1、 關(guān)節(jié)十六 應(yīng)用性問(wèn)題（含“方案”確定）解法研究1、應(yīng)用性問(wèn)題思考與解答的過(guò)程，最主要的特點(diǎn)就是：由現(xiàn)實(shí)情意（非數(shù)學(xué)），抽象概括出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使原問(wèn)題獲解。其中的“由非數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”是最為關(guān)鍵的一步。2、“由非數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”，就是將實(shí)際問(wèn)題歸屬到對(duì)應(yīng)的數(shù)字模型，是化歸思想的典型表現(xiàn)，絕大多數(shù)情況下，或化歸到函數(shù)模型，或化歸到方程（不等式）模型，或化歸到基本圖形（特別是直角三角形）模型，或者以上的綜合，因此，可以這樣說(shuō)：解應(yīng)用性問(wèn)題的能力實(shí)質(zhì)就是“化歸到數(shù)學(xué)模型”的能力。一、化歸到方程（不等式）模型或函數(shù)模型凡涉及到數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，絕大多數(shù)都要化歸為方程或函數(shù)來(lái)解決。1、關(guān)鍵是要

2、有深刻的“方程思想”和“函數(shù)思想”例1 某高速公路收費(fèi)站，有輛汽車(chē)等候收費(fèi)通過(guò)，假設(shè)通過(guò)收費(fèi)站的車(chē)流量（每分鐘通過(guò)的汽車(chē)量數(shù)）保持不變，每個(gè)收費(fèi)窗口的收費(fèi)速度也是不變的。若開(kāi)放一個(gè)收費(fèi)窗口，則需要20分鐘才能將原來(lái)來(lái)排隊(duì)等候汽車(chē)及后來(lái)接上來(lái)的汽車(chē)全部收費(fèi)通過(guò)；若同時(shí)開(kāi)放兩個(gè)收費(fèi)窗口，則需8分鐘也可將原來(lái)排隊(duì)等候的汽車(chē)已及后來(lái)接上來(lái)的汽車(chē)全部收費(fèi)通過(guò)，若要求三分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候收費(fèi)的汽車(chē)全部通過(guò)，并使后來(lái)到站的汽車(chē)也隨到隨時(shí)收費(fèi)通過(guò)，請(qǐng)問(wèn)：至少同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)收費(fèi)窗口？【觀察與思考】第一，關(guān)鍵是要求出每分鐘新來(lái)的汽車(chē)為多少輛，以及每個(gè)窗口每分鐘可收費(fèi)通過(guò)多少輛汽車(chē)，就是要求這些“未知數(shù)量的值”，當(dāng)然考

3、慮去構(gòu)造方程。第二，題目中開(kāi)放一個(gè)收費(fèi)窗口和開(kāi)放兩個(gè)收費(fèi)窗口情況的斜述就是兩個(gè)構(gòu)造方程可依據(jù)的等量關(guān)系。解：設(shè)每分鐘新來(lái)的汽車(chē)輛，每個(gè)窗口每分鐘收費(fèi)通過(guò)輛汽車(chē)，則解和設(shè)需開(kāi)放個(gè)窗口，使在3分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候收費(fèi)的汽車(chē)全部通過(guò)，并使后來(lái)到站的汽車(chē)也隨到隨時(shí)收費(fèi)通過(guò)，則 ， 解得。因?yàn)榇翱趥€(gè)數(shù)為正整數(shù)，所以需開(kāi)窗口5個(gè)。用方程解決實(shí)際問(wèn)題，從思考與實(shí)施來(lái)看，分為這樣的三個(gè)銜街的步驟：步驟、從定向上確認(rèn)這是一個(gè)化歸到方程的模型問(wèn)題，即知道是用方程；步驟、根據(jù)已給出條件或隱含關(guān)系布列出相應(yīng)的方程；步驟、通過(guò)解方程解決原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題。A B例2 小杰到學(xué)校食堂買(mǎi)飯，看到A，B兩個(gè)窗口前排隊(duì)的人一相樣多（設(shè)

