1、、緒論1. 思考題1 .何為約束優化設計問題?什么是無約束優化設計問題?試各舉一例說明。機械優化設計問題多屬哪一類？2 .一般優化問題的數學模型包括哪些部分?寫出一般形式的數學模型。3 .機械優化設計的過程是怎樣的?它與常規的機械設計有什么不同?4 .怎樣判斷所求得的最優解是不是全局最優解？5 .試簡述優化算法的迭代過程。6 .何為可行域？為什么說當存在等式約束則可行域將大為縮小?當優化問題中有個等式約束時可行域是什么?當優化問題中有兩個等式約束時可行域是什么?當n維優化問題中有n個等式約束時可行域是什么？7 .什么是內點、什么是外點?在優化設計中內點和外點都可以作為設計方案嗎?為什么?8 .

2、試寫出第一節中第三個問題的數學模型。9 .目標函數及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2. 習題1 .設計一容積為V的平底、無蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優化設計的數學模型，并指出屬于哪一類優化問題。2 .當一個矩形無蓋油箱的外部總面積限定為S時，怎樣設計可使油箱的容量最大？試列出這個優化問題的數學模型，并回答：屬于幾維的優化問題？是線性規劃還是非線性規劃？3 .欲造容積為V的長方形無蓋水箱，問應如何選定其長、寬、高尺寸，才能使用料消耗最少？試寫出其數學模型。4 .試求直徑為D的圓內所有內接三角形面積中的最大值。5 .在曲面fl（Xl,X2,X3）=0上找一點P1,在曲面f2

3、（Xl,X2,X3）=0上找一點P2,使得P1與P2的距離為最短，試建立優化問題的數學模型。6 .有一薄鐵皮，寬b=14cm,長L=24cm,制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長X和傾斜角a為多大時，槽的容積最大？試寫出此問題的優化設計模型并指出該問題屬于哪一類的優化設計問題。7 .欲制一批如圖2-12所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱的容積為2m3,問如何確定a、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優化問題的數學模型。8 .一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問應以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優化問題的數學模型。9

4、 .某廠生產A、B兩種產品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動日3個，獲利潤700元；B每桶需用煤40kN、電5度、勞動日10個，獲利潤1200元。但計劃規定可用煤3600kN、電200度、勞動日300個，試問A、B各生產多少桶時利潤最大？列出其教學模型，并說明屬于何種數學規劃問題?10 .某廠生產兩種機器，兩種產品生產每臺所需鋼材分別為2噸和3噸，所需工時數分別為4千小時和8千小時，而產值分別為4萬元和6萬元。如果每月工廠能獲得的原材料為100噸，總工時數為120千小時。現應如何安排兩種機器的月產臺數，才能使月產值最高。試寫出這一優化問題的數學模型。11 .要將10米長的鋼管截成3米和4米長

5、的各100根，要求設計出用料最省的下料方法。試寫出其數學模型。12 .設計一個二級展開式漸開線標準直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動比i=20,高速級齒輪模數mi,2=,低速級齒輪模數m3,4=3mm，要求減速器高速軸與低速軸間中心距a最小，試建立其優化設計的數學模型，并指出屬于哪一類優化問題。13 .設計一個展開式二級圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總傳動比i=iiXi2=4,齒輪齒數Z1=Z3,模數均為，試建立其數學模型，并說明屬于何種數學規劃問題。14 .自行提出一個數學規劃問題，并建立其數學模型。15 .如圖2-13所示，已知跨距為1、截面為矩形的簡支架，其材料密度為p

6、,許用彎曲應力為的,允許撓度為f,在梁的中點作用一集中載荷P,梁的截面寬度b不得小于bmin,現要求設計此梁，使其質量最輕.試寫出其優化設計數學模型。16 .矩形截面簡支梁，在跨距1的全部長度內受到均布載荷q,其材料密度為p,許用彎曲應力為的。要求梁的寬度不小于bmin,最大撓度不大于ao試寫出此梁重量最輕優化設計的數學模型。17 .有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M,其簡化模型如圖2-14所示。由于結構的需要，軸的長度1不得小于1mino已知銷軸材料的許用彎曲應力附和許用扭剪應力上允許撓度為f;設計材料的密度為P和彈性模量為E。現要求設計這根銷軸，在滿足使

7、用要求下使其質量為最輕，試寫出其優化設計數學模型。18 .試按質量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚t,設計圖2-25所示的薄壁圓柱形容器，要求容積不小于，容器內壓力p為，切向應力(e不超過210Mpa,應變量不超過。要求：(1)建立優化設計的數學模型；(2)用圖解法求出最優解。19 .三桿懸掛結構(圖1-5)的材料已經選定，其比重為p,彈性卞K量為E,許用拉應力為小此結構的設計載荷為2p。試寫出其重量最輕優化設計的數學模型。20 .平面桿J架(圖1-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t,桁架的跨度為2B。鋼管的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應滿足強度和剛度的要求。試寫出其重量最輕優化設

8、計的數學模型。21 .當某試驗參數a為1,2,3,4,5時，其對應結果f(a)為3,5,4,2,1。試用一個二項式p(a尸a2x1+ax2+x3,去逼近f(a),求不，x2,x3為多大時，使得當a=2,3,4,5時各點誤差平方和為最小，且要求a=1時，p(a)=f(a)。試寫出該問題的優化設計數學模型。22 .己知兩個物理量x和y之間的依賴關系為其中a1a5為待定參數。為了確定這些參數的值，對x和y測得m個實驗點：(xi,y1)，(x2,y2),，(xm,ym)。試將確定參數的問題表示成最優化問題。23 .有一個初始的設計電路，內有m個可調整的電阻。如圖1-4所示。要求的響應是電路內m個節點電

