1、學案20 萬有引力定律及其應用一、概念規律題組1對于質量分別為m1和m2的兩個物體間的萬有引力的表達式FG，下列說法中正確的是()A公式中的G是引力常量，它不是由實驗得出的，而是人為規定的B當兩物體間的距離r趨于零時，萬有引力趨于無窮大Cm1和m2所受引力大小總是相等的D兩個物體間的引力總是大小相等、方向相反的，是一對平衡力2已知萬有引力常量為G，現在給出下列各組數據，不可以計算出地球質量的是()A地球繞太陽運行的周期T和地球離太陽中心的距離RB月球繞地球運行的周期T和月球離地球中心的距離RC人造地球衛星在地面附近運行的速度v和運動周期TD地球的自轉周期T、地球的自轉線速度和地球的平均密度圖1

2、3如圖1所示，a、b、c是地球大氣層外圓形軌道上運動的三顆衛星，a和b質量相等且小于c的質量，則下列說法錯誤的是()Ab所需向心力最小Bb、c的周期相同且大于a的周期Cb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Db、c的線速度大小相等，且小于a的線速度二、思想方法題組4如圖2所示，同步衛星離地心距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球的半徑為R，則下列比值正確的是()圖2A. B.2C. D. 5宇宙飛船和空間站在同一軌道上運動，若飛船想與前面的空間站對接，飛船為了追上軌道空間站，可采取的方法是()A飛船加速直到追上空

3、間站，完成對接B飛船從原軌道減速至一個較低軌道，再加速追上空間站完成對接C飛船加速至一個較高軌道再減速追上空間站完成對接D無論飛船采取何種措施，均不能與空間站對接一、萬有引力定律及其應用重力與重力加速度1關于重力 (1)在地面上，忽略地球自轉時，認為物體的向心力為零各處位置均有mg(2)由于FnmR2非常小，所以對一般問題的研究認為Fn0，mg2重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面處，由于萬有引力近似等于重力，Gmg，g.(R為星球半徑，M為星球質量)(2)星球上空某一高度h處的重力加速度：Gmg，g隨著高度的增加，重力加速度逐漸減小【例1】 (2009江蘇單科3)英國新科學家

4、(New Scientist)雜志評選出了2008年度世界8項科學之最，在XTEJ1650500雙星系統中發現的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半徑R約為45 km，質量M和半徑R的關系滿足(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數量級為()A108 m/s2 B1010 m/s2C1012 m/s2 D1014 m/s2規范思維二、天體質量和密度的估算1解決天體圓周運動問題的一般思路利用萬有引力定律解決天體運動的一般步驟(1)兩條線索萬有引力提供向心力FFn.重力近似等于萬有引力提供向心力(2)兩組公式Gmm2rmrmgrmm2rmr(gr為軌道所在處重力加速度)2天體質量和密度

5、的計算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Gmg，故天體質量M，天體密度.(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r進行計算由萬有引力等于向心力，即Gmr，得出中心天體質量M；若已知天體的半徑R，則天體的密度；若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度.可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度【例2】 已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛星距地面的高度h，月球繞地球的運轉周期T1，地球的自轉周期T2，地球表面的重力加速度g.某同學根據以上條件，提出一種估算地球質量M的方

6、法：同步衛星繞地心做圓周運動，由Gm()2h得M.(1)請判斷上面的結果是否正確，并說明理由如不正確，請給出正確的解法和結果(2)請根據已知條件再提出兩種估算地球質量的方法并解得結果三、對人造衛星的認識及變軌問題1人造衛星的動力學特征萬有引力提供向心力，即Gmmr2m()2r2人造衛星的運動學特征(1)線速度v：由Gm得v ，隨著軌道半徑的增大，衛星的線速度減小(2)角速度：由Gm2r得，隨著軌道半徑的增大，衛星的角速度減小(3)周期：由Gmr，得T2 ，隨著軌道半徑的增大，衛星的運行周期增大3衛星的穩定運行與變軌運行分析(1)什么情況下衛星穩定運行？衛星所受萬有引力恰等于做勻速圓周運動的向心