4、為人，），就站到A窗口隊(duì)伍的后面，過(guò)了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買(mǎi)了飯離開(kāi)隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買(mǎi)了飯離開(kāi)隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人。（1）此時(shí)，若小杰繼續(xù)在A窗口排隊(duì)，則他到達(dá)窗口所需的時(shí)間是多少（用含的代數(shù)式表示）？（2）此時(shí)，若小杰迅速?gòu)腁窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到B窗口隊(duì)伍后面重新排隊(duì)，且到達(dá)B窗口的所花的時(shí)間比繼續(xù)在A窗口排隊(duì)到達(dá)A窗口所花的時(shí)間少，求的取值范圍（ 不考慮其它因素）?！居^察與思考】首先認(rèn)識(shí)到：小杰無(wú)論是在A窗口還是在B窗口排隊(duì)，他到達(dá)窗口所需的時(shí)間都決定于已排隊(duì)的人數(shù)，因此，本題實(shí)際上是個(gè)“函數(shù)”問(wèn)題；其次， 這兩個(gè)函數(shù)都好求出，即表示成的代數(shù)式；最后，借助于兩

5、個(gè)函數(shù)（即兩個(gè)代數(shù)式）的關(guān)系，求出自變量的取值范圍。解：（1）；（2）若此時(shí)轉(zhuǎn)到B窗口，則到窗口時(shí)共用時(shí)間：；令，解得。的取值范圍為。當(dāng)時(shí)，小杰到B窗口比在A窗口用的時(shí)間少?！菊f(shuō)明】本題中兩個(gè)代數(shù)式的建立，是“函數(shù)思想”的一種體現(xiàn)。例3 王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長(zhǎng)為60的正方形板子，另一塊是上底為30，下底為120高為60的直角梯形板子（如圖（1），王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形所圍成的區(qū)域（如圖（2），由于受材料紋理的限制，要求裁處的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)。（1）利用圖

6、（2）求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？（2）若想裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長(zhǎng)。AEDFGCB（2）（1）【觀察與思考】在搞清背景圖形各有關(guān)數(shù)量的情況下，對(duì)于問(wèn)題（1），需對(duì)三類(lèi)矩形的面積做比較（如圖2），而其中的矩形的面積顯然是的函數(shù)，因此，本題的核心是建立出這個(gè)函數(shù)并求其最大值。對(duì)于（2），從變動(dòng)的矩形中確定出正方形，自然也要借助上述函數(shù)。解：（1）在圖（2）中，易知，且 ，。當(dāng)點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC的距離為60時(shí)（即該頂點(diǎn)在線(xiàn)段AE上，），這些矩形中面積最大的就是矩形，其面積等于（）當(dāng)點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC的距離等于或小于40

7、時(shí)，且該頂點(diǎn)在FC上，顯然，在這些矩形中，面積最大的就是矩形，AEDFGCBQPMRN當(dāng)點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)Q在線(xiàn)段EF上時(shí)，矩形為，。，即。（2）?？芍?dāng)時(shí)，的面積最大為。此時(shí)的點(diǎn)Q即為點(diǎn)F。綜上可知： 當(dāng)時(shí)，也即矩形為時(shí)，面積最大為。（2）面積最大的正方形應(yīng)當(dāng)在（1）中的矩形中，這時(shí)應(yīng)有，解得（舍去），。面積最大的正方形的邊長(zhǎng)為?！菊f(shuō)明】在本題，及時(shí)地認(rèn)識(shí)到并正確地建立出矩形的面積關(guān)于的函數(shù)，是獲解的關(guān)鍵。例4 一園林設(shè)計(jì)師要使用長(zhǎng)度為4的材料建造如圖（1）所示的花圃。該花輔是由四個(gè)形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個(gè)扇環(huán)面如圖（2）所示。它是以 點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過(guò)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)段

