1、無 拉伸、壓縮與剪切拉伸、壓縮與剪切 1 1 基本概念及知識要點基本概念及知識要點 1.1 基本概念基本概念 軸力、拉（壓）應力、力學性能、強度失效、拉壓變形、胡克定律、應變、變形能、靜不定問題、剪切、擠壓。 以上概念是進行軸向拉壓及剪切變形分析的基礎，應準確掌握和理解這些基本概念。 1.2 軸向拉壓軸向拉壓 的內力、應力及變形的內力、應力及變形 1橫截面上的內力：由截面法求得橫截面上內力的合力沿桿的軸線方向，故定義為軸力FN，符號規定：拉力為正，壓力為負。工程上常以軸力圖表示桿件軸力沿桿長的變化。 2軸力在橫截面上均勻分布，引起了正應力，其值為 FAN 正應力的符號規定：拉應力為正，壓應力為

2、負。常用的單位為 MPa、Pa。 3強度條件 強度計算是材料力學研究的主要問題之一。軸向拉壓時，構件的強度條件是 FAN 可解決三個方面的工程問題，即強度校核、設計截面尺寸及確定許用載荷。 4胡克定律 線彈性范圍內，桿的變形量與桿截面上的軸力FN、桿的長度 l 成正比，與截面尺寸 A成反比；或描述為線彈性范圍內，應力應變成正比，即 F llEEA N 式中的 E 稱為材料的彈性模量，EA 稱為抗拉壓剛度。胡克定律揭示在比例極限內，應力和應變成正比，是材料力學最基本的定律之一，一定要熟練掌握。 1.3 材料在拉壓時的力學性能材料在拉壓時的力學性能 材料的力學性能的研究是解決強度和剛度問題的一個重

3、要方面。 材料力學性能的研究一般是通過實驗方法實現的，其中拉壓試驗是最主要、最基本的一種試驗，由它所測定的材料性能指標有： E材料抵抗彈性變形能力的指標；bs,材料的強度指標； , 材料的塑性指標。低碳鋼的拉伸試驗是一個典型的試驗。 無 詳見教材，應理解本部分知識。 1.4 簡單拉壓靜不定問題簡單拉壓靜不定問題 1 未知力的個數超過靜力平衡方程個數的問題為靜不定問題，其中未知力可以是結構的約束反力或構件的內力。 2 解決靜不定問題，除列出靜力平衡方程外，還需列出一定數量的補充方程，這些補充方程可由結構各部分變形之間的幾何關系以及變形和力之間的物理關系求得，將補充方程和靜力平衡方程聯立求解，即可

4、得出全部未知力。 3 靜不定結構還有一個特性，即由于桿件在制造中的誤差，將引起裝配應力；由于溫度變化會引起溫度應力。 1.5 應力集中的概念應力集中的概念 工程實際中，由于結構上和使用上的需要，有些零件必須有切口、切槽和螺紋等。在構件尺寸的突變處，發生局部應力急劇增加的現象，稱為應力集中現象。 1.6 剪切和擠壓的實用計算剪切和擠壓的實用計算 1 工程中經常使用到聯接件，如鉚釘、銷釘、鍵或螺栓等。聯接件一般受剪切作用，并伴隨有擠壓作用， 因而聯接件應同時滿足剪切強度和擠壓強度。 有時還要考慮被聯接部分的拉伸強度問題。 2 兩作用外力之間發生相互錯動的面稱為剪切面。剪切面上的切應力為FAs，其中

5、Fs為剪力，A 為剪切面的面積，即假設切應力在剪切面上均勻分布。剪切強度條件 FAs 3 產生相互擠壓的表面稱為擠壓面。 擠壓面上的擠壓應力為bsbsFA， 式中 F 為擠壓力，Abs為 擠壓 面 積， 即假 設 擠壓 應 力在 擠壓 面 上均 勻分 布 。擠 壓強 度 條件為bsbsbsFA 2 重點與難點及解析重點與難點及解析方法方法 2.1 軸向拉壓的應力、強度計算及變形軸向拉壓的應力、強度計算及變形計算計算 強度計算是本章的重點內容，它能夠解決三類工程問題。而胡克定律是聯系力與變形的基本定律，應重點掌握。 解析方法：解析方法：1 對等截面直桿，橫截面上的正應力最大，強度計算時必須明確在

