1、分式的知識點及典型例題分析1、分式的定義:例:下列式子中，158a2b、9a 5a b 3a b215xy 1、2-x y23 2x y4a m6 x1、2 x1、3xy3、 、a中分式的個數為()22x ym(A)2(B)3(C)4(D)5練習題：(1)下列式子中，是分式的有耳；X1 :弓：3 :27 :丹 下列式子，哪些是分式？3a3 乂 7x xxy 1 b； 2； ； ； ； 5 x 4 y 8x 2y 452、分式有、無意義：(1) 使分式有意義：令分母工0按解方程的方法去求解;(2) 使分式無意義：令分母=0按解方程的方法去求解；例1:當x時，分式一有意義；x 5例2:分式 也中，

2、當x 時，分式沒有意義；2 x例3:當x時，分式J 有意義；x21例4:當x時，分式有意義；x21例5: x， y滿足關系時，分式-y無意義;例6:無論x取什么數時，總是有意義的分式是(A -x_1B.C.3x2x 1x31D.x 52_x例7:使分式有意義的x的取值范圍為(A. x2B. x2 C. x2D.x 2A. 2要是分式(x 1)(x 3)沒有意義，則x的值為或-3 C. -13、分式的值為零:使分式值為零：令分子=0且分母工0,注意：當分子等于0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例1:當x時，分式A 擴大100倍 B 擴大10倍 C 不變 D 縮小到原來

3、的丄10 2a的值為0;a 1例2:當xx21時，分式x 1的值為0x 1例3:如果分式'3 2的值為為零,則a的值為（）a 2A.2C.2 D.以上全不對例4:能使分式2：2 ；的值為零的所有x的值是（）A x 0Bx 1 C x0 或 x 1 D x 0 或 x 1例5:要使分式x2x 5x9 6的值為0,則x的值為（）或-3D 2例6:若-a-130,則a是（)A.正數B.負數C.零 D.任意有理數4、分式的基本性質的應用：分式的基本性質：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于 0的整式，分式的值不變。A ACC 0A A CB BCBBC例1:xya aby6x( y z)23(

4、y z);如果5(3ay z7(3a1)1)5-成立,則a的取值范7圍是例2:ab21b cb ca3b3()a()例3:如果把分式b中的a和b都擴大10倍，那么分式的值（）a bA、擴大10倍 B、縮小10倍 C、是原來的20倍 D、不變例4:如果把分式匹中的x，y都擴大10倍，則分式的值（）x y例5:若把分式的x、y同時縮小12倍，則分式的值（）2xA.擴大12倍 B.縮小12倍 C.不變D.縮小6倍例6:若x、y的值均擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）3x2y3x2?3x2例7:根據分式的基本性質，分式 一-可變形為 a b3x3)D例8:不改變分式的值，使分式的分子、分

5、母中各項系數都為整數,0.2x0.012x 0.05，例9 :不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數為正數，1 x =1 x x25、分式的約分及最簡分式: 約分的概念：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分 分式約分的依據：分式的基本性質. 分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因 式. 約分的結果：最簡分式（分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式） 約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項式的，主要分數字，同字母進行約 分。第二類：分子分母是多項式的，把分子分母能因式分解的都要進行因式分解，再去找共同的因式約去。F列式子（1）(2)(3)1 ；

6、 (4)亠丄3中正確的是（）x y x yA、1個 B 、2個 C 、3個例2:下列約分正確的是（）6A、篤 x3 ； B、0 ; Cxx y例3:下列式子正確的是（）AJ 0 B.1 C.八2x ya yx xxy1 ；D2xy21、 2xxyx' 4x2y2y zd. cdc dc d cd 0xaaa0例5:下列式子正確的是（b2a例6:化簡3m2 m的結果是例7:約分:4x2y6xy23xy21xy ；1x50.6x3x 5y0例&約分:2a_2 a 4a 4a(a b) b(a b)ax ay""2 2 x y2x-2x 8x 16161 12m

7、m0.1a0.3b0.2a bx y(x y)2a 3b2a bx2 92x 614a2bc3321a3bcx29x2 6x 9例9:分式駅a ba2 b2，4a12(a b)土中'最簡分式有（）A. 1 個 B 6分式的通分及最簡公分母：通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項式；第二類：分母是多項式（要先把 分母因式分解）分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型° “二、三”型：指幾個分母之間沒有關系，最簡公分母就是它們的乘積。例如：上 x最簡公分母就是x 2 x 2 °x 2 x 2“二、四”型：指其一個分母完全包括另一個分母，最簡公分母