8、圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大。（1）求使圖（1）花圃面積為最大時(shí)的值及此時(shí)花圃面積，其中分別為大圓和小圓的半徑。（2）若，求使圖（2）面積為最大時(shí)值?！居^察與思考】在圖（2）中，扇環(huán)圖形的周長(zhǎng)是確定的，所以其圓心角和扇形的面積S都隨值的確定而確定，因此，他們都是的函數(shù)！認(rèn)清楚了這一點(diǎn)，剩下的問(wèn)題都可依幾何計(jì)算和函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決了。（1）（2）解：（1）若使形如圖（1）花圃面積為最大，則必定要求圖（2）扇環(huán)面積最大。設(shè)圖（2）扇環(huán)的圓心角為，面積為S，根據(jù)題意得：。 。式中在時(shí)為最大，最大值為?；ㄆ悦娣e最大時(shí)的值為，最大面積為。（2）當(dāng)時(shí)，S取值最大。（度）?！菊f(shuō)明】在本題，能

9、否認(rèn)識(shí)到S是的函數(shù)，是解法能否啟動(dòng)的關(guān)鍵！我們年，用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，從思考與實(shí)施來(lái)看，也可分為三大步驟：步驟、從解法定向上認(rèn)定這是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，即要化歸到函數(shù)模型。步驟、列出函數(shù)關(guān)系系的表達(dá)式。步驟、利用列出的函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。2、關(guān)于數(shù)量關(guān)系的方案問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的方案問(wèn)題，更多的是函數(shù)與不等式的結(jié)合運(yùn)用?！胺桨竼?wèn)題”其核心是在若干種可供選擇的處理方法中，找出最優(yōu)的方案來(lái)?！白顑?yōu)”反映在數(shù)學(xué)中，大多就是“最大”或“最小”。解決方案問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題的類(lèi)型之特點(diǎn)，基本上可分為四種方法：列舉法：“函數(shù)不等式的整數(shù)解”“不等式組的整數(shù)解”；“兩個(gè)函數(shù)比較”法。（1）列舉法 所謂“列舉法”，就是把可

10、選擇的方案悉數(shù)列出，然后根據(jù)要求從中確定出“最優(yōu)者”，在可選擇的方案數(shù)量有限、且容易全部確定的情況下，易采用這種方法。例5 為了提高土地的利用率，將小麥、玉米、黃豆三種農(nóng)作物套種在一起，俗稱(chēng)“三種三收”，這樣種植的方法可將土地每畝的總產(chǎn)量提高40%。右表是三種農(nóng)作物的總產(chǎn)量、銷(xiāo)售單位及種植成本的對(duì)應(yīng)表：現(xiàn)將面積為10畝的一塊農(nóng)田進(jìn)行“三種三收”套種，為保證主要農(nóng)作物的種植比例，要求小麥的種植面積占整個(gè)種植面積的一半。（1）在保證小麥種植面積不變的情況下，玉米、黃豆的種植面積小麥玉米黃豆畝產(chǎn)量（千克）400680250銷(xiāo)售單價(jià)（元/千克）212.6種植成本（元/畝）20013050均不得低于一畝

11、，且兩種農(nóng)作物均以整畝數(shù)種植，三種農(nóng)作物套種的種植畝數(shù)，有哪幾種種植方案？（2）在（1）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總銷(xiāo)售價(jià)最高？最高價(jià)是多少？（3）在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（總利潤(rùn)總銷(xiāo)售價(jià)總成本）【觀察與思考】對(duì)于問(wèn)題（1）、（2）、（3）均用列舉法，把相應(yīng)的方案列出來(lái)，然后根據(jù)要求，選定“最優(yōu)者”。解：（1）將種植方案可以列舉出來(lái)，如下： 方案 一二三四小麥畝數(shù)5 555玉米畝數(shù) 1 2 34黃豆畝數(shù) 4 3 21（2）先列舉出每種方案對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售總價(jià)： 方案 相應(yīng)的總銷(xiāo)售價(jià)方案一 方案二 方案三 方案四 采用方案四，即小麥5畝

12、，玉米4畝，黃豆1畝，可使總銷(xiāo)售價(jià)最高，為7370元。（3）列舉出各方案對(duì)應(yīng)的總利潤(rùn)： 方案 相應(yīng)的總利潤(rùn)方案一方案二方案三方案四采用方案一，即小麥5畝，玉米1畝，黃豆4畝，可使總利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)為5950元?！菊f(shuō)明】由本題可以看出：方案的列舉，以遵循某個(gè)順序?yàn)楹?，如?）中“按玉米畝數(shù)遞增”為序；相應(yīng)地，（2）中“總銷(xiāo)售價(jià)”也遞增；（3）中的“總利潤(rùn)”遞減，這就這最佳方案的選擇提供了更大的方便。（2）化歸為“函數(shù)不等式的整數(shù)解”例6 某班到畢業(yè)時(shí)共結(jié)余經(jīng)費(fèi)1800元，班委會(huì)決定拿出不少于270元但不超過(guò)300元的資金為老師購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品，其余資金用于在畢業(yè)晚會(huì)上給50位同學(xué)每人購(gòu)買(mǎi)一件文化衫或