6、哪無 個截面進行強度計算；而縱向截面上的應力等于零。 2 應用胡克定律計算變形時，內力應以代數值代入。求解結構上節點的位移時，設想交于該節點的各桿，沿各自的軸線自由伸縮，從變形后各桿的終點作各桿軸線的垂線，這些垂線的交點即為節點新的位置。 2.2 簡單拉壓靜不定問題簡單拉壓靜不定問題 解靜不定問題的關鍵是列出正確的變形幾何關系。在列幾何關系時，注意假設的變形應是桿件可能的變形。 解析方法：解析方法：1 列靜力平衡方程； 2 根據變形協調關系列出變形的幾何關系； 3 列出力與變形之間的物理關系； 4 聯立解方程組求出未知力。 2.3 材料在拉壓時的力學性能材料在拉壓時的力學性能 力學性能是材料在

7、外力作用下表現出的變形、破壞等方面的特性。是通過實驗研究的方法來實現的， 這種方法對我們以后的工程設計有一定的指導作用。 應理解力學性質中涉及到的幾個強度指標及塑性指標。 2.4 剪切和擠壓的強度計算剪切和擠壓的強度計算 聯接件的強度計算， 關鍵在于正確判斷剪切面和擠壓面。 剪切面積為受剪面的實際面積，當擠壓面為半圓柱面時，一般取圓柱的直徑平面面積為擠壓面面積，以簡化運算。 3 典型問題解析典型問題解析 3.1 軸向拉壓的強度、變形計算軸向拉壓的強度、變形計算 例題例題 2.1： 已知 AC 桿為直徑 d25mm 的 A3 圓鋼，材料的許用應力141MPa，AC、AB 桿夾角 30，如圖 21

8、（a）所示， A 處作用力 F20kN， 求：1 校核 AC 桿的強度；2 選擇最經濟的直徑 d；3 若用等邊角鋼，選擇角鋼型號。 解解： 圖 21 （a） （b） 無 1 校核 AC 桿的強度 用一截面將 AC、AB 桿截開，取 A 節點作為研究對象，如圖 21（b）所示，利用平衡方程計算1FN。 110sin30040kN yFFFFNN 代入強度條件，校核 AC 桿的強度 132640 1081.5MPa25104ACFAN 滿足強度要求,安全。 2 選擇最佳截面尺寸，根據強度條件 32162640 10284mm141 10444 284 1019.02mm FAAdAdN AC 桿的

9、直徑取為 20mm，即可滿足強度要求。 3 選擇等邊角鋼型號 A284mm2 ，查表可選 503 號等邊角鋼。 解題指導：解題指導： 桿件桿件軸軸力方向未知時，可使用設正法力方向未知時，可使用設正法，即假設軸力為正，由平衡，即假設軸力為正，由平衡方程求解出的結果為正，說明是拉力；結果為負，說明是壓力。方程求解出的結果為正，說明是拉力；結果為負，說明是壓力。 例題例題 2.2： 零件受力如圖 22 所示，其中 FP50 kN。求零件橫截面的最大正應力，并指出發生在哪一橫截面上。 無 圖 22 解：解： 用截面法分析零件各橫截面上的軸力，得軸力都是相同的，即 NPFF 又因為開孔使截面積減小，所以

10、最大正應力可能發生在孔徑比較小的兩個橫截面上 I 一 I 或IIII 上。 對于 I 一 I 截面，其橫截面積 24215022 mm20mm560mm =5 60 10 m.A 對于 II 一 II 截面，其橫截面積 24225022 mm 15mm2840mm =8 40 10 m.A 則最大正應力發生在 I 一 I 截面,，其上之正應力 3NPmax421150 10 N89 29MPa5.60 10mFFAA. 解題指導：解題指導： 由于開孔，在孔邊形成應力集中，因而橫截面上的正應力并不是由于開孔，在孔邊形成應力集中，因而橫截面上的正應力并不是均勻分布的。嚴格地講，不能采用上述方法計算

11、應力。上述方法只是均勻分布的。嚴格地講，不能采用上述方法計算應力。上述方法只是不考慮應力集中時的應力，稱為“名義應力” 。如果將名義應力乘上不考慮應力集中時的應力，稱為“名義應力” 。如果將名義應力乘上一個應力集中一個應力集中系數，系數，就可就可得到開孔附得到開孔附近的最大應力。應力集中近的最大應力。應力集中系數可系數可從從有關手冊中查得。有關手冊中查得。 例題例題 2.3 無 圖 23（a）所示鉸接正方形結構，各桿的橫截面面積均為 30cm2，材料為鑄鐵，其許用拉應力 30MPat，許用壓應力c120MPa，試求結構的許可載荷。 解解： 1 求各桿軸力 取 B 節點作為研究對象，如圖 23（

