1、數(shù) 學(xué) 實(shí) 踐 與 建 模時(shí) 針 與 分 針 重 合 問(wèn) 題 的 分 析 姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)： 專(zhuān)業(yè)：時(shí)針與分針重合問(wèn)題的分析摘要“時(shí)針和分針一晝夜重合多少次？”這是美國(guó)著名的微軟公司招聘職員的一道面試題。我們經(jīng)常接觸鐘表，對(duì)鐘表的認(rèn)識(shí)可以說(shuō)是再熟悉不過(guò)了，然而，面對(duì)這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，許多應(yīng)聘的優(yōu)秀大學(xué)畢業(yè)生都不假思索的回答：24次。在他們認(rèn)為，一晝夜是24個(gè)小時(shí)，每小時(shí)時(shí)針和分針重合一次，所以一晝夜時(shí)針和分針共重合24次。答案看起來(lái)似乎并沒(méi)有什么問(wèn)題，可是，這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。只要我們稍加思考，就會(huì)感覺(jué)有點(diǎn)不對(duì)勁。那么時(shí)針與分針一晝夜到底重合多少次呢？面對(duì)這種問(wèn)題，乍一看似乎并無(wú)頭緒，其實(shí)

2、，我們完全可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的方法去求取。所謂數(shù)學(xué)建模，就是從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述，然后用通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。對(duì)于時(shí)針和分針的相遇問(wèn)題，我們可以將其類(lèi)比為時(shí)針與分針相互追擊的問(wèn)題，只不過(guò)他們行走的路徑是一個(gè)圓。其中，分針比時(shí)針跑的快。然后通過(guò)假設(shè)一次相遇，兩次相遇，多次相遇的辦法，推理出相遇的規(guī)律，最后通過(guò)數(shù)學(xué)模型將一晝夜時(shí)針與分針相遇的次數(shù)求出。關(guān)鍵詞： 時(shí)針； 分針； 追擊； 重合； 類(lèi)推； 1、 模型假設(shè)、鐘面上分為60個(gè)格；、分針1分針轉(zhuǎn)過(guò)一格

3、，一小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)60格，時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)5格。、鐘面上一個(gè)小格有6º，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了30º，如下圖。 2、符號(hào)說(shuō)明、：分針的位置；、：時(shí)針的位置；、x：分針和時(shí)針重合的位置。3、模型建立從k（k=1,2,3，11）點(diǎn)開(kāi)始，；。這就是所建立的數(shù)學(xué)模型。4、 模型求解 由假設(shè)可知分針的速度是時(shí)針的12倍。不妨設(shè)k=1，即從1點(diǎn)開(kāi)始，此時(shí)時(shí)針在分針前5格。當(dāng)分針走5格（分針走到時(shí)針原來(lái)的位置）時(shí)，時(shí)針走了格，此時(shí)分針的位置記為=5，時(shí)針的位置記為；當(dāng)分針再走格時(shí)，時(shí)針走了，此時(shí)分針的位置記為，時(shí)針的位置記為，當(dāng)分針再走格時(shí)，時(shí)針走了，此時(shí)分針的位置為，時(shí)針的位置為；以此類(lèi)推，

4、當(dāng)分針的位置是時(shí)，時(shí)針的位置為，分針與時(shí)針相差，因?yàn)椋苑轴樑c時(shí)針重合的位置是格。因?yàn)椋蚀藭r(shí)時(shí)間約為1點(diǎn)5分27.27秒。在1點(diǎn)5分27.27秒重合之后，由于分針?biāo)俣仁菚r(shí)針的12倍，故到2點(diǎn)為止，分針和時(shí)針不會(huì)再重合。類(lèi)似的，k=2時(shí)，即從2點(diǎn)開(kāi)始，此時(shí)時(shí)針在分針前10（5×2）格。當(dāng)分針走10格（分針走到時(shí)針原來(lái)的位置）時(shí)，時(shí)針走了格，此時(shí)分針的位置為，時(shí)針的位置為；當(dāng)分針再走格時(shí)，時(shí)針走了，此時(shí)分針的位置為，時(shí)針的位置為；以此類(lèi)推，當(dāng)分針位置是時(shí)，時(shí)針的位置為，分針與時(shí)針相差，因?yàn)椋苑轴樑c時(shí)針重合的位置是格。因?yàn)椋蚀藭r(shí)時(shí)間是2點(diǎn)10分54.55秒。綜上所述，k（k=1，

5、2，11）點(diǎn)到k+1點(diǎn)之間，分針與時(shí)針重合的位置是格。分針與時(shí)針重合的時(shí)間是k點(diǎn)分（k=1，2，11），即1點(diǎn)5分27.27秒，2點(diǎn)10分54.55秒，3點(diǎn)16分21.82秒，4點(diǎn)21分49.09秒，5點(diǎn)27分16.36秒，6點(diǎn)32分43.64秒，7點(diǎn)38分10.91秒，8點(diǎn)43分38.18秒，9點(diǎn)49分5.45秒，10點(diǎn)54分32.73秒，11點(diǎn)60分（12點(diǎn)）。一天之中，時(shí)針和分針共重合22次。 5、 模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn)從上述的模型求解過(guò)程中，可以看出一晝夜的時(shí)間內(nèi)，時(shí)針與分針共重合了22次，而并非24次，從以上的結(jié)果中，也可以看出，時(shí)針與分針重合一次所需要的時(shí)間為分鐘。計(jì)算的結(jié)果和實(shí)際的情況完全符合，故該模型對(duì)于求取此問(wèn)題是正確的。6、 對(duì)模型的評(píng)價(jià)與推廣運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，讓我們對(duì)于求解某些實(shí)際問(wèn)題有了更加明確的思路和方法。從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題從而解決實(shí)際問(wèn)題，而此過(guò)程的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型。此模型是近似的將鐘表的時(shí)針與分針看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及或相遇的問(wèn)題，要把時(shí)鐘問(wèn)題當(dāng)做行程問(wèn)題來(lái)看，分針快，時(shí)針慢，所以分針與時(shí)針的問(wèn)題，就是他們之間的追及問(wèn)題。其實(shí)，在實(shí)際的求解關(guān)于鐘表時(shí)針、分鐘甚至秒針重合問(wèn)題的時(shí)候，都可以采用此種方法進(jìn)行求解。但是，從總體上看，求解此類(lèi)題目時(shí)所需的計(jì)算比較復(fù)雜，當(dāng)然求解此類(lèi)題目還有更為簡(jiǎn)單的方法，即拿一個(gè)鐘表，撥動(dòng)