13、一本相冊(cè)作為紀(jì)念品。已知每件文化衫比每本相冊(cè)貴9元，用200元恰好可以買(mǎi)到2件文化衫和5本相冊(cè)。（1）求每件文化衫和每本相冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？（2）有幾種購(gòu)買(mǎi)文化衫和相冊(cè)的方案？哪種方案用于購(gòu)買(mǎi)老師紀(jì)念品的資金更充足？【觀察與思考】對(duì)于問(wèn)題（1），可借構(gòu)造方程組來(lái)解決；對(duì)于問(wèn)題（2），可先列出購(gòu)買(mǎi)文化衫和相冊(cè)所用的總錢(qián)數(shù)關(guān)于購(gòu)買(mǎi)文化衫的數(shù)量的函數(shù)的關(guān)系式，再由對(duì)總錢(qián)數(shù)（函數(shù)值）的范圍限制，得出相應(yīng)不等式的整數(shù)解（購(gòu)買(mǎi)文化衫的件數(shù)），從而把可行的方案找出來(lái)，再?gòu)闹写_定出要求的方案。解：（1）設(shè)文化衫和相冊(cè)的價(jià)格分別為元和元，別解得答：文化衫和相冊(cè)的價(jià)格分別為35元和26元。（2）購(gòu)買(mǎi)文化衫件，

14、則購(gòu)買(mǎi)相冊(cè)本，則共需用錢(qián)（元）為，根據(jù)題意有：。解得。為正整數(shù)，即有三種方案。第一種方案：購(gòu)文化衫23件，相冊(cè)27本，此時(shí)余下資金293元。第二種方案：購(gòu)文化衫24件，相冊(cè)26本，此時(shí)余下資金284元。第三種方案：購(gòu)文化衫25件，相冊(cè)25本，此時(shí)余下資金275元。所以第一種方案用于購(gòu)買(mǎi)教師紀(jì)念品資金更充足?！菊f(shuō)明】對(duì)于本題的問(wèn)題（2），雖然沒(méi)有明確要求寫(xiě)出購(gòu)買(mǎi)文化衫和相冊(cè)總錢(qián)數(shù)關(guān)于購(gòu)買(mǎi)文化衫數(shù)量間的函數(shù)關(guān)系式，但它卻是本問(wèn)題解決的核心基礎(chǔ)，由此可以看出，許多“不等式問(wèn)題”實(shí)際是建立在“函數(shù)”的基礎(chǔ)上的，問(wèn)題（2）的解決方案可稱(chēng)為“函數(shù)不等式的整數(shù)解”的確定方案的方法。例7 某公司經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種

15、商品，每件甲種商品進(jìn)價(jià)12萬(wàn)元，售價(jià)14.5萬(wàn)元；每件乙種商品進(jìn)價(jià)8萬(wàn)元，售價(jià)10萬(wàn)元，且它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)始終不變，現(xiàn)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬(wàn)元，不高于200萬(wàn)元。（1）該公司有幾種進(jìn)貨方案？（2）該公司采用哪種進(jìn)貨方案可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（3）若用（2）中所求得的利潤(rùn)再次進(jìn)貨，請(qǐng)直接寫(xiě)出獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案?！居^察與思考】對(duì)于問(wèn)題（1），可用“函數(shù)不等式的整數(shù)解”，來(lái)確定出方案。對(duì)于問(wèn)題（2），可用函數(shù)的增減速性來(lái)確定，也可以用列舉法來(lái)確定。對(duì)于問(wèn)題（3），可用列舉的方法。解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品（件），所用資金為（萬(wàn)元），則 。由，得。因?yàn)槭钦?/p>