7、力時，將保持勻速圓周運動滿足的公式：G.(2)變軌運行分析：當衛星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關閉發動機或空氣阻力作用)，萬有引力就不再等于所需的向心力，衛星將做變軌運行當v增大時，所需向心力增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛星一旦進入新的軌道運行，由v 知其運行速度要減小，但重力勢能、機械能均增加當衛星的速度突然減小時，向心力減小，即萬有引力大于衛星所需的向心力，因此衛星將做向心運動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進入新軌道運行時由v 知其運行速度將增大，但重力勢能、機械能均減少(衛星的發射和回收就是利用了這一原理)圖3【例

8、3】 (2010江蘇單科6)2009年5月，航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后，在A點從圓形軌道 進入橢圓軌道 ，B為軌道 上的一點，如圖3所示關于航天飛機的運動，下列說法中不正確的有()A在軌道 上經過A的速度小于經過B的速度B在軌道 上經過A的動能小于在軌道 上經過A的動能C在軌道 上運動的周期小于在軌道 上運動的周期D在軌道 上經過A的加速度小于在軌道 上經過A的加速度規范思維四、環繞速度與發射速度的比較及地球同步衛星1環繞速度與發射速度的比較近地衛星的環繞速度v 7.9 km/s，通常稱為第一宇宙速度，它是地球周圍所有衛星的最大環繞速度，是在地面上發射衛星的最小發射速度不同高度

9、處的人造衛星在圓軌道上的運行速度v ，其大小隨半徑的增大而減小但是，由于在人造地球衛星發射過程中火箭要克服地球引力做功，所以將衛星發射到離地球越遠的軌道，在地面上所需的發射速度就越大2地球同步衛星特點(1)地球同步衛星只能在赤道上空(2)地球同步衛星與地球自轉具有相同的角速度和周期(3)地球同步衛星相對地面靜止(4)同步衛星的高度是一定的【例4】 我國成功發射一顆繞月運行的探月衛星“嫦娥一號”設該衛星的運行軌道是圓形的，且貼近月球表面已知月球的質量約為地球質量的，月球的半徑約為地球半徑的，地球上的第一宇宙速度約為7.9 km/s，則該探月衛星繞月運行的速率約為()A0.4 km/s B1.8

10、km/s C11 km/s D36 km/s五、雙星問題【例5】 (2010重慶理綜)月球與地球質量之比約為180.有研究者認為月球和地球可視為一個由兩質點構成的雙星系統，它們都圍繞月地連線上某點O做勻速圓周運動據此觀點，可知月球與地球繞O點運動的線速度大小之比約為()A16 400 B180C801 D6 4001規范思維六、萬有引力定律與拋體運動的結合【例6】 (2011象山北倉兩城適應性考試)在太陽系中有一顆行星的半徑為R，若在該星球表面以初速度v0豎直上拋一物體，則該物體上升的最大高度為H.已知該物體所受的其他力與行星對它的萬有引力相比較可忽略不計(萬有引力常量G未知)則根據這些條件，

11、可以求出的物理量是()A.該行星的密度B.該行星的自轉周期C.該星球的第一宇宙速度D.該行星附近運行的衛星的最小周期【基礎演練】1(2009山東18改編)2008年9月25日至28日，我國成功實施了“神舟”七號載人航天飛行并實現了航天員首次出艙飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘下列判斷正確的是()A飛船變軌前后的機械能相等B飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態C飛船在此圓軌道上運動的角速度小于同步衛星運動的角速度D飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度2(201

12、1山東濟寧聯考)某同學通過Internet查詢到“神舟”六號飛船在圓形軌道上運行一周的時間約為90分鐘，他將這一信息與地球同步衛星進行比較，由此可知()A“神舟”六號在圓形軌道上運行時的向心加速度比地球同步衛星小B“神舟”六號在圓形軌道上運行時的速率比地球同步衛星小C“神舟”六號在圓形軌道上運行時離地面的高度比地球同步衛星低D“神舟”六號在圓形軌道上運行時的角速度比地球同步衛星小3(2010廣元市第三次適應性考試)“嫦娥一號”探月飛船繞月球做“近月”勻速圓周運動，周期為T，則月球的平均密度的表達式為(k為某個常數)()A BkT C DkT2圖44(2011遼寧鐵嶺模擬)如圖4所示，假設月球半