8、就是其一的那個 分母。例如：2最間公分母就疋x 4 x 2 x 2x 2 x 4“四、六”型：指幾個分母之間有相同的因式，同時也有獨特的因式，最簡公分 母要有獨特的；相同的都要有。例如:x2x22 最簡公分母是：2x x 2x x 2這些類型自己要在做題過程中仔細地去了解和應用， 仔細的去發現之間的區別與 聯系。例1:分式一1m n2 , 的最簡公分母是（m n2A. (m n)(mn2)B . (m2 n2、2)2 C . (m n)2(mn) Dm2n2例2:對分式上2xx3?通分時,4xy最簡公分母是（A.2 4 x2y3C.24D.l例3:下面各分式:2 x2 x2 x2 x2y2y,

9、其中最簡分式有（個。A. 4例4:分式占 ,a24例5:分式a與1的最簡公分母為bB. 3C. 2D. 12a 4的最簡公分母是1 1例 6: 分式 , 的最簡公分母為 x y x xy8、分式的加減:分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項式還是多項式，如果是單項式那就繼續考慮是什么 類型，找出最簡公分母，進行通分；如果是多項式，那么先把分母能分解的要因 式分解，考慮什么類型，繼續通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。空二m例2:2a23 a2

10、4 =a21 a21例4：占亠亠x y y x x y計算（1）(2)2a(a b)2b2(b a)2例5:化簡-x1 + -2x1 +3x等于13A . 2x B .2xC例 6: b caa bc例& xx619x 3x3xx)1156xD.6x例7:2a1a24 a 2例9:2xx 1x 1練習題：（1）b2ab2a(2)4x2 4b2(3)旦 a b a - b例 10:已知：x2 4x 30求二T1託的值ac = acbdbd 'ac. 工d . adbdbcbc分式的乘法：乘法法測:分式的除法：除法法則:例題：計算:26x2 ? 25x415x6 ' 39y

11、73 4416x y 56x1013125a100a22x 5y 10y3y2 6x 21x2求值題：（1）已知:-，求42 2x yx 2xy y2今的值。x xy求值題：（1）已知:求 xy yz xz的值。(2)已知:10x 252x x 0求xy2y的值。9、分式的求值問題：一、所求問題向已知條件轉化1 x2例1已知x+1 =3,則42 的值1例2：若ab=1，則二的值為a 1 b 1例3:已知 x = 2, y=丄，求 一24竺三 -的值.2 (x y) (x y) x y x y由已知條件向所求問題轉化例4:已知1 a -a3 ,那么a2丄a7例5:已知1 13 ,則 5x xy5

12、y的值為（)x yx xyy“7722A - BCD22772 . . 2例6:如果a=2,則aab b =b2 2 -a b例7:已知 y=3xy+x，求代數式 2x3xy2y的值x 2xy y例8:已知亠與旦的和等于糾，則a= , b =x 2x 2x 4例9:若 xy x y0，則分式1 ()yxA、-B 、 yx C、1 D、-1xy練習1:已知x為整數，且 2+丄 + 2： 18為整數，求所有符合條件的x值的和.x 3 3 x x 92:已知實數x滿足4x2-4x+I=O，則代數式2x+丄的值為.2x10、分式其他類型試題：例1:觀察下面一列有規律的數:其規律可知第n個數應是根據2

13、3j4_5_67_? ? ? ? ?3 815243548n為正整數)例2:是例3:(觀察下面一列分式:m昊，根據你的發現，它的第8項x x x x x，第n項是按圖示的程序計算，若開始輸入的 n值為4,則最后輸出的結果m是A 10 B 20 C 55 D 50例4:當x=時,分式 丄與互為相反數.5 x 2 3x例5:在正數范圍內定義一種運算，其規則為 a b = 1 1，根據這個規則a bx (x1)33的解為2()A . x2B. x1c.x-或12D. x 或 1333例6:已知4ABxC則A,B,Cx(x24)2 xx41 1=1。 1 =nn 1n 1n 21 1 =。(3 分)n

14、 2 n 3 (本小題4分)1111n(n 1)解:(n 1)(n1n(n 1)2) (n 2)(n 3) (n1 1(n 1)(n2) (n 2)(n3)2007)( n 2008)1(n 2007)(n2008)11、分式方程：(1) 分式方程：含分式，并且分母中含未知數的方程 分式方程。(2) 解分式方程的過程，實質上是將方程兩邊同乘以一個整式(最簡公分母) ， 把分式方程轉化為整式方程。解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最 簡公分母有可能為0,這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根。(3) 解分式方程的步驟：(1)能化簡的先化簡；(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；