16、數(shù)，所以，得三種進(jìn)貨方案：方案一，購(gòu)進(jìn)甲種商品8件，乙種商品12件；方案二，購(gòu)進(jìn)甲種商品9件，乙種商品11件；方案三，購(gòu)進(jìn)甲種商品10件，乙種商品10件；（2）方法一，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品（件），銷(xiāo)售后總獲利為（萬(wàn)元），則 。因?yàn)椋院瘮?shù)隨的增大而增大，結(jié)合（1）的結(jié)果可知：當(dāng)時(shí)，有最在值為45。方法二，當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種商品8件，乙種商品12件，總利潤(rùn)為 ；當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種商品9件，乙種商品11件時(shí)，總利潤(rùn)為當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種商品10件，乙種商品10件時(shí)，總利潤(rùn)為；可知購(gòu)進(jìn)甲種商品10件，乙種商品10件，可得最大利潤(rùn)45萬(wàn)元。（3）用不超過(guò)45萬(wàn)元，可進(jìn)貨的方案和相應(yīng)的利潤(rùn)為：方案一：甲種商品3件，乙種商品1件，可獲

17、利 ；方案二：甲種商品2件，乙種商品2件，可獲利 ；方案三：甲種商品1件，乙種商品4件，可獲利 方案四：乙種商品5件，可獲利可知購(gòu)進(jìn)甲種商品1件，乙種商品4件可獲最大利潤(rùn)10.5（萬(wàn)元）【說(shuō)明】對(duì)于（3），仍可用“函數(shù)不等式的整數(shù)解”的方法，但在能用列舉法且方案種類(lèi)不多的情況，我們寧愿采用列舉法，因?yàn)樗鼈兊奶攸c(diǎn)是直觀、明確。（3）化歸為不等式組的整數(shù)解例8 某班級(jí)為準(zhǔn)備元旦聯(lián)歡會(huì)，欲購(gòu)買(mǎi)價(jià)格分別為2元、4元、10元的三種獎(jiǎng)品，每種獎(jiǎng)品至少購(gòu)買(mǎi)一件，共買(mǎi)16件，恰好用50元，若2元的獎(jiǎng)品購(gòu)買(mǎi)件。（1）用含的代數(shù)式表示另外兩種獎(jiǎng)品的件數(shù)；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案，并說(shuō)明理由。【觀察與思考】對(duì)于問(wèn)題（

18、1），由三種獎(jiǎng)品共16件和共用50元這兩個(gè)條件，可構(gòu)造“另外兩種獎(jiǎng)品件數(shù)”的方程組（含），解出即可；對(duì)于問(wèn)題（2）由“每件獎(jiǎng)品至少購(gòu)買(mǎi)一件”構(gòu)造關(guān)于的不等式組，由不等式組的整數(shù)解確定出方案。解：（1）設(shè)4元錢(qián)的獎(jiǎng)品買(mǎi)件，10元錢(qián)的獎(jiǎng)品買(mǎi)件。由題意，得4元錢(qián)的獎(jiǎng)品為件，10元錢(qián)的獎(jiǎng)品為件。（2）由題意，得解得。為正整數(shù)，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，。購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品方案一：2元的獎(jiǎng)品買(mǎi)10件，4元的獎(jiǎng)品買(mǎi)5件，10元的獎(jiǎng)品買(mǎi)1件。方案二：2元的獎(jiǎng)品買(mǎi)13件，4元的獎(jiǎng)品買(mǎi)1件，10元的獎(jiǎng)品買(mǎi)2件?！菊f(shuō)明】在本題，通過(guò)對(duì)的三個(gè)角度的限定（轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式）來(lái)確定出符合

