1、平面幾何在解析幾何中的應用南昌大學附中 陳一君一、活用幾何關系速解圓類問題在解析幾何中，作為二次曲線的圓是研究直線的延續和學習圓錐曲線的基礎.圓既是軸對稱圖，又是中心對稱圖形，其中蘊藏著諸多位置關系和數量關系，對于解析幾何中圓的某些問題，若能活用題中幾何要素的關系，解題就會變得簡單而快捷，圓涉及的知識點主要有：圓中切割線定理、圓冪定理、垂徑定理.活用圓的幾何性質可以快速解決圓類問題，降低運算量，培養學生認真分析圖形的幾何性質，養成綜合應用知識的習慣，提高解題技巧與能力.解題時，若能把握形的幾何特征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運算量，將會起到非常重要的作用，今

2、天我們帶領大家學習如何活用幾何關系速解圓類問題.【例題】已知直線和圓相交于不同兩點A，B，點在直線l上，且滿足，當變化時，求的軌跡xylPTABC圖1【常規解法】設點，則的參數方程為將（1）代入，得顯然設方程（2）的兩根為，由，依題意點在AB或BA的延長線上，即即為的軌跡方程，表示以為圓心，為半徑的圓【點評】由聯想到直線的參數方程中的幾何意義雖然也很自然，但相對與參數方程在教材中的地位來說對更多高三學生來說亦屬不易，還有運算量相比較還是比較大的，時間成本的控制不如方法一需要說明的是如果不用直線的參數方程的方法，純代數解幾的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定時間內完成【利用圓的幾何性質解法

3、】圓的圓心由切割線定理，如圖1所示，有，故點在圓外，點的軌跡方程為【點評】顯然直線AB是圓的割線，運用平面幾何知識中的切割線定理求軌跡就簡單明了，結果是體現在運算量得到極大地減少，時間成本得到控制通過本節微專題學習，發現求解圓的問題時，若能充分揭示問題中的幾何關系，靈活運用平面幾何知識，解題則會事半功倍.切割線定理、圓冪定理、垂徑定理是圓的對稱性的反映，它們在圓中的應用程度非常之廣泛.【針對訓練】（2013年福建高考文科試題）如圖，拋物線的焦點為F，準線l與x軸的交點為A點C在拋物線E上，以C為圓心，|OC|為半徑作圓，設圓C與準線l交于不同的兩點M、N（I）若點C的縱坐標為2，求|MN|；（

4、II）若，求圓C的半徑【分析】本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質、直線與圓的位置關系等基礎知識根據條件圓心C在拋物線上且過原點，解法如下：（）拋物線的準線l的方程為，由點C的縱坐標為2，得點C坐標，所以點C到準線l的距離d=2，又|CO|=5所以（）【常規解法】設，則圓的方程為：，即，由， 設得到由，得， 此時圓心的坐標為或，從而得，即圓的半徑為【利用圓的幾何性質解法】抓住圓的幾何特征結合垂徑定理，從圓冪定理為切入點有下列簡潔解法：設圓C與x軸交于不同的兩點O、G由圓冪定理知：|AO|·|AG|AM|·|AN|由條件F，即|AM|·|AN|AO|·

5、|AG|，由條件設，則，或，【點評】（I）涉及拋物線與圓的位置關系問題，關鍵要抓住圓心在拋物線上、圓過原點這些幾何特征，結合垂徑定理和根與系數關系解決問題（II）根據條件抓住幾何特征通過圓冪定理解決，顯然比標準答案所給的方法簡單明了，關鍵就是充分利用了圓的幾何性質化難為易、化繁為簡，收到事半功倍的效果二、解析幾何中巧用三角形相似簡化計算解析幾何是建立在坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，用代數方法解決幾何問題的一門學科，它開創了數、形結合研究方法.解決解析幾何問題的最大難度是如何把握好解題的總體思想策略.但在平時的解析幾何教學中，師生往往偏重于相關量的數量關系的研究，摒棄了最基本，最

6、直接的解題思路，不重視平面幾何知識,但解析幾何的“魂”還是“幾何”特征.在現代中學教學中，解解析幾何時，可以靈活應用平面幾何知識，找到簡捷的解題途徑，簡化解析幾何的解題過程，降低運算量.運用平面幾何知識，能培養學生認真分析圖形的幾何性質，養成綜合應用知識的習慣，提高解題技巧與能力.解題時，若能把握形的幾何特征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運算量，將會起到非常重要的作用，今天我們帶領大家學習如何利用平面幾何的三角形相似知識巧妙解決解析幾何的問題.【例題】如圖：橢圓的左右焦點為，上頂點為A，離心率，點P為第一象限內橢圓上的一個點，且則直線的斜率為 .【常規解法一】