15、(3)解整式方程；(4) 驗根.例1:如果分式的值為一1，則x的值是；2x 1例2:要使旦與亠的值相等，貝U x=。x 1 x 2例3:當m=時方程竺1=2的根為1 .m x2例4:如果方程-23的解是x= 5，貝U a =。a(x1)例 5: (1) 23(2)2x 1 1x x1x33 x例6:解方程：216x 2x2x24x 2例7:已知：關于x的方程1a無解，求< a的值x 33 x例&已知關于x的方程 a1的根是正數，求a的取值范圍x 2例9:若分式丄與的2倍互為相反數，則所列方程為x 2 x 3例10:當m為何值時間？關于x的方程二x的解為負數?例12解關于x的方程：

16、異走(a 0)例13:當a為何值時,x騎角的解是負數?例14關于x的方程丄x 2(x 2)(x 1)的解為負值，求m的取值范圍。12、分式方程的增根問題：(1) 增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0, 二是其值應是去分 母后所的整式方程的根。(2) 分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的 值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的 解。例1:分式方程+1: m有增根，則m_x 3x 3例2:當k的值等于時，關于x的方程k2x 3例3:右方程4有增根，則增根可能為(x 2 xx(x2)A 0B、2C、0或2D13、分式的應用題：4

17、x不會產生增根x 3)、1(1)列方程應用題的步驟是什么？(1)審； 設；(3)列； 解；(5)答.(2)應用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有四種：a. 行程問題：基本公式：路程=速度x時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.b. 數字問題： 在數字問題中要掌握十進制數的表示法.c. 工程問題： 基本公式：工作量二工時x工效.d. 順水逆水問題: v 順水=v靜水+V水. V 逆水=V靜水-V水.工程問題：例1： 一項工程，甲需x小時完成，乙需y小時完成，則兩人一起完成這項工程 小時rfn例2：小明和小張兩人練習電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個字，小明打120 個字所用的時間和小張打鐘

18、，則列方程正確的是(A型倒 Bx 6 x180個字所用的時間相等。設小明打字速度為x個/分)180C 120180D 120 180xxx 6xx 6120x 6例3:某工程需要在規定日期內完成，如果甲工程隊獨做，恰好如期完成；如果乙 工作隊獨做,則超過規定日期3天，現在甲、乙兩隊合作2天，剩下的由乙隊獨 做,恰好在規定日期完成，求規定日期.如果設規定日期為x天，下面所列方程中 正確的是（）2 x2311x2lx”A.1 ； B.； C.21 ； D.1x x 3x x 3x x 3 x 3x x 3例4：趙強同學借了一本書，共280頁，要在兩周借期內讀完，當他讀了一半時， 發現平時每天要多讀

19、21頁才能在借期內讀完.他讀了前一半時，平均每天讀多少頁？如果設讀前一半時，平均每天讀x頁,則下列方程中，正確的是（）A14014014 B、28028014xx 21xx 211010140140C1 D 、14xx 21xx 21例5:某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，乙、丙兩隊合做10天完成，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的-。求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少3天？價格價錢問題：例1: “五一”江北水城文化旅游節期間，幾名同學包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價為180元，出發時又增加了兩名同學，結果每個同學比原來少攤了 3元錢車費，設參加游覽的同學共 x人，則所列方程為（）A.1

20、801803xx 2D.1801803x 2x180x 2180x180x 2例2:為了幫助遭受自然災害的地區重建家園，某學校號召同學們自愿捐款。已 知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數比第 一次捐款人數多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人 進行捐款？順水逆水問題：例1: A B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地則可列方程（48484 x 4 x逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜 水中的速度為x千米/時，48x 496x 448x 496一只船順流航行例2：2km/h，求船在靜水中的速度，設船在靜水中速度為x 490km與逆流航行60km所用的時間相等，若水流速度是xkm/h，則可列方程（）90 _ 6090 _ 6090_60,60_90A、x 2 = x 2 B、x 2 = x 2 C、 x +3= x D、 x +3= x例3:輪船順流航行66千米所需時間和逆流航行48千米所需時間相同，已知水 流速度是每小時3千米，求輪船在靜水中的速度。行程問