19、要求的方案來(lái)。（4）化歸為兩個(gè)函數(shù)的比較例9 甲、乙兩家商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同樣的電器，但是各自推出的優(yōu)惠方案不同，甲商場(chǎng)規(guī)定：凡購(gòu)買(mǎi)超過(guò)1000元電器的，超出的金額按90%實(shí)收；乙商場(chǎng)規(guī)定：凡購(gòu)買(mǎi)超過(guò)500元電器的，超出的金額按95%實(shí)收，顧客怎樣選擇商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)電器能獲得最大的優(yōu)惠？【觀察與思考】容易知道，甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)的“優(yōu)惠額”都是購(gòu)買(mǎi)商品所花“錢(qián)數(shù)”的函數(shù)，那么，建立出這兩個(gè)函數(shù)，進(jìn)行比較即可解決本問(wèn)題。解：甲商場(chǎng)：設(shè)購(gòu)買(mǎi)元的電器，優(yōu)惠金額為元，則有當(dāng)元時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。乙商場(chǎng)：設(shè)購(gòu)買(mǎi)元的電器，優(yōu)惠金額為元，則有當(dāng)元時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，比較和的大小：。可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。綜上可知：

20、、當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額為不超過(guò)500元和恰為1500元時(shí)，在兩商場(chǎng)得到優(yōu)惠金額是相等的。、當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額大于500而小于1500元時(shí)，在乙商場(chǎng)得到的優(yōu)惠更大；、當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額大于1500元時(shí)，在甲商場(chǎng)得到的優(yōu)惠更大?！菊f(shuō)明】當(dāng)兩類(lèi)方式各自獨(dú)立（如從甲商場(chǎng)或乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)電器）時(shí)，分別建立各自對(duì)應(yīng)的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的比較得出哪個(gè)階段中何種方式為優(yōu)。例10 某果品公司急需將一批不易存放的水果從A市運(yùn)到B市銷(xiāo)售，現(xiàn)有甲、乙兩家運(yùn)輸公司提供各自的服務(wù)及收費(fèi)的數(shù)據(jù)如下：公司運(yùn)輸速度（）運(yùn)速收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元/）包裝與卸裝時(shí)間（）包裝與卸裝費(fèi)用（元）甲公司 60 6 4 1500乙公司 100 10 3 700并且，這批水果在包裝與卸

21、裝以及運(yùn)輸過(guò)程中的損耗為300元/，如果A，B兩地距離，欲使果品公司支付的總費(fèi)用（包裝與卸裝費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)、以及損耗費(fèi)三項(xiàng)之和）最小，應(yīng)如何選擇運(yùn)輸公司？【觀察與思考】應(yīng)先分別求出甲、乙兩公司總費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行比較即可。解：分別求出甲、乙兩公司的總費(fèi)用，和之間的關(guān)系： ； 。比較和的大?。海?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。由此得到結(jié)論：（1）當(dāng)（）時(shí)，應(yīng)選乙公司；（2）當(dāng)（）時(shí)，可選甲、乙任一公司；（3）當(dāng)（）時(shí)，應(yīng)選甲公司?！菊f(shuō)明】如本題這樣的方案問(wèn)題，“函數(shù)”的約束條件較多，切應(yīng)做到“全面考慮”。縱觀上述的各類(lèi)“方案”問(wèn)題，不難看出： 以數(shù)量關(guān)系為核心的“方案問(wèn)題”，絕大多數(shù)在本質(zhì)上是函數(shù)問(wèn)題

22、，或是一個(gè)函數(shù)的取值限定，或是同一個(gè)自變量的兩個(gè)（或更多個(gè)）函數(shù)取值限定，或是同一個(gè)自變量的兩個(gè)函數(shù)比較，從這一視角出發(fā)，我們就能用更為統(tǒng)一的思想和方法認(rèn)識(shí)與解決更為普遍的“方案”問(wèn)題。二、化歸到“幾何計(jì)算”模型 有關(guān)圖形的實(shí)際應(yīng)用性問(wèn)題，最重要也是最常用的是化歸到“幾何計(jì)算”模型。“幾何計(jì)算”即我們一再?gòu)?qiáng)調(diào)的“解直角三角形”與“相似三角形”。1、化歸到“幾何計(jì)算”的應(yīng)用性問(wèn)題一樓二樓CAD小心碰頭B例1 某大型超市為方便顧客購(gòu)物，準(zhǔn)備在一至二層樓房之間安裝電梯（如圖（1），樓頂與地面平行，要使身高2米以下的人能筆直站立于坡形電梯上，在B處不碰到頭部，請(qǐng)你幫該超市設(shè)計(jì)電梯與一樓地面的夾角應(yīng)為多

