1、第一章 習題解答1、證明 A(BC)(AB)(AC)證明：設xA(BC)，則xA或x(BC)，若xA，則xAB，且xAC，從而x(AB)(AC)。若xBC，則xB且xC，于是xAB且xAC，從而x(AB)(AC)，因此A(BC) (AB)(AC)(1)設x(AB) (AC)，若xA，則xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC) A(BC)(2)由(1)、(2)得，A(BC)(AB)(AC) 。2、證明ABA(AB)(AB)BA(BC)(AB)(AC)(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)84(AB)(CD)(AC)(BD)A(

2、AB)AB證明：A(AB)AC(AB)A(CACB)(ACA)(ACB)(ACB)AB(AB)B(AB)CB(ACB)(BCB)(ACB)AB(AB)(AC)(AB)C(AC)(AB)(CACC)(ABCA)(ABCC)A(BCC)A(BC)(AB)C(ACB)CCAC(BC)A(BC)A(BC)AC(BCC)A(CBC)(ACB) (AC)(AB)(AC)(AB)(CD)(ACB)(CCD)(AC)(CBCD)(AC)C(BD)(AC)(BD)A(AB)AC(ACB)A(CAB)(ACA) (AB)(AB)AB3、證明： (AB)C(AC)(BC)85A(BC)(AB)(AC)證明：(AB)

3、C(AB)CC(ACC)(BCC)(AC)(BC)(AB)(AC)(ACB)(ACC)(AA)(CBCC)AC(BC)A(BC)4、證明：()證明：設()，則，于是，、，從而，所以，所以，() 。86設，則、，即，于是，即()，所以 ()，由以上兩步得() = 5、證明：()B(B)()B(B)證明：()B()CB(CB)(B)()B()CB=(CB)(B)876、設是一列集合，作=，=-()>1。證明是一列互不相交的集，而且=，=1，2，3，。證明：設，不妨設<，因為，-()=(C)=C(C)=(C)(C)=()= =，互不相交。 ， = 。88另一方面，設，則存在最小的自然數，

4、使， -=， = 。7、設=(0，)，=(0，)，=1，2，求出集列的上限集和下限集。解：。 =(0，)，=(0，)， 。=()=(0，)=(0，)=(0，)=(0，)=()=89=(0，)= = 。8、證明：=證明：，有， ， = 。9、作出一個(1，1)和(，)的11對應，并寫出這一對應的解析表達式。解：y=tg，(1，1)，y(，)。10、證明將球面去掉一點以后，余下的點所成的集合和整個平面上的點所成的集合是對等的。90證明：用P表示在球面上挖去的那一點，P與球心O的連線交球面于M，過M作球面的切平面，過P點和球面上任一點引直線，該直線與平面交于，將與對應，P與M對應，則球面上的點與整個

5、平面上的點用上述方法構成一個一一對應，由對等的定義，挖去一點的球面與平面是對等的。11、證明由直線上互不相交的開區間作為集A的元素，則A至多為可數集。證明：由有理數的稠密性知，在每一區間中至少含有一個有理數，在每一開區間中任取一有理數與該區間對應，由于開區間互不相交，故不同開區間對應不同的有理數，但有理數全體為一可數集，其子集至多是可數集，所以直線上互不相交的開區間作成的集至多是可數集。12、證明所有系數為有理數的多項式組成一可數集。證明：以表示這個集合，表示次有理系數多項式的全體，則= 。91由+1個獨立記號，即次多項式的1個有理系數所決定，其中首項系數為異于0的有理數，其余系數可取一切有理數，因此，每個記號獨立地跑遍一個可數集，所以，是可數集，也是可數集。13、設A是平面上以有理點（坐標為有理數的點）為中心，有理數為半徑的圓的全體，則A是可數集。證明：A中任一元素由三個獨立記號（a，b，r）所決定，其中（a，b）是圓心的坐標，r是圓的半徑，a、b各自跑遍全體有理數，r跑遍大于0的有理數，而且它們都是可數集，故A是可數集。14、證明單調增加函數的不連續點最多只有可數多個。證明：設是(，)上的單調增加函數，其不連續點的全體記為E，設E，由數學分析知，