1、北京英才苑網站 ·版權所有·盜版必究· 組合（5）排列、組合數的綜合應用（3）一、課題：組合（5）排列、組合數的綜合應用（3）二、教學目標：1對排列組合的知識有一個系統的了解，從而進一步掌握；2能運用排列組合概念及兩個原理解決排列組合的綜合題；3提高合理選用知識分析問題、解決問題的能力。三、教學重、難點：排列、組合綜合問題。四、教學過程：（一）復習、引入：1解決排列組合的綜合性問題，一般方法是先選（組合）元素，再排列；2按元素的性質進行分類、按事件發生的連續過程分步，始終是處理組合應用題的基本方法和原理。（二）新課講解：例1 某考生打算從所重點大學中選所填在第一檔

2、次的個志愿欄內，其中校定為第一志愿；再從所一般大學中選所填在第二檔次的三個志愿欄內，其中、兩校必選，且在前。問：此考生共有多少種不同的填表方法？解：先填第一檔次的三個志愿欄：因校定為第一檔次的第一志愿，故第一檔次的二、三志愿有種填法；再填第二檔次的三個志愿欄：、兩校有種填法，剩余的一個志愿欄有種填法。由分步計數原理知，此考生不同的填表方法共有（種）。例2 如圖是由12個小正方形組成的矩形網格，一質點沿網格線從點到點的不同路徑之中，最短路徑有 條。解：總攬全局：把質點沿網格線從點A到點的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的區別在于哪三步向上，因此，本題的結論是：例3 圓周上有個不

3、同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內的交點個數最多是多少？解：要使交點個數最多，則只需所有的交點都不重合。顯然，并不是每兩條弦都在圓內有交點，但如果兩條弦相交，則交點就是以這兩條弦的四個端點為頂點的四邊形的對角線的交點，也就是說，弦在圓內的交點與以圓上四點為頂點的四邊形是一一對應的。因此只需求以圓上四點為頂點的四邊形的個數，即個。 回顧：本題構造了四邊形以求得滿足條件的交點，類似的，前面講過一個問題：以一個正方體的8個頂點連成的異面直線共有 對。解：以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有58個，每個四面體的四條棱可以組成3對異面直線，因此以一個正方體的8個頂點連成的異面直線共有3×

4、58174對。另解：對。例4 有只不同的試驗產品，其中有只次品，只正品，現每次取一只測試，直到只次品全測出為止，求最后一只次品正好在第五次測試時被發現的不同情形有多少種？解：本題的實質是，前五次測試中有只正品，只次品，且第五次測試的是次品。思路一：設想有五個位置，先從只正品中任選只，放在前四個位置的任一個上，有種方法；再把只次品在剩下的四個位置上任意排列，有種排法。故不同的情形共有種。思路二：設想有五個位置，先從只次品中任選只，放在第五個位置上，有種方法；再從只正品中任選只，和剩下的只次品一起在前四個位置上任意排列，有種方法。故不同的情形共有種。例5 在一次象棋比賽中，進行單循環比賽。其中有人

5、，他們各賽了場后，因故退出了比賽，這樣，這次比賽共進行了場，問：比賽開始時參賽者有多少人？解：需要考慮兩種情況：第一種，因故退出比賽的兩人之間沒有進行比賽，則，此方程無正整數解；第二種，因故退出比賽的兩人之間進行了比賽，則，解得，所以，比賽開始時參賽者有人。五、課堂小結1解決有關計數的應用題時，要仔細分析事件的發生、發展過程，弄清問題究竟是排列問 題還是組合問題，還是應直接利用分類計數原理或分步計數原理解決。一個較復雜的問 題往往是分類與分步交織在一起，要準確分清，容易產生的錯誤是遺漏和重復計數；2解決計數問題的常用策略有：（1）特殊元素優先安排；（2）排列組合混合題要先選（組35647612

6、2128AB6 合）后排；（3）相鄰問題捆綁處理（先整體后局部）；（4）不相鄰問題插空處理；（5）順 序一定問題除法處理；（6）正難則反，合理轉化。六、作業： （一）選擇題1 如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相聯，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量，現從結點向結點傳遞信息，信息可以分開沿不同路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為 （ D ）2學校召開學生代表大會，高二年級的3個班共選6名代表，每班至少1名，代表的名額 分配方案種數是 （D）33名醫生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每所學校分配1名醫生和2名護士， 不同的分配方法共有 （

7、D）（二）填空題：（列式并算出結果）4公共汽車上有位乘客，汽車沿途停靠個站，那么這位乘客不同的下車方式共有種；如果其中任何兩人都不在同一站下車，那么這位乘客不同的下車方式共有種。5名男生和名女生排成一行，按下列要求各有多少種排法： （1）男生必須排在一起； （2）女生互不相鄰 ； （3）男女生相間； （4）女生按指定順序排列6有排成一行的個空位置，位女生去坐，要求任何兩個女生之間都要有空位，共有種不同的坐法。7賽艇運動員10人，3人會劃右舷，2人會劃左舷，其余5人兩舷都能劃，現要從中挑選6人上艇，平均分配在兩舷上劃槳，共有種選法。8位同學進行網頁設計比賽，決出了第1至第5名的名次。、兩位同學去詢問名次，主考官對說：“很遺憾，你和都未拿到冠軍”；對說：“你當然不會是最差的。”從這個回答分析，位同學的名次排列共可能有種不同的情況。9學校餐廳供應客飯，每位學生可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種，現在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位學生有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準備