12、b）所示，代平衡方程 2cos450FFN1 1， 2FFN1 1（拉） 即 AB、BC 桿軸力為2F 取 A 節點作為研究對象，如圖 23（c）所示，代平衡方程 2cos450FFN2N1 1， FF N2（壓） 即 AD、DC 桿軸力為2F，AC 桿軸力為F。 2 求許可載荷 由斜桿的拉伸強度條件 2FFAANtt1 1 462230 1033 10127.3kNFAt 由 AC 桿的壓縮強度條件 FFAAN2cc 4630 10120 10360kNFAc 故結構的許可載荷為 127.3kNF 解題指導：解題指導： 盡管拉力盡管拉力FN1要比壓力要比壓力FN2小約小約 40%， 但結構的

13、許可載荷還是受拉， 但結構的許可載荷還是受拉伸強度所限制伸強度所限制, ,這是因為鑄鐵的抗拉強度要比其抗壓強度低得多。在這是因為鑄鐵的抗拉強度要比其抗壓強度低得多。在圖 23 無 工程實際中，受壓構件通常選用鑄鐵等脆性材料，而受工程實際中，受壓構件通常選用鑄鐵等脆性材料，而受拉構件一般選拉構件一般選用低碳鋼等塑性材料，以合理地利用各種材料的用低碳鋼等塑性材料，以合理地利用各種材料的力學力學性能。性能。 例題例題 2.4： 圖 24 （a） 所示之結構中， AB 和 AC 均為 Q235 鋼制成的圓截面桿， 直徑相同 d20mm，許用應力 160 MPa。試確定該結構的許用載荷。 解解： 1 由

14、平衡條件計算各桿軸力，設 AB 桿軸力為N1F，AC 桿軸力為N2F，如圖 24（b）所示。 對于節點 A，由0 xF得 sin30sin45FFN1N2 （1） 由0yF得 cos30cos45FFFN1N2 （2） 將（1） 、 （2）式聯解 N20.73213FFF1 N220.51813FFF 可見 AB 桿比 AC 桿受力大，而兩者的材料及橫截面尺寸都是相同的。因此，兩根桿的危險程度不同。如果 AB 桿的強度得到滿足，AC 桿的強度也一定安全。 2 根據強度條件計算許用載荷 N1ABFA 有 24 0 732Fd. 據此解得 26-32160 1020 1068 67kN4 0 73

15、24 0 732dF. 圖 24 無 因而得 68.67F kN 若改為，由強度條件計算許用軸力 246N11210160 1050.3kN4FA 2462210160 1050.3kN4FAN2 由于 AB、AC 桿不能同時達到最大許用容許軸力，則將N1F，N2F代入（2）式，解得 79.1kNF 這個解顯然是錯誤的。 解題指導：解題指導： 上述錯誤解法，上述錯誤解法，實際上認為兩根桿同時達到了危險狀態。但實際實際上認為兩根桿同時達到了危險狀態。但實際上，兩根桿的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而應力不同，其上，兩根桿的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而應力不同，其中受力較大的桿中應中受

16、力較大的桿中應力達到許用應力時， 另一根的應力必然小于許用力達到許用應力時， 另一根的應力必然小于許用應力。因而二者不可能同時到達危險狀態應力。因而二者不可能同時到達危險狀態。 例題例題 2.5： 1、2 桿均為圓截面鋼桿，桿端為鉸接。兩桿長度L L、直徑 d、材料 E 均相等，A 處作用力 F，如圖 25 所示，試求節點 A 在力 F 作用下的位移。 解：解： 在力 F 作用下，桿 1、2 為軸向拉伸，由靜力平衡關系得： 圖 25 無 0sinsin2cos2cosyF F0 xFFFFFFFFFN1N2N1N2N1N1N2 代入胡克定律解得 1、2 桿的變形量 N1222cos4F LFL

17、LLEAEd 但兩桿鉸接在一起，不能自由伸長，可判斷出變形后節點 A 位移向下。分別以 B、C 為圓心，1LL、2LL為半徑作圓弧， 所作圓弧的交點 A1就是桿件變形后節點 A 的位置。在實際工程中，為了便于計算，從桿件變形后的端點作桿件的垂線，用垂線代替圓弧線用垂線代替圓弧線，近似認為其交點 A2為變形后 A 的位置，AA2為節點 A 的位移。這種求位移的方法稱為圖解法。 A 點的位移： 1222cos2cos4LFLAAEd 解題指導：解題指導： 理論上計算節點位移時，應由兩桿伸長后的長度為半徑畫圓弧，理論上計算節點位移時，應由兩桿伸長后的長度為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點即為節點新的位置。但