9、壓為給定的一組數，即V1=Vd1,V2=Vd2,，Vn=VDn,而實際的響應里每一個節點的電壓都依賴于這m個可調的電阻，示為Vi=Ui(R1,R2,Rm),i=1n試建立優化的數學模型。24 .某現象的理論公式為：F(t)Xx2ex3t。透過實驗已測得m個F(t)對應于t的值。要求確定xi、x2和x3三個參數，其中x3>0,使理論公式與實驗數據的偏差平方和為最小。試寫出這個問題的數學模型。25 .熱敏電阻R=x1exptx2，今測得溫度t與R的15組實驗數據。要求確定參數Xi、x2和x3使電阻R的計算值與實測值的均方差最小。試建立其數學模型。26 .已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一

10、集中載荷P和一扭矩M,要求懸伸長度L=ab,截面直徑d=d0d1o問在滿足強度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應如何建立該優化設計問題的數學模型？并示出。27 .試畫出下列約束條件下，x=xix2T的可行域：(1)g1(x)=X12+(X2-1)2-1<0g2(x)=(Xl-1)2+X22-1<0g3(x)=X1+X2-1<0(2)g1(x)=2X1+X2-6<0g2(x)=-Xl<0g3(x)=-X2<0g4(x)=X12+X22-16<028 .試畫出下列約束條件下X=xi,X2t的可行域，并說明哪個是不起作用的約束。2(1)g1(x)=-X1+

11、X2>0g2(x)=Xl-X2+3>0g3(x)=-X1-X2+8>0(2)g1(x)=X1+X2/2-3>0g2(x)=Xl>0g3(x)=X2>0h(x)=-X12-X22+16>029 .已知約束條件為g1(x)=-X+X2-3>0g2(x)=-X12-X22+9>0試問Xi=2,-2T,X2=3,3T,X3=-3,0T,X4=-1,1T等四點中有幾個可行點？并寫出可行點。30 .畫出滿足下列約束的可行域。g1(X)=48-3X1-2X20g2(X)=18-Xl-X2>0g3(X)=Xl>0g4(X)=X2>031

12、.試將優化問題的目標函數等值線和約束邊界曲線勾畫出來，并回答下列問題：(a)X=1,1T是不是可行點？(b)X=5/2,1/2T是不是可行點？可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。32 .已知某約束優化問題的數學模型為(1)該問題是線性規劃問題還是非線性規劃問題？按一定比例畫出目標函數F(X)的值分別等于1,2,3時的三條等值錢，并在圖上劃出可行域。(3)在圖上確定無約束最優解和約束最優解。(4)若在該問題中又加入等式約束h(X)=X1-X2=0，其約束最優解X*、F(X*)又為多少?33 .畫出下列目標函數的等值線，并指出函數值為正和負的區域；它有沒有極小值點？1)F(X1,X2)

13、=X1X2；2)F(X1,X2)=X12-X22；3)F(X1,X2)=X12+3X1X2+4X22+634 .用圖解法求解下列優化問題的最優點。minF(X)(X13)2(X23)21)s.t.2X1X20;X1,X20minF(X)(X12)2(X22)22)s.t.X12X24;X1,X20X21 X1, X2 022minF(X)(X13)2(X23)2s.t.X1/2X24;3X1X215X135) 如圖所示，設有一箱形蓋板，已知長度l=600cm，寬度b=60cm，側板厚度ts=，翼板厚度為tf(cm)，高度為h(cm),承受最大的單位載荷q=10000N/cm,蓋板的許用彎曲應力

14、d=70MPa,許用剪切應力產45MPa,單位長度允許撓度巧=,彈性模量E=7X104MPa,泊松比(=,要求在滿足強度、剛度和穩定性等條件下，設計一個質量最小的結構方案。5-17搪瓷廠要生產一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設計茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1. 設計一曲柄搖桿機構(見圖7-16)，已知：桿1的長度l1=1，桿4的長度l4=5(均為相對長度)。要求曲柄由4。轉到4。十90。時，搖桿的輸出角實現如下給定的函數關免Vy,十方(440),式中4。和貝。分別為對應于搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿的位置角.運動過程中的最小傳動角不小于45。，即7m,.>7=45

15、c試建立上述問題的數學模利，并選擇優化方法，有條件的同學可2. =4.1286,z:=2.3325)。2 .如圖為一批量生產的壓力容器，其結構方案和有關尺寸已定。內部氣壓為p=,容器內徑A=120mm,安裝螺栓的中心圓直徑D=200mm，壁厚E=H=20mm，用襯墊密封，為保證拆裝時具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應小于5d(d為螺栓直徑)，同時為保證螺栓間的密封壓力均勻，不致有局部漏氣，螺栓間的周向間距不應大于10d。螺栓樹料選用35號鋼，長度為50mm，型式為六角頭半精制螺栓，其單價見下表：要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數量n,使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優化設計問

16、題的數學模型，并選擇優化方法，有條件的同學可上機計算。(答案為d=25，n=3)。3 .設有一重量P=10000N的物體懸掛在兩根鋼絲繩上，如圖7-18所示。已知鋼絲繩長l1=，l2=，許用應力d=100Mpa,彈性模量E=2X105MPa。為保證此裝置正常工作，除鋼絲繩的工作應力不應大于許用應力外，還規定懸掛點的鉛垂位移不應越過f4=5mm，現在要求得出鋼絲繩的橫截而積A1和A2，使承受該載荷的結構重量為最輕。試建立上述優化問題的數學模型，并選擇優化方法，有條件的同學可上機計算。(答案為Al=，A2=15.如圖所示的二級斜齒圓柱齒輪減速器，高速軸輸入功率Ni=,高速軸轉速ni=1450r/min，總傳動比i=,齒輪的齒寬系數產；大齒輪材料為45鋼正火HBS=18720