腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M， 即點M與點C重合   ，P2（1，2）方法提煉：求一點使兩個三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據兩個三角形相似的邊長相似比來求點的坐標。跟蹤訓練7：（2010煙臺）如圖，已知拋物線y=x2+bx-3a過點A（1，0），B（0，-3），與x軸交于另一點C （1）求拋物線的解析式； （2）若在第三象限的拋物線上存在點P，使PBC為以點B為直角頂點的直角三角形，求點P的坐標； （3）在（2）的條件下，在拋物線上

23、是否存在一點Q，使以P，Q，B，C為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由跟蹤訓練8：以菱形ABCD的對角線交點O為坐標原點，AC所在的直線為x軸，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P為折線BCD上一動點，作PEy軸于點E，設點P的縱坐標為a （1）求BC邊所在直線的解析式； （2）當OPM為直角三角形時，求點P的坐標跟蹤訓練9：如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標是（8，4），連接AC，B C （1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀； （2）動點P從點O出發，沿OB以每秒2個

24、單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動設運動時間為t秒，當t為何值時，PA=QA？ （3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由跟蹤訓練10：如圖，拋物線y=1 3x2+bx+c經過ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（-9，10），ACx軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點. （1）求拋物線對應的函數解析式. （2）過點P且與y軸平行的直線L與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時

25、，求點P的坐標. （3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.類型五 二次函數與特殊四邊形的探究問題例8如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；（2）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由. 解：(1)令y=0可得 A(-1，0)，B(3，0)， 將C點的

26、橫坐標x=2代入y=x2-2x-3，解得y=-3， C(2，-3)， 直線AC的函數解析式是y=-x-1； (2)存在這樣的點F如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CGx軸，此時AF=CG=2， 因此F點的坐標是(-3，0)； 如圖，AF=CG=2，A點的坐標為(-1，0)，因此F點的坐標為(1，0)； 此時C，G兩點關于B點對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為(1±7，3) 當G點的坐標為：(1+ 7，3)直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+7 直線GF與x軸的交點

27、F的坐標為(4+ 7，0)    當G 點的坐標為：(1- 7，3)，如圖：同上可求出F的坐標為 (4-7，0) 綜上：共存在4個點F：F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+7，0)，F4(4-7，0)方法提煉：特殊四邊形的探究問題解題方法步驟如下:（1）先假設結論成立；（2）設出點坐標，求邊長.（類型一方法指導）；（3）建立關系式，并計算。若四邊形的四個頂點位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質進行計算；若四邊形的四個頂點位置不確定，需分情況討。 探究平行四邊形：以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行

28、四邊形的對邊相等進行計算；以已知邊為平行四邊形的對角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對角線互相平分的性質進行計算；若平行四邊形的各頂點位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或對角線分情況討論。探究菱形:已知三個定點去求未知點坐標；已知兩個定點去求未知點坐標.一般會用到菱形的對角線互相垂直平分、四邊相等等性質列關系式。探究正方形:利用正方形對角線互相平分且相等的性質進行計算， 一般是分別計算出兩條對角線的長度，令其相等，得到方程再求解。探究矩形:利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關系式求解；或根據鄰邊垂直，利用勾股定理列關系式求解。跟蹤訓練11（2008煙臺）如圖，拋物線

29、L1：y=-x2-2x+3交x軸于A，B兩點，交y軸于M點拋物線L1向右平移2個單位得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點.（1）求拋物線L2對應的函數表達式；（2）拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P是拋物線L1上的一個動點（P不與點A，B重合），那么點P關于原點的對稱點Q是否在拋物線L2上，請說明理由. 圖1圖2跟蹤訓練12（2017煙臺）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=4矩形OBDC的邊CD=1延長DC交拋物線于點E（1）求拋物線的表達式；（2）如圖

30、2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交直線EO于點G，作PHEO，垂足為H設PH的長為，點P的橫坐標為m，求與m的函數關系式（不必寫出m的取值范圍），并求出的最大值；（3）如果點N是拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在一點M，使得以M，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件點M的坐標；若不存在，請說明理由跟蹤訓練13（2012煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點

31、D運動點P，Q的運動速度均為每秒1個單位運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E （1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式； （2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？ （3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值跟蹤訓練14如圖，對稱軸為直線x=7 2的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4） （1）求拋物線解析式及頂點坐標； （2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEA

32、F的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？ 是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由跟蹤訓練15如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點，直線AC：y=- 12x-6交y軸于點C點E是直線AB上的動點，過點E作EFx軸交AC于點F，交拋物線于點G （1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達式； （2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；（3）在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置

33、時，以A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標； 在的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為E上一動點，求 12AM+CM它的最小值類型六 二次函數與圓的探究問題例9已知二次函數y=x2+bx+c的頂點M在直線y=-4x上，并且圖象經過點A（-1，0）。  （1）求這個二次函數的解析式；    （2）設此二次函數與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經過M、 B、C三點的O的直徑長；   （3）設O與y軸的另一個交點為N，經過P（-2，0）、N兩點的直線為L，則圓心O是否在直線L上，請說明理由。解：（1