7、P到直線的距離和到軸的距離的比為2:1，設出P點坐標，進而求.F2AxyPF1OF2AxyPF1NMO設P(m,n)，由題意知直線，P到直線的距離,即（點P在直線AF1的右側，可直接去掉絕對值符號）整理得（體現了設而不求）【常規解法二】A與到直線的距離的比為2:1，用點到直線的距離公式直接解出yF2AxPF1M2N1O設直線方程為,由與到直線的距離的比為2:1得到等式，即（注意點到直線距離公式中絕對值符號是如何去掉的）【利用相似比解法一】連接與交于點，證明是線段的三等分點，進而求F2AxyPF1BMNO如圖，作AM垂直于于點M，作垂直于點N，,連接交于點，由相似比知，所以是線段的三等分點，而，

8、求出點坐標是，所以F2AxyPF1MNO【利用相似比解法二】AO與交于點B，證明B是線段AO的五等分點，就能得出B點坐標，進而求連接OP，知，由，得出，作AM垂直于點M，作ON垂直于于點N，設與y軸的交點為B，由相似比知，所以B是線段AO的五等分點，而，求出B點的坐標是，所以【評析】靈活地應用平面幾何知識，可以快速化解題目的難點之處.幾何分析是“形”向“數”的轉化，是特殊性方法，是“數形結合”思想應用.通過本節微專題學習，對于某些解析幾何問題，我們不一定都要通過常規方法入手，只要我們認真分析題目中幾何量之間的關系，運用平面幾何的觀點來審題，認清題目的本質特征，然后再動筆，往往帶來很多方便.要讓

9、學生在自然的代數過程中聯系幾何轉化，不要刻意分割解析幾何中的“數”與“形”，讓數形結合思想真正融入解題思維里【針對訓練】已知圓直線為l上的一點，射線OP交圓于點R，點Q在OP上，且滿足，當P點在l上移動時，求點Q的軌跡方程.【分析】常規解法相當繁瑣，令人頭疼.限于篇幅，這里不再展示常規解法，但是，如果采用三角形相似來解決的話，會很簡單.解：如圖所示，過點P作圓的切線PM，M為切點，連接MQ，易證由，得，即，故為定值，又故點Q的軌跡方程為.【點評】到目前為止,這是我所見到的本題最簡潔的解法,簡煉有力,令人驚嘆！三、平面幾何在求軌跡方程中的應用在最近幾年的教學中，我發現了同學們學習中存在的一個普遍

10、問題：學哪一段就用哪一段的方法，這樣做產生的后果是:思路閉塞，運算繁瑣.伴隨著年齡的增長，同學們所掌握的數學方法越來越多，進入高中以后，特別是接觸到解析幾何后，我們不少同學就有點喜新厭舊了，把以前初中的平面幾何知識拋到一邊，認為有點過時了.其實不然，數學方法并沒有過時的說法，一些簡單地定理往往能帶來令人意想不到的效果，如中線定理、角平分線定理、射影定理等平面幾何中的基本知識，如果運用得當的話，就可以將你從解析幾何繁復的運算中解放出來，甚至能讓你拍案叫絕.求軌跡方程是解析幾何中的兩大基本問題之一，也是高考重點考查的內容.其方法多種多樣，但在求軌跡方程中,如果能夠充分利用平面幾何知識，對于拓廣解題

11、思路，減少運算量，將會起到非常重要的作用，今天我們帶領大家學習應用平面幾何求解軌跡方程的問題.【例題】已知圓O的方程是，定點,如圖作矩形APBQ（A、B兩點在圓上）.求矩形的頂點Q的軌跡方程.xyA6-6OPBQM【常規解法】設，則：,又即.即所求矩形的頂點Q的軌跡方程為：.【點評】以上解法很常規，但其消元的過程是在太巧妙了！不易想到.除此之外，還可利用PA斜率K為參數，建立Q的參數方程來解決，但其運算過程相當復雜，不易求解.【利用中線定理幾何性質解法】如上圖，連接OP,OQ,OA,OB,OM（M為矩形APBQ的對角線的交點）由平面幾何的中線定理知識可知：在中，在中，從而可得：，故為所求方程.

