1、17章-高斯光束的物理特性 之前的章節建立了計算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我們也需要對真實光束特性的物理的，直觀的理解-下兩節將嘗試建立一個了解。特別地，我們以前章節介紹的哈密頓-高斯和拉格拉日-高斯模型都是數學方面的，而且也為擁有有限直徑反射鏡的、穩定的、激光共振器的傳輸模型提供了好的近似。因此高斯或者類高斯光束在分析激光問題和有關光學系統的問題得到廣泛的應用。高斯光束特性的物理和數學理解是特別重要的。在這章里我們回顧在真空中的理想高斯光束的大多數重要的物理特性。17.1 高斯光束特性在本節中我們首先觀察低階高斯光束物理的性質，包含光圈傳輸，平行光距離，遠場角光束傳播和高斯光束傳播

2、的其他的實際方面。解析表達式讓我們總結低階高斯光束的特點在一斑點尺寸0和在橫向尺寸的平面波前R0=情況下，在一個簡化的參考平面，我們令z=0.從今以后，這個平面將被顯而易見的原因證明為束腰。如圖17.1所示：在另外平面z的高斯光束的歸一場方向圖將有以下方程復合的曲率半徑與光斑的尺寸和曲率半徑在任意z平面都有以下定義關系： 在真空中參數遵守傳輸定理：有初始值記在這些方程里的的值為光束在這些介質中傳輸的放射波長。高斯光束所有重要的性質都能用束腰尺寸0和zzR比值用以下方程聯系：換句話說，沿場方向的整個高斯光束以在束腰上的單一的因素0（或者q0，或者zR）為特點，還有在介質傳輸的波長。光圈傳輸 在分

3、析真空中理想高斯光束傳播特性前,我們可以簡要的了解在任何真正的光學系統存在的有限尺寸光孔的漸暈效應. 光斑尺寸半徑之后，高斯光束的強度減弱是非常迅速的。一個實際的光孔必須是多大才能使高斯光束上的截斷效應之前能被忽略。 猜想我們定義一束光的總功率為P=|u|2dA ，其中dA表示橫截面的面積，在孔尺寸中高斯光束的輻射強度變化如下： 有效直徑和均勻的擁有相同峰值強度和相同總功率的柱狀光束的面積作為一束柱狀高斯光束將是： 如圖17.2所示?？酌黠@比所需的要大，然而，要穿過一個真正的光斑尺寸為的，沒有減掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸為的高斯光束通過集中在直徑為2a的圓孔時有極小的的能量會轉讓掉，如圖

4、17.3所示：圖中標出了圓孔半徑a的圓孔對于光斑尺寸光的傳輸比值。半徑a=的孔可以傳輸高斯光束86的總功率。我們定義光衰減到86或者1e 時為孔尺寸。然而過去記錄里我們有更有用的歸納總結，當圓孔半徑為a=（2）或者直徑為時，孔將通過高斯光束超過99的總功率。我們經常運用這作為實際的設計準則來設計高斯光束的孔面積，趨向于取“d=”或者是99準則。（當d=3時，我們可以很好的觀察到光孔將傳輸98.9的功率.）圖17.4展示一些高斯光束重要的直徑落在高斯光束輪廓上。光圈衍射效應然而，光學設計中應該注意到，與圓孔不一樣的是方形邊緣的孔，即使他們之削弱了一束光總功率中很小的一部分，也會產生光圈衍射效應如

5、圖17.5，這將致使傳輸光束在近場（fresnel）和遠場（Fraunhofer）輻射圖形產生劇烈的變形。我們將在接下來的章節里介紹，例如，理想高斯光束在通過光斑尺寸為d=且有銳利邊緣的圓孔時產生的衍射效應導致強度變化I/I±17的近場衍射漣漪，同樣在遠場軸向的峰強度大約17%的衰減。我們必須放大有銳利邊緣的孔的尺寸d4.6來減少1%的衍射漣漪效應的影響。光束的準直：瑞利半徑和共焦參數另外一個重要的問題是理想高斯光束從束腰區域傳播出來時衍射分散擴大的速度有多少，后者，實際上，我們要知道一束準直的高斯光束開始很大的分散之前的距離是多少？光斑尺寸隨距離的變化由方程17.5給出，圖17.6

6、展示了兩個不同的束腰半徑01 和02 > 01 ，隨著傳輸的距離劇烈的擴大。主要點是當入射光斑在束腰的尺寸0 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近場內保持準直一段比較短的距離；在遠場分散一個大的束角。實際上，在光束直徑增加到束腰時的2倍，或者是光斑面積加倍時，光束從束腰傳播出來的距離由以下參數簡單給定術語瑞利半徑有時候用于天線原理，描述準直的光束通過直徑為d（假設d）天線孔后開始劇烈的分散時的距離zd2/。因此我們采用相同的術語命名zR02/。高斯光束從束腰傳播出時，瑞利范圍標記了在近場（fresnel）和遠場（fraunhofer）區域的分解線。 換一種說法來講，假如一束高斯光束從一個