18、由兩圓弧的交點即為節點新的位置。但由于桿件的變形是小變形，實際于桿件的變形是小變形，實際上是用切線代替圓弧來簡化運算。作圖法簡單易行，計算結果滿足工上是用切線代替圓弧來簡化運算。作圖法簡單易行，計算結果滿足工程要求。程要求。 3.2 簡單拉壓靜不定問題簡單拉壓靜不定問題 例題例題 2.6： 已知 1 桿的抗拉壓剛度 E1A1， 2、3 桿的抗拉壓剛度相等 E2A2E3A3 。三桿鉸接在一起，L 1L 2 L 3L 。試求在力 F 作用下各桿的內力。 解：解： 圖 26 無 用截面同時截開 1、2、3 桿，取節點 A 為研究對象，由靜力平衡關系： N2N3N2N1002cos xyFFFFFFF

19、 （1） 三個未知數，兩個獨立平衡方程，為一次靜不定問題。 根據圖解法，作節點 A 的位移圖，得變形關系： 321cosLLL （2） 代物理關系： 322221111 LAELNLAELNL （3） （1） 、 （2） 、 （3）聯立解得 N1N2N3222112112221cos2coscos FFFFFE AE AE AE A 解題指導：解題指導： 由由此例此例題可知題可知, ,靜不定結構各桿件受力與桿件剛度比有關靜不定結構各桿件受力與桿件剛度比有關， 這是靜這是靜不定結構區別于靜定結構的顯著特征之一。不定結構區別于靜定結構的顯著特征之一。 例題例題 2.7： 已知正方形截面組合桿，由兩

20、根截面尺寸相同、材料不同的桿 1 和桿 2 組成，二者的彈性模量為 E1和 E2（E1E2） ，若使桿 1 和桿 2 均勻受壓，求載荷 F 的偏心距 e。 解：解： 靜力平衡關系： N1N2N1N20002 b Fe2xAFFFFbMFF （1） 為一次靜不定問題。 變形關系； 21LL 圖 27 無 物理關系： N1N2121122 F LFLLLE AE A （2） （1） 、 （2） 、 （3）聯立解得 12N1N21212 EEFFFFEEEE （3） 代入（1）中第二式解得偏心距 e 為 21212EEEEbe 例題例題 2.8： 已知桿 1 為鋼桿 E1210GPa, 6112.5

21、 10， A1 =30cm2。 桿 2 為銅桿， E2105GPa, 6219 10，A 2=30cm2。載荷 F50kN。若 AB 為剛桿且始終保持水平，試問溫度升高還是降低？求溫度的改變量 T。 解：解： 設由 F、T 引起的總的內力為N1F、N2F， 靜力平衡關系： N1N10 CMFFF （1） 為一次靜不定問題。 變形關系： 00222111TNTNLLLLLL （2） 物理關系： 圖 28 無 N111111N222222 NTTF LLLTLE AF LLLTLE A （3） （1） 、 （2） 、 （3）聯立解得 22211126.5 FTE AE A 即溫度降低 26.5，可

22、保證 AB 剛桿始終保持水平。 解題指導：解題指導： 裝配應力和溫度應力同裝配應力和溫度應力同屬于靜不定問題，求解簡單靜不定問題的屬于靜不定問題，求解簡單靜不定問題的關鍵是列出正確的變形幾何關系。關鍵是列出正確的變形幾何關系。 3.3 剪切和擠壓剪切和擠壓 例題例題 2.9： 如圖所示沖床，200kNF ，沖頭 260MPa，沖剪鋼板360bMPa，設計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。 解解： 1 按沖頭壓縮強度計算d 24FFdA 49.8cmFd 2 按鋼板剪切強度計算t sbFFAdt 3.2cmbFtd 解題指導：解題指導： 對于剪切的強度計算，關鍵是確定剪切面和擠壓面。可以先找對于