34、）由公式法可表示出二次函數的頂點M坐標代入y=-4x，得到關于b，c的關系式，再把A的坐標代入函數解析式又可得到b，c的關系式，聯立以上兩個關系式解方程組求出b和c的值即可求出這個二次函數的解析式為y=x2-2x-3； （2）分別求出B（3，0），C（0，-3），和M（1，-4）的坐標，過M作MEOE，過B作BFEM交EM于F， OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1，MF=2，BF=4，EM=1 在RtBOC，RtCEM，RtBFM中，利用勾股定理得：BC=3 2 ，MC= 2 ，BM=2 5 ， BC2+MC2=20，BM2=（2 5） 2BC2+MC2=BM2 MBC為直角三角形，且B

35、CM=90°， O的直徑長為BM=2 5 ； （3）圓心O在直線上，過O作x軸的垂線，交x軸于R，過O作y軸的垂線，交y軸于T，交MQ于S，設O與x軸的另一個交點為Q，連接MQ，由BM是O的直徑，知BQM=90°Q（1，0）， BQ=2，OROB， QR=1， OR=2， 在RtORB中，由勾股定理得OR= =2， O的坐標為（2，-2）， OT=2， OC=3， TC=1， NC=1， ON=1， N的坐標為（0，-1）設過PN的直線解析式為y=kx+b，把N的坐標為（0，-1）和P（-2，0）分別代入求得k=- 12 ，b=-1， 過PN的直線解析式為y=- 12x-1

36、， O的坐標為（2，-2）， -2=- 12 ×2-1=-2， 圓心O是在直線上。 方法提煉：運用轉化的思想。轉化的數學思想是解決數學問題的核心思想，由于函數與幾何結合的問題都具有較強的綜合性，因此在解決這類問題時，要善于把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”化為“已知”，把“抽象”的問題轉化為“具體”的問題，把“復雜”的問題轉化為“簡單”的問題。綜合使用分析法和綜合法。就是從條件與結論出就是從條件與結論出發進行聯想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對問題的“兩邊夾擊”，使它們在中間的某個環節上產生聯系，從而使問題得以解決。跟蹤訓練16（2009煙臺）如圖，拋物線y=

37、ax2+bx-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經過點（2，-3a），對稱軸是直線x=1，頂點是M （1）求拋物線對應的函數表達式； （2）經過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由； （3）設直線y=-x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷AEF的形狀，并說明理由； （4）當E是直線y=-x+3上任意一點時，（3）中的結論是否成立（請直接寫出結論）跟蹤訓練17（2013煙臺）如圖，在平面直角坐標

38、系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A，B，與x軸分別交于點E，F，且點E的坐標為（-23，0），以OC為直徑作半圓，圓心為D （1）求二次函數的解析式； （2）求證：直線BE是D的切線； （3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MNBE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，PMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由跟蹤訓練18（2015煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與M相交

39、于A，B，C，D四點，其中A，B兩點坐標升別為(1，0)，(0，2)，點D在.x軸上且AD為M的直徑，點E是M與y軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FHAD于點H，且FH=1.5.（1）求點D的坐標及拋物線的表達式；（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出PEF的周長最小時點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.類型七 二次函數中動態的探究問題例10（2011煙臺）如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上.直線CB的表達式為y= 43x +163 ，點A、D的坐標分別為（4

40、，0），（0，4）.動點P自A點出發，在AB上勻速運行.動點Q自點B出發，在折線BCD上勻速運行，速度均為每秒1 個單位.當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動.設點P運動t（秒）時，OPQ的面積為s（不能構成OPQ的動點除外）.  （1）求出點B、C的坐標； （2）求s隨t變化的函數關系式；  （3）當t為何值時s有最大值？并求出最大值.解（1）把y4代入y 43x 163，得x1.         C點的坐標為（1，4）.    

41、60;      當y0 時，43x 1630， x4.點B坐標為（4，0）.  (2)作CMAB于M，則CM4，BM3. 由勾股定理得BC5. sinABC CMBC45.0t4時，作QNOB于N， 則QNBQ·sinABC 45t. S 12OP·QN 12（4t ）×45t  25t2 85t（0t 4）. 當4t5時，（如備用圖1）， 連接QO，QP ，作QNOB于N. 同理可得QN 45t. S 12OP·QN 12×（t4 ）×45t 25t2 85t（4t5）. 當5t6時，（如備用圖2）， 連接QO，QP. S 12×OP×OD 12（t4）×42t8（5t6）. （3）在0t4時，  當t2時，  S最大 85. 在4t5時，對于拋物線S 25t2 85t的頂點為（2 ，85）