23、少度？【觀察與思考】將實(shí)景圖抽象為幾何圖形，并進(jìn)一步將相關(guān)數(shù)量向“可解的直角三角形”轉(zhuǎn)移與集中，如圖（1），通過(guò)幾何計(jì)算，使原問(wèn)題獲解。（1）解：據(jù)題意，圖（1）中有：在中（，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E，ADCBFE。那么，(1)得關(guān)于AF的方程，解得在中，答：電梯與一樓地面的夾角應(yīng)為30°?！菊f(shuō)明】實(shí)際問(wèn)題化歸到基本圖形，關(guān)鍵在于把有關(guān)數(shù)量恰當(dāng)?shù)丶小＠? 如圖（1），某人在山坡坡腳處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)的仰角為60°，沿山坡向上走到處再測(cè)得點(diǎn)的仰角為45°，已知米，山坡坡度為，且點(diǎn)，點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，求電視塔的高度以及此人所在位置點(diǎn)的鉛直高度。（測(cè)傾器的高度忽略

24、不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）。【觀察與思考】將問(wèn)題化歸到“可解的直角三角形”與“相似三角形”，如圖（1）CABP水平地面山坡解：作于，作于。（1）在中，即。在中，。而在中，CABFPE由，得。，（1），解得。電視塔的高為米，點(diǎn)的鉛直高度為米?！菊f(shuō)明】在本題，構(gòu)造出可解的和，再與結(jié)合，使“幾何計(jì)算”得以實(shí)施。例3 如圖（1），是一個(gè)路障的縱截面和汽車(chē)越過(guò)路障時(shí)的底盤(pán)示意圖，點(diǎn)分別是車(chē)輪的軸心，是線(xiàn)段的中點(diǎn)（軸心距的中點(diǎn)），兩車(chē)輪的半徑相等。經(jīng)驗(yàn)告訴人們，只要中點(diǎn)不被點(diǎn)托住（俗稱(chēng)托底盤(pán)，對(duì)汽車(chē)很有危害），線(xiàn)段上的其它點(diǎn)就不會(huì)被點(diǎn)托住，汽車(chē)就可順利通過(guò)，否則，就要通過(guò)其他方式通過(guò)。（1）若某種汽車(chē)的車(chē)輪

25、半徑為50，軸心距為400。通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，汽車(chē)恰好能通過(guò)斜坡？（精確到，參考數(shù)據(jù)）。（2）當(dāng)120°時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明要使汽車(chē)安全通過(guò)，車(chē)輪半徑與軸心距的比應(yīng)符合什么條件？APMB【觀察與思考】首先搞清楚，汽車(chē)可順利通過(guò)，數(shù)學(xué)表示應(yīng)是。對(duì)于問(wèn)題（1），關(guān)鍵要求出的度數(shù)，這要?dú)w入一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹苯侨切?。?）對(duì)于問(wèn)題（2），實(shí)際上轉(zhuǎn)化為求的三角函數(shù)值。解：（1）設(shè)兩車(chē)輪與坡面的接觸點(diǎn)分別為。如圖（1），連結(jié)，由題意知，分別是和的切線(xiàn)，。在中，。同理可求得。APMBCD時(shí)，汽車(chē)恰好能過(guò)能斜坡。（2）由（1）可知，當(dāng)120°時(shí)，（1）即，因?yàn)橐蛊?chē)安全通過(guò)，就須使，

26、即須使。即車(chē)輪半徑與軸心距的比不小于?！菊f(shuō)明】由本題可以看出，解實(shí)際性問(wèn)題重在完成兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是將原題的基本意義轉(zhuǎn)化為明確的“數(shù)學(xué)表述”，如“汽車(chē)順利通過(guò)”，“車(chē)輪半徑與軸心距的比”是通過(guò)什么樣的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量來(lái)反映的；二是這些概念和數(shù)量又應(yīng)在一個(gè)什么樣的基本圖形中被反映并計(jì)算出來(lái)，這兩個(gè)方面的轉(zhuǎn)化能力就是用幾何模型解實(shí)際應(yīng)用性問(wèn)題的能力。2、關(guān)于測(cè)量方案CB例4 如圖（1），為了測(cè)量小河的寬度，先在河岸邊任意取點(diǎn)，再在河的另一岸取兩點(diǎn)，測(cè)得，量得的長(zhǎng)為20米。（1）求小河的寬；（2）請(qǐng)?jiān)僭O(shè)計(jì)一種測(cè)量河寬的方案，畫(huà)了設(shè)計(jì)草圖，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明?！居^察與思考】1、對(duì)于問(wèn)題（1），就是通過(guò)直角三角形構(gòu)