23、剪切的強度計算，關鍵是確定剪切面和擠壓面。可以先找變形過程中相互壓緊的面即為擠壓面， 可能產生剪切破壞的面即為擠變形過程中相互壓緊的面即為擠壓面， 可能產生剪切破壞的面即為擠壓面。壓面。 圖 29 無 例題例題 2.10： 如圖 210 所示連接，D、t、d 均已知，材料的許用應力分別為、bs。試確定許用載荷。 解：解： 1 由強度條件 214 NFFdFAA 2 由剪切強度條件： 2 FFdtAs 3 由擠壓強度條件： 2234 bsbsbsbsFFDdA 許用載荷為三個力中較小者，即 12,3min,F = F F F 例題例題 2.11： 木榫接頭如圖所示。10cmab，30cmh ，3

24、cmc 。50kNF 。試求榫接頭的切應力和擠壓應力。 解：解： 先分析木榫接頭的剪切面和擠壓面 1.67MPaFFAhbs 16.7MPabsbsbsFFAcb 例題例題 2.11： 圖示傳動軸，齒輪與軸用平鍵聯接，傳遞轉矩7M kNm。若鍵的尺寸28b mm、20h mm，材料的 90MPa，220bsMPa，試求鍵的長度l。 圖 210 圖 211 無 解：解： 1 受力分析 鍵的受力如圖 212（b） 、 （c）所示 332 7 10175kN280 10MFd 2 求鍵的長度 由剪切強度條件 sFFAbl 所以 336175 1069mm28 1090 10Flb 由擠壓強度條件 b

25、sbsbs2FFhAl 則 336bs22 175 1079.520 10220 10Flhmm 故鍵的長度應取80l mm。在工程實際中，鍵為標準件，應按有關規定選用。 解題指導：解題指導： 從上述計算可從上述計算可見，當平鍵的擠壓應力達到許用值時，鍵的工作剪見，當平鍵的擠壓應力達到許用值時，鍵的工作剪應力遠低于許用剪應力。對于標準鍵（或花鍵） ，其擠壓強度是主要應力遠低于許用剪應力。對于標準鍵（或花鍵） ，其擠壓強度是主要矛盾，而其剪切強度一般都是足夠的；對于鉚釘、螺栓等聯接件，其矛盾，而其剪切強度一般都是足夠的；對于鉚釘、螺栓等聯接件，其剪切強度往往是主要的，擠壓強度通常都能得到滿足。剪

26、切強度往往是主要的，擠壓強度通常都能得到滿足。 4 自我測試自我測試 無 拉拉 壓壓 1. 軸向拉伸桿，正應力最大的截面和切應力最大的截面（ ） 。 (A）分別是橫截面、45斜截面； （B）都是橫截面， （C）分別是 45斜截面、橫截面； （D）都是 45斜截面。 正確答案是 。 2. 軸向拉壓桿，在與其軸線平行的縱向截面上（ ） 。 （A） 正應力為零，切應力不為零； （B） 正應力不為零，切應力為零； （C） 正應力和切應力均不為零； （D） 正應力和切應力均為零。 正確答案是 。 3. 應力應變曲線的縱、橫坐標分別為 FN /A，L / L，其中（ ） 。 （A）A 和 L 均為初始值；

27、 （B）A 和 L 均為瞬時值； （C）A 為初始值，L 為瞬時值； （D）A 為瞬時值，L 均為初始值。 正確答案是 。 4. 進入屈服階段以后，材料發生（ ）變形。 （A） 彈性； （B）線彈性； （C）塑性； （D）彈塑性。 正確答案是 。 5. 鋼材經過冷作硬化處理后，其（ ）基本不變。 (A) 彈性模量； （B）比例極限； （C）延伸率； （D）截面收縮率。 正確答案是 。 6. 設一階梯形桿的軸力沿桿軸是變化的，則發生破壞的截面上 （ ） 。 （A）外力一定最大，且面積一定最小； （B）軸力一定最大，且面積一定最小； （C）軸力不一定最大，但面積一定最小； （D）軸力與面積之比一定最大。 正確答案是 。 7. 一個結構中有三根拉壓桿， 設由這三根桿的強度條件確定的結構許用載荷分別為 F1、 F2、F3，且 F1 F2 F3，則該結構的實際許可載荷 F 為（ ） 。 （A） F1 ； （B）F2； （C）F3； （D） （F1F3）/2。 正確答案是 。 8. 圖示桁架， 受鉛垂載荷 F50kN 作用， 桿 1、 2 的橫截面均為圓形， 其直徑分別為 d1=15mm、d2=20mm，材料的許用應力均為150MPa。試校核桁架的強度。 無 9. 已知直桿的橫截面面積 A、長度 L 及材料的重度、彈性模量 E，所受外力 P 如圖示。 求： （