1、第三章第三章 力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論 力矩的概念與計算力矩的概念與計算 力偶及其性質力偶及其性質 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡（一）平面中力矩的概念（一）平面中力矩的概念oABdF一、力對點的矩的定義一、力對點的矩的定義力使剛體繞力使剛體繞O點轉動的強弱點轉動的強弱程度的物理量稱為力對程度的物理量稱為力對O點點的矩。用的矩。用)(Fmo表示，其定表示，其定義式為：義式為：FdFmo)(其中：點其中：點O稱為矩心，稱為矩心，d稱為力臂。稱為力臂。（1）力矩的正負號表示力矩的轉向，規定力使物體繞矩）力矩的正負號表示力矩的轉向，規定力使物體繞矩心心逆時針轉動取正逆時針轉

2、動取正，反之取負。，反之取負。（2）力矩的單位為：牛頓）力矩的單位為：牛頓（3）力矩是代數量。）力矩是代數量。米（米（N m）。）。（4）由圖可知：）由圖可知：OABFmo2)( 的面積的面積（5 5）當力過矩心時，力矩為零；當力為零時，力矩為零）當力過矩心時，力矩為零；當力為零時，力矩為零（一）平面中力矩的概念（一）平面中力矩的概念二、平面匯交力系的合力矩定理二、平面匯交力系的合力矩定理定理：定理：平面匯交力系的合力對平面內任意平面匯交力系的合力對平面內任意一點的矩等于各個分力對同一點之矩的代一點的矩等于各個分力對同一點之矩的代數和。即數和。即oxxyyFA 利用合力矩定理，可以利用合力矩定

3、理，可以寫出力對坐標原點的矩的解寫出力對坐標原點的矩的解析表達式，即析表達式，即yFxFFmFmFmxyxoyoo)()()(yFxF)()(ioRoFmFm合力矩定理的證明證明：l1FOAB1B2BB3b1b2b32FRF3Fb)()(ioRoFmFmObOAOABFmObOAOABFmObOAOABFmObOAOABFmRoooo2)(2)(2)(2)(333222111)()()(321RoioFmobOAobobobOAFm3.1力 矩 的 概 念 與 計 算例例1 支架如圖所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 對A、B、C三點之矩。FFABCDAdC

4、d解：由定義mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(3.1力 矩 的 概 念 與 計 算例2OxyFA1r2rBd如圖所示，求F對A點的矩。解一：應用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA3.1力 矩 的 概 念 與 計 算例3T1=2KNT2=1KNR=250mmO求：兩力對求：兩力對O點的力矩分別是多大？合力矩點的力矩分別是多大？合力矩多大？多大？如果把兩皮帶

5、的夾角變大，力矩是否發生變如果把兩皮帶的夾角變大，力矩是否發生變化？化？力 偶 及 其 性 質（二）力偶的概念（二）力偶的概念dFF（1） 在力學中，把等值、在力學中，把等值、反向、平行而不共線的兩反向、平行而不共線的兩個具有特殊關系的力作為個具有特殊關系的力作為一個整體，稱為一個整體，稱為力偶力偶。 表示為表示為),(FF（2）兩力作用線所決定的平面稱為）兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作力偶的作用面用面，兩力作用線間的距離稱為，兩力作用線間的距離稱為力偶臂力偶臂。（3）力偶是具有特殊關系的力組成的力系，）力偶是具有特殊關系的力組成的力系，雖然力偶中每個力仍具有一般的力的性質，雖然力偶中每個

6、力仍具有一般的力的性質，但作為一個整體又有它本身的特性：但作為一個整體又有它本身的特性：力偶既力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本的力學量。沒有合力，本身又不平衡，是一個基本的力學量。3.2力 偶 及 其 性 質（三）力偶矩的概念（三）力偶矩的概念 力偶對剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的力偶對剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的大小有關，而且與力偶臂有關，將力偶中力的大大小有關，而且與力偶臂有關，將力偶中力的大小和力偶臂的乘積冠以適當的正負號稱為小和力偶臂的乘積冠以適當的正負號稱為力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm（1）正負號表示力偶的轉向。規定）正負號表示力偶的轉向。規定逆時針取正逆

7、時針取正；順時針取負順時針取負。（2）單位同力矩的單位。也是代數量）單位同力矩的單位。也是代數量（3）力偶三要素：大小、轉向、力偶作用平面）力偶三要素：大小、轉向、力偶作用平面力偶矩力偶矩：是力偶對物體轉動效果的唯一：是力偶對物體轉動效果的唯一度量。度量。3.2力 偶 及 其 性 質（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理PF2F FPF1F1F2定理：在同一平面上的兩定理：在同一平面上的兩個力偶，如果他們的力偶個力偶，如果他們的力偶矩大小、轉向都相同，則矩大小、轉向都相同，則兩個力偶等效。兩個力偶等效。) ,() ,(PPmFFm已知證明：兩力偶等效) ,() ,() ,(11PPmFFmF

8、Fm（通過力的等效變化得到的）3.2力 偶 及 其 性 質（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理 推論推論1、力偶可以在其作用平面內任意移、力偶可以在其作用平面內任意移動而不影響其對剛體的作用效果。（也就是動而不影響其對剛體的作用效果。（也就是說，力偶對剛體的作用效果與力偶在平面內說，力偶對剛體的作用效果與力偶在平面內的位置無關，恒等于力偶矩的大小）的位置無關，恒等于力偶矩的大小）力偶可表示為：力偶可表示為：mm推論推論2、只要保持力偶矩不變，力偶可以、只要保持力偶矩不變，力偶可以適當改變力的大小和相應的力偶臂的大小，適當改變力的大小和相應的力偶臂的大小，而不改變其對剛體的作用。而不改變其對

9、剛體的作用。Fdm3.2力 偶 及 其 性 質（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理 此上性質是力偶系合成的基礎。此上性質是力偶系合成的基礎。 在平面問題中，決定力偶作用效果的因在平面問題中，決定力偶作用效果的因素為：矩的大小和轉向。素為：矩的大小和轉向。 力偶可表示為：力偶可表示為：mmm討論：討論： 力偶在作用面內任一軸上的投影均為零力偶在作用面內任一軸上的投影均為零。3.3平面力偶系的合成與平衡（五）平面力偶系的合成（五）平面力偶系的合成作用面共面的力偶系稱為作用面共面的力偶系稱為平面力偶系平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FdRAdFm11dFm33dFm22321F

10、FFR321321)(mmmdFFFRdM推廣得：推廣得：mmmmMn 21結論：結論：平面力偶系合成的結果還是一個力偶（稱平面力偶系合成的結果還是一個力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數和。的代數和。BdRRABd3.3平面力偶系的合成與平衡（六）平面力偶系的平衡（六）平面力偶系的平衡 平面力偶系總可以簡化為圖平面力偶系總可以簡化為圖示情形。若示情形。若R=0，則力偶系平衡，則力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是合力偶矩等于零，則或是R=0或或是是d=0，無論哪種情況，該力偶系

11、，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結論：均平衡。因此可得結論： 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數和等于零。中各力偶矩的代數和等于零。即：即：0m上式稱為上式稱為平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。RRAB3.3平面力偶系的合成與平衡例例4 圖示矩形板，邊長分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。MABMCMCARCRMMABCARBRBRMCR3.3平面力偶系的合成與平衡例例5AB1m2m3mARBR 求圖示簡支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁為研究對象，受力如圖。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR3213.3平面力偶系的合成與平衡例例6BAC1m2mDE45EB1mAARERC2mDECRER 如圖桿AB上有一導槽，套在桿CD上的銷子E上