13、徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道，到達軌道的近月點B再次點火進入近月軌道繞月球做圓周運動則()A飛船在軌道上的運行速度為B飛船在A點處點火時，動能增加C飛船在軌道上運行時通過A點的加速度大于在軌道上運行時通過A點的加速度D飛船在軌道繞月球運行一周所需的時間為2 5(2010安徽合肥月考)隨著“神七”飛船發射的圓滿成功，中國航天事業下一步的進展備受關注“神八”發射前，將首先發射試驗性質的小型空間站“天宮一號”，然后才發射“神八”飛船，兩個航天器將在太空實現空間交會對接空間交會對接技術包括兩部分相互銜接的空間操作，即空

14、間交會和空間對接所謂交會是指兩個或兩個以上的航天器在軌道上按預定位置和時間相會，而對接則為兩個航天器相會后在結構上連成一個整體關于“天宮一號”和“神八”交會時的情景，以下判斷正確的是()A“神八”加速可追上在同一軌道的“天宮一號”B“神八”減速方可與在同一軌道的“天宮一號”交會C“天宮一號”和“神八”交會時它們具有相同的向心加速度D“天宮一號”和“神八”交會時它們具有相同的向心力6(2010山東理綜18)1970年4月24日，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星“東方紅一號”發射成功，開創了我國航天事業的新紀元如圖5所示，“東方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M和遠地點N的高度分別為4

15、39 km和2 384 km，則()圖5A衛星在M點的勢能大于N點的勢能B衛星在M點的角速度大于N點的角速度C衛星在M點的加速度小于N點的加速度D衛星在N點的速度大于7.9 km/s7(2010安徽理綜17)為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于2011年10月發射第一顆火星探測器“螢火一號”假設探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運動時，周期分別為T1和T 2.火星可視為質量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉影響，引力常量為G.僅利用以上數據，可以計算出()A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的質量和火星對“螢火一號”的引力C火星的半徑和“螢火一號”的質量D火星表面的

16、重力加速度和火星對“螢火一號”的引力【能力提升】8(2011大同市一模)2009年6月19日凌晨5點32分(美國東部時間2009年6月18日下午5點32分)，美國航空航天局在佛羅里達州卡納維拉爾角空軍基地41號發射場用“宇宙神5”運載火箭將月球勘測軌道飛行器(LRO)送入一條距離月表31英里(約合50 km)的圓形極地軌道，LRO每天在50 km的高度穿越月球兩極上空10次若以T表示LRO在離月球表面高度h處的軌道上做勻速圓周運動的周期，以R表示月球的半徑，則()A.LRO運行的向心加速度為B.LRO運行的向心加速度為C.月球表面的重力加速度為D.月球表面的重力加速度為題號12345678答案

17、9.(2009北京理綜22)已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響(1)推導第一宇宙速度v1的表達式；(2)若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛星的運行周期T的表達式10(2010全國25)圖6如圖6所示，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側引力常數為G.(1)求兩星球做圓周運動的周期；(2)在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1.但在近似處理問題時，常常認為月球

18、是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5.981024 kg和7.351022 kg.求T2與T1兩者平方之比(結果保留3位小數)學案20萬有引力定律及其應用【課前雙基回扣】1AC2.BC3.ABD4.AD5.B思維提升1如果對萬有引力定律只適用于質點這一條件缺乏深刻理解(或根本不注意適用條件)，往往不能認識到當兩物體間的距離r趨于零時，這兩個物體不能看做質點，萬有引力定律不適用于此種情況2要弄清楚公式FG的各物理量的含義當兩物體可以看成質點時，r是指兩質點間距離；對質量分布均勻的球體，r是指兩球心間距離3對于繞地球運行的衛星，應利用Gmammr2mr來分

19、析衛星的向心加速度、線速度、角速度、周期的大小比較及變化，其中r是衛星的軌道半徑4赤道上的物體的向心加速度a2R00.034 m/s2，遠小于地面上物體的重力加速度g9.8 m/s2，故近似計算中忽略自轉影響，而認為地面上物體的重力和該物體受到的萬有引力相等，衛星上的物體處于完全失重狀態，故F引mgma.衛星的向心加速度a等于衛星所在處的重力加速度g，對近地衛星來講gg9.8 m/s2.5赤道上的物體與地球同步衛星的相同之處是：二者具有與地球自轉相同的運轉周期和運轉角速度，始終與地球保持相對靜止狀態，共同繞地軸做勻速圓周運動【核心考點突破】例1 C可認為黑洞表面物體的重力等于萬有引力，即mg，

