1、自動控制原理講座自動控制原理講座古典控制理論局部古典控制理論局部 主講：黃國宏主講：黃國宏廣東工業大學信息工程學院廣東工業大學信息工程學院第三章第三章 線性系統的時域分析法線性系統的時域分析法內容提要內容提要介紹一階和二階系統時間響應的分析和計算；介紹一階和二階系統時間響應的分析和計算；討論系統參數對性能指標的影響，分析改進二討論系統參數對性能指標的影響，分析改進二階系統性能的措施；階系統性能的措施；介紹高階系統時域分析方法；介紹高階系統時域分析方法；介紹用勞斯穩定性判據分析系統穩定性的方法，介紹用勞斯穩定性判據分析系統穩定性的方法，以及計算穩態誤差的方法。以及計算穩態誤差的方法。3.4 二階

2、系統的時域分析二階系統的時域分析 3.4.1 二階系統的標準形式二階系統的標準形式21221)()(KKssKKsRsC 典型的二階系統的結構圖如圖(a)所示, 它是由一個慣性環節和一個積分環節串聯組成前向通道的單位負反響系統。系統的傳遞函數為 令2n=K1K2/, 1/=2n , 那么可將二階系統化為如下標準形式: 2222)()(nnnsssRsC對應的系統微分方程為 )()()(2)(22trtctctcnnn 式中, 稱為阻尼比阻尼比, n稱為無阻尼自振角頻率無阻尼自振角頻率。二階系統的特征方程特征方程為 0222nnss所以, 系統的兩個特征根(極點)為 122, 1nns隨著阻尼比

3、阻尼比的不同的不同, 二階系統特征根二階系統特征根(極點極點)也不相同。也不相同。 欠阻尼欠阻尼 (01)22, 11nnjs 這是一對共軛復數根, 如圖(a)所示。 當01時, 兩特征根為 臨界阻尼臨界阻尼 ( =1) 當=1時, 特征方程有兩個相同的負實根, 即 s1,2=-n此時, s1, s2如圖 (b)所示。 過阻尼過阻尼 ( 1)當 1時, 兩特征根為 122, 1nns這是兩個不同的實根, 如圖 (c)所示。 無阻尼無阻尼 ( =0)當 =0時, 特征方程具有一對共軛純虛數根, 即 njs2, 1此時, s1, s2如圖 (d)所示。 二階系統的單位階躍響應二階系統的單位階躍響應

4、 令令r(t)=1(t), 那么有那么有R(s)=1/s，可得二階系，可得二階系統在單位階躍函數作用下輸出信號的拉氏變換統在單位階躍函數作用下輸出信號的拉氏變換為為 ssssCnnn12)(222對上式求拉氏反變換拉氏反變換, 可得二階系統在單位階躍函數作用下的過渡過程為 )()(1sCLtc1) 欠阻尼情況欠阻尼情況 (0 1) 2222)()(1)(21)(dnddndnndndnnssssjsjssssC式中, 稱為有阻尼自振角頻率有阻尼自振角頻率。 21nd上式分解為拉氏反變換為)0(sin1cos1sincos1)()(21tttetetesCLtcddtdtdndtnnn上式還可以

5、改寫為 )0()sin(11sincos111)(222ttettetcdtddtnn, ( =arccos) 在欠阻尼情況下, 二階系統的單位階躍響應是衰減衰減的正弦振蕩曲線的正弦振蕩曲線。 衰減速度衰減速度取決于特征根特征根實部的絕對值實部的絕對值n的大小 振蕩角頻率振蕩角頻率是特征根虛特征根虛部的絕對值部的絕對值, 即有阻尼自振有阻尼自振角頻率角頻率d , 2122nddT 振蕩周期振蕩周期為： 2無阻尼情況無阻尼情況 ( =0) 當當 =0時時, 系統的單位階躍響應為系統的單位階躍響應為 ttcncos1)( 所以, 無阻尼情況下系統的階躍響應是等幅正等幅正(余余)弦振蕩曲線弦振蕩曲線

6、, 振蕩角頻率振蕩角頻率是n。 3臨界阻尼情況臨界阻尼情況 (=1) 當當=1時時, 可得可得 nnnnnssssssC1)(1)()(2222對上式進行拉氏反變換得 )0() 1(1)(tettctnn 所以, 二階系統臨界阻臨界阻尼尼情況下的單位階躍響應是一條無超調無超調的單調上升曲單調上升曲線線。 4過阻尼情況過阻尼情況(1) 這種情況下這種情況下, 系統存在兩個不等的實根系統存在兩個不等的實根, 即即 nnss)1(,)1(2221可得 )1()1(1)()(23221212nnnsAsAsAssssssC式中, )1(121,)1(121, 12232221AAA取上式的拉氏反變換拉