27、造關(guān)于河寬的方程；2、對(duì)于問(wèn)題（2），可以沿著“構(gòu)造可解的直角三角形”或（1）“借助于相似三角形”兩條渠道去落實(shí)。解：（1）設(shè)河寬為，則由圖（1）可知，（下略）（2）借助于解直角三角形的設(shè)計(jì)可有：河寬AHABD60°HH60°ABD45°方案：方案： 方案：ACD30°河寬ADBD河寬借助于相似三角形的設(shè)計(jì)方案可有：AHDOAHDO方案： 方案： 方案：AHCGB河寬其中：河寬： （全等三角形是相似三角形的特殊情況）類(lèi)似的方案還可以有許多?！菊f(shuō)明】測(cè)量方案就是能實(shí)現(xiàn)幾何計(jì)算的方案，因此，必以可解的直角三角形和相似三角形為基礎(chǔ)。 練習(xí)題1、2001年以來(lái)，

28、我國(guó)曾五次實(shí)施藥品降價(jià)，累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元，五次藥品降價(jià)的年份與相應(yīng)降價(jià)金額如下表所示，表中缺失了2003年、2007年相關(guān)數(shù)據(jù)，已知2007年藥品降價(jià)金額是2003年藥品降價(jià)金額的6倍，結(jié)合表中信息，求2003年和2007年的藥品降價(jià)金額。年份20012003200420052007降價(jià)金額（億元）5435402、某蔬菜基地加工廠有工人100人，現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行工作分工，或采摘蔬菜，或?qū)Ξ?dāng)日采摘的蔬菜進(jìn)行精加工，每人每天只能做一項(xiàng)工作。若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48；若對(duì)采摘后蔬菜進(jìn)行精加工，每人每天可加工32（每天精加工的蔬菜和沒(méi)來(lái)得及精加工的蔬菜全部售出）。已知每千克蔬菜直接

29、售出可獲利潤(rùn)1元，精加工后再出售，每千克可獲利潤(rùn)3元，設(shè)每天安排名工人進(jìn)行蔬菜精加工。（1）求每天蔬菜精加工后再售出所得的利潤(rùn)（元）與（人）的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果每天精加工的蔬菜和沒(méi)來(lái)得及精加工的蔬菜全部售出的利潤(rùn)為元，求與的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明如何安排精加工人數(shù)才能使一天所獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？3、工藝商場(chǎng)按標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元，按標(biāo)價(jià)八五折銷(xiāo)售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷(xiāo)售該工藝品12件所獲利潤(rùn)相等。（1）該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進(jìn)價(jià)進(jìn)貨，標(biāo)價(jià)售出，工藝商場(chǎng)每天可售出該工藝品100件，若每件工藝品降價(jià)1元，則每天可多售出工藝品4件，問(wèn)每件工藝品降價(jià)多少元出售，每天獲得利潤(rùn)最大？獲得的最大利潤(rùn)是多少元？4、小剛為書(shū)房買(mǎi)燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購(gòu)，其中一種是9瓦（即千瓦）的節(jié)能燈，售價(jià)49元/盞。另一種40瓦（即千瓦）的白熾燈，售價(jià)為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時(shí)，已知小剛家所在的地的電價(jià)是每千瓦元。（1）設(shè)照明時(shí)間小時(shí)時(shí)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用和一盞白熾燈的費(fèi)用（注：費(fèi)用燈的售價(jià)+電費(fèi)）（2）小剛想在這兩種燈中選購(gòu)一盞當(dāng)照明時(shí)間是多少小時(shí)時(shí)，使用兩盞燈的費(fèi)用一樣多；照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低？照明