20、即g，將代入上式得g m/s211012 m/s2.規范思維在星球表面，由mgG，得GMgR2，若知星球表面重力加速度g和星球半徑R，可替換GM，稱為黃金代換；g，由重力加速度g可將萬有引力定律和其它規律相聯系，如運動學公式，機械能守恒定律等，實現綜合解題例2 見解析解析(1)上面的結果是錯誤的，地球的半徑R在計算過程中不能忽略正確的解法和結果：Gm()2(Rh) 得M.(2)解法一在地面上的物體所受的萬有引力近似等于重力，由mg，解得M.解法二對月球繞地球做圓周運動，由Gm()2r，得M.規范思維本題給出了兩種常用的求星球質量的方法：(1)已知衛星的軌道半徑r和周期T求質量(注意r為衛星到天

21、體球心的距離)；(2)已知星球表面重力加速度g、星球半徑R和引力常量G，由M，求星球質量例3 ABC在橢圓軌道上運動，近地點的速度最大，遠地點的速度最小，A選項正確由萬有引力定律可知飛機在A點受到的引力是個定值，由此結合牛頓第二定律可知飛機在A點的加速度是個定值，故D項錯誤飛機從A點進入軌道 相對于軌道 可看成向心運動，則可知飛機在軌道 上A點速度小于軌道 上A點速度，再結合動能定義式可知B選項正確根據低軌道衛星的周期小，高軌道衛星周期大可知C選項正確綜上知正確答案為A、B、C.規范思維衛星的變軌問題注意區分這兩種情況(1)制動變軌：衛星的速率減小，衛星做向心運動，軌道半徑變小，需開動反沖發動

22、機使衛星做減速運動；(2)加速變軌：衛星的速率增大，衛星做離心運動，軌道半徑變大，需開動反沖發動機使衛星做加速運動例4 B設地球的質量、半徑分別為M、R，月球的質量、半徑分別為M、r，則M，rR.在星體表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質量為m0，則：m0g，即GMgR2；在月球表面，滿足GMgr2，由此可得：ggg，地球表面的第一宇宙速度v17.9 km/s，在月球表面，有v 7.9 km/s1.8 km/s.規范思維(1)解決此類題的關鍵：要明確衛星的第一宇宙速度等于最大環繞速度(2)解決萬有引力定律的應用問題，盡管題目很多，但基本方法是不變的，即把天體的運動看成圓周運動，萬有引力提

23、供向心力例5 C設地球和月球的質量分別為M、m，地月球心間距為r，地球和月球的轉動半徑分別為r1、r2，由題意知12，則GM2r1，Gm2r2，所以.二者轉動角速度相同，可知地球和月球繞O點運動的線速度大小之比為，即月球與地球繞O點運動的線速度大小之比為801，本題只有選項C正確規范思維本題就是經典的雙星模型所謂雙星模型，就是有一些天體的運動并非是一顆星以另一顆星為中心做圓周運動，而是兩顆星都不是運動的中心，它們繞二者連線上的某一點做圓周運動，好像“被穿在一根桿上的兩個小球”，以兩個小球之間桿上的某一點為中心做圓周運動解決這類問題的關鍵是挖掘出雙星問題的根本特點角速度相同，并以此列向心力方程例

24、6 CD由豎直上拋運動規律得gGmgM，G未知，故A錯；根據已知條件不能分析行星的自轉情況，B錯；根據Gmgm得v v0，C正確；由Gm()2Rmg得T2 2 ，D正確規范思維天體表面的拋體運動經常與萬有引力定律結合來求解圍繞天體做勻速圓周運動的物體的有關物理量，解決問題的辦法是通過拋體運動求天體表面的重力加速度，再根據萬有引力定律求T、天體質量或密度也可以先根據萬有引力定律求重力加速度，再分析拋體運動【課時效果檢測】1BC2.C3.C4.AD5.C6.BC7.A8.BD9(1)v1(2)T 解析(1)設衛星的質量為m，地球的質量為M，地球表面處的某物體質量為m不考慮地球自轉的影響，在地球表面附近滿足Gmg 則GMR2g衛星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力則mG將式代入式，得到v1(2)由式可知，衛星受到的萬有引力為FG由牛頓第二定律得Fm(Rh)式聯立解得T 10(1)2 (2)1.012解析(1)設兩個星球A和B做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r和R