12、【點評】在求軌跡方程中，充分利用平面幾何知識，結合圓錐曲線的定義，在解題中，特別是在考試的客觀題解答中，將使解題過程簡單，迅速得出正確答案.通過本節微專題學習，發現求解解析幾何的軌跡方程問題時，若能充分靈活運用平面幾何知識（中線定理）快速地給出了解答，方法之妙令人叫絕，解題則會事半功倍.平時教學中，教師應注意這方面的指導.【針對訓練】點A，B，C依次在直線l上，且AB=4BC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點，以A為圓心，為AB半徑作圓，與是這個圓的切線，求垂心的軌跡T1yMAxT2HNBC【分析】如圖，以A為原點，直線AB為x軸建立坐標系，H為的垂心，N為與AM的交點，記BC=1以A為圓

13、心的圓方程為，連結，同理.又，是菱形.又設點H坐標為(x，y)，點M坐標為(5，b)，則點N坐標為，將坐標代入，再由，得在AB上取點K，使，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓【點評】本題解法的可取之處在于嫻熟的運用了平幾知識，得出是菱形后，依據菱形對角線互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影定理得出結論整個解法“平幾味”甚濃，扣“形”不放，堪稱數形結合的典范，事半功倍四、巧用投影優化計算高考的解析幾何題，似曾相見曾相識，看似平淡需真功。很多時候，解析幾何綜合題的復雜性讓許多學生望而卻步，成為學生高考成敗的關鍵。單純地依賴代數方法解決幾何問題，不光導致運算十分復雜，也有可能導致思路無法展開

14、，能不能有效避開一些繁難計算，有時關注試題中的幾何特征是解決解析幾何問題的關鍵今天我們帶領大家探討是平面上兩點間距離的轉化問題，平面上兩點間距離公式是先求平方和再開方，運算十分雜，但利用一條直線上兩線段長度比值與它們在同一坐標軸上的投影比值相等性質，可將其轉化為數軸上兩點間距離，將二維運算簡化為一維運算，能夠化繁為簡，打開“柳暗花明又一村”的新局面【例題】在平面直角坐標中，點與點關于原點對稱，是動點且直線與的斜率之積為 （）求動點的軌跡方程（）； （）設直線和分別與直線交于點、，問是否存在點，使得與的面積相等?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由【過程分析】試題中是兩條動弦與橢圓相交，不

15、再是一條直線與橢圓相交的位置關系，避開了常規的聯立方程模式套路試題中涉及、五個點，而且點、是由點生成的，所以先要通過設點坐標為參變量，然后計算點、的坐標，再利用五個點坐標分別表示與的面積，將它們用引入參變量表示，利用它們相等的關系，進而求出的坐標【解析】思路一：計算長與點到的距離，到的距離，分別計算與兩個面積，思路雖自然，運算有一定困難依題意：設、則直線方程：，直線方程：分別令，得，（多個字母參數的運算是學生死穴，這種計算比較復雜，學生在心理上就已經發抖、害怕）于是（、點坐標復雜導致三角形面積代數轉化有困難）又直線的方程為，且到直線的距離 ，且，所以由題設條件，得又，所以，得代入橢圓方程，得，

16、故存在點，使得與的面積相等【評析】解析幾何的代數特征經常體現在“設而不求”技巧上，上述解法中困難是計算、點坐標是不是一定要求出、點坐標呢?這就讓我們進一步思考，三角形面積一定要表示成“底乘以高”的形式么?思路二：我們發現要求的兩個三角形有共同的頂角，利用這個三角形面積公式更容易表示與的面積并可回避、點坐標計算解決問題需要理論支撐：在解析幾何中很少直接用平面上兩點間距離公式計算距離，多采用同一條直線上兩線段長度比值化歸轉化為兩線段在數軸上投影的線段比值，回避距離公式中的先平方再開方運算，將平面上二維的運算化歸到數軸上一維的運算，極大地簡化計算依題意：假設存在點，使得與的面積相等設，則，所以，即（

17、在這不可能去求平面上兩點間的距離，而是利用這四條線段在坐標軸上的投影也成相應比例關系進行轉化，如此二維的平面兩點距離運算轉化為一維的數軸上兩點距離運算，使運算簡潔明了，正確率必然大大提高）即，化簡得，得（后面同解法一） 【評析】共同的頂角兩三角形面積關系，利用這個三角形面積是關鍵，如果把與的面積關系調整成比例關系，也同樣適用；幾何分析是“形”向“數”的轉化，是特殊性方法，是“數形結合”思想應用，用好它的前提是掌握好基本幾何圖形（三角形、四邊形、圓等）的幾何性質及基本幾何關系（平行、垂直、相交、相切等）應用主要體現在用比較簡潔的“形”的性質去轉化“數”的運算和推理論證，最后又反饋到“形”的問題完美解決通過本節微專題學習，幾何分析實現了解析幾何問題巧算，提示我們在求解解析幾何問題時，不能僅僅關注代數方程和方程組的求解過程，但也不要去過分拔高幾何圖形分析在解決幾何問題的地位，要讓學生在自然的代數過程中聯系幾何轉化，不要刻意分割解析幾何中的“數”與“形”，讓數形結合思想真正融入解題