7、氏反變換可得過阻尼情況下二階系統的單位階躍響應為 ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1( 1211)(t0) 顯然, 這時系統的響應c(t)包含兩個衰減的指數項, 其過渡過程曲線如以下圖所示。 此時的二階系統就是兩個慣性環節的串聯。 有關分析說明, 當2時, 兩極點s1和s2與虛軸的距離相差很大, 此時靠近虛軸的極點所對應的慣性環節的時間響應與原二階系統非常接近, 可以用該慣性環節來代替原來的二階系統。 在欠阻尼的狀態下, 當時, 過渡過程時間過渡過程時間比臨界阻尼時更短比臨界阻尼時更短, 而且振蕩也不嚴重而且振蕩也不嚴重。 因此在控制工程中, 除了那些不允許產生超調和振蕩

8、的情況外, 通常都希望二階系統工作在的欠阻尼狀態欠阻尼狀態。 3、二階系統的性能指標、二階系統的性能指標 在許多實際情況中, 評價控制系統動態性能動態性能的好壞是通過系統反映單位階躍函數單位階躍函數的過渡過程的特過渡過程的特征量征量來表示的。 在一般情況下, 希望二階系統工作在的欠阻尼狀態下。a 上升時間上升時間tr 根據定義根據定義, 上升時間滿足上升時間滿足 1sin1cos1)(2rdrdtrttetcrn所以有 0sin1cos2rdrdtt或 21tanrdtb峰值時間峰值時間tp 將輸出對時間求導將輸出對時間求導, 并令其為零并令其為零, 即即 0)(pttdttdc得 0)cos

9、()sin(pdtdpdtntetepnpn整理、變換得 tan1)tan(2pdt根據三角函數的周期性, 上式成立需滿足:dtp=0, ,2, 3， 由于峰值時間是過渡過程到達第一個峰值所對應的時間, 因此應取 pdt即二階系統過渡過程峰值時間為二階系統過渡過程峰值時間為 dddpTt21221 c最大超調量最大超調量p 由最大超調量的定義和系統的階躍響應可由最大超調量的定義和系統的階躍響應可得得 %100%100sin1cos%100sin1cos%100)()()(22pnpnpnttpdpdtppeettecctc即 %10021ep d過渡過程時間過渡過程時間ts 欠阻尼二階系統的單

10、位階躍響應曲線欠阻尼二階系統的單位階躍響應曲線c(t)位位于一對曲線于一對曲線 211)(tnety之內, 這對曲線稱為響應曲響應曲線的包絡線線的包絡線。 因此，可以采用包絡線代替實際響應曲線估算過渡過程時間ts, 所得結果一般略偏大。21tne解得 2111111nntns 假設允許誤差帶是, 那么可以認為ts就是包絡線衰減到區域所需的時間, 那么有若取若取=5%, 并忽略 時, 則得 )9 . 00(1112nnst3若取若取=2%, 并忽略 時, 則得 2111n (00.9)nst4例例 設一個帶速度反響的伺服系統設一個帶速度反響的伺服系統, 其結構圖如下圖。其結構圖如下圖。要求系統的

11、性能指標為要求系統的性能指標為p=20%, tp=1s，試確定系統的，試確定系統的K和和KA值值, 并計算性能指標并計算性能指標tr、ts和和N。 ) 1( ssKR(s)C(s)1 KAs解解 首先, 根據要求的p求取相應的阻尼比: 61. 111121/2ppne解得。 其次, 由條件tp=1s和已求出的=0.456 求無阻尼自振頻率n, 即 21npt解得n。22222)1 ()()(nnnAssKsKKsKsRsC比較上式兩端, 得 AnnKKK12,2所以K=12.5, KA。 將此二階系統的閉環傳遞函數與標準形式比較, 求K和KA值。最后計算tr、ts和N: rad1 . 11arctan2%)2(2 . 12,48. 24%)5(93. 02,86. 1365. 012次次psnspsnsnrttNstttNststAAKssKs55 .345)(25 .34252nAnKAAnKK525 .345)5.34(5)(ssKsGA已知某單位負反饋系統的開環傳函為： 設系統的輸入量為單位階躍函數，試計算放大器的增益KA=200時，系統輸出響應的動態性能指標。若KA增大到1500或減小到13.5時，求系統的動態性能指標。解：解：系統的閉環傳遞函數為stnp12. 012stns174. 03%13%21/e1. KA=200時，代入上式求得：n31.5rad/s；