7、孔聚焦到束腰然后再擴散，在斑尺寸為20面之間的全部距離b可以表示為 b=2zR= 202=confocal parameter (10)共焦參數廣泛用于描述高斯光束。，如圖17.7所示，瑞利范圍zRb/2在運用于大多數高斯光束有關的公式里。準直高斯光束傳播在實際情況下，一束光的準直束腰區域在超過多少距離后擴大？為對這個問題得到更深的了解，我們可以設計高斯光束從一個直徑為D的有微小匯聚的初始光圈傳播出來，入圖17.8所示，結果是光束在離開瑞利范圍后緩慢的聚焦到束腰上，其尺寸為0，然后又從新擴散到另一邊的相同直徑D（或者說相同聚焦界限）的瑞利范圍上。例如，我們選擇孔直徑為或者是穿過總功率為99%原

8、則，所以我們在每一個結尾選定D=×20。然后準直光束距離和傳輸孔尺寸之間的關系用公式表達為Collimated range=2zR=202D2. (11)圖17.8和表17.1展示了兩束不同波長激光準直范圍的典型的數據。一束可見光通過1cm的光孔能投射出有幾毫米的有效直徑的光束，它在傳播50米后者更遠距離后沒有嚴重的衍射。這樣的光束能用于例如在建設項目中做準直的無重力的弦。在光電池列陣的輔助下，能很容易的發現這樣一束光的中心，而且在整個傳輸距離里準確性好于/20，或者一毫米的小部分。遠場光束角：“禮帽”準則接下來我們設想在遠場情況下，當光束尺寸隨距離變化線性變化時，如圖17.9.在z

9、>>zR的遠場下光束傳播的角度是多少？由高斯光束方程（17.117.5），在遠場中從尺寸為0的束腰通過的高斯光束，它的1/e強度斑尺寸如下（z）=0zzR=z0 （z>>zR） （12）化簡為 0×（z）z （13）將束腰的光斑尺寸和遠場聯系起來。高斯光束在遠場中呈角度傳播能用幾種方法聯系近場光束尺寸后者孔面積，這基于我們的要求。例如，遠場沿軸向的光束強度如下因此，在軸向與總功率相同的光束強度分散到面積2（2）/2=2z2/202。在遠場中相等的禮帽分散的立體角TH(z)，由下給出 與此同時，由17.7給出的方程ATH=02/2為相同大禮帽的柱狀光束面積。這兩

10、個參數的乘積為 源光圈尺寸（在束腰）和遠場立體角傳播的叉乘為為平方，盡管精確的數字基于我們選擇的面積和立體角，在將來我們將看到更多細節。 遠場光束角：1/e準則另一個也是可能更合理的遠場束角的定義用到光束直徑的1/e或者86%準則，這樣通過在電場中巨大距離z里相應1/e強度的點的寬度定義的遠場半角。 由以上定義得，在遠場中，光束通過1/e強度的點組成半角1e，如圖17.9所示：兩倍的半角給出全角： 對于高斯光束，可以用更精確的公式化的表述，我們在第一章給出近似的關系/d。我們可以利用由有角的傳輸來定義圓錐相同的基礎來定義高斯光束的立體角1e，或者 如之前記錄一樣，在遠場中，這圓錐發散將包含光束

11、總功率的86%。猜想我們相同的1/e準則來定義在光束束腰的入射光束有效半徑（忽略在束腰位置一個半徑a=0的孔實際上在遠場部分將產生大量的衍射效應）。在1/e定義下，有效圓孔面積A1/202/2與有效遠場立體角1e2的乘積為 對于有普遍天線理論的高斯光束來說，這是一個十分精確的公式，表述如下 在物理學方面，這個定理說明， 假如我們測量平面波輻射從一個矢量角=（，）方向到達 有效孔面積為A（）的一個天線， 然后對所有可能角度d的測量面積進行積分，結果（任何形式的無損天線）大多數時候用于衡量波長。結果是固定的，不管是對于任何天線，不管是任何的無線電波，微波或者是光學波長。遠場光束角：守恒準則最后，一

12、個更為保守的方法來表示所有的點，我們可以用d=或者99%原則代替1/e原則來定義有效來源光圈尺寸和有效遠場立體角。然后我們可以知道初始的斑尺寸0 從直徑d=0源孔傳輸將產生含能量99%的遠場光束，其錐形的分散角2=（z）/z。在此基礎之上，我們來源光圈面積A為d2/4和光束遠場立體角=2；這些可以用更保守的方式聯系起來 我們介紹的準則中沒有一個可以定義有效孔尺寸和極其精確的有效立體角，以上準則中我們選擇哪一個取決于針對什么樣的目標。曲率半徑我們接下來來看高斯光束曲率半徑隨距離的變化。高斯光束曲率半徑R（z）隨距離變化規律如下：在圖17.10中標出沿法線方向的變化。在束腰上波前是平坦的或者是平面

13、時，相當于曲率半徑R（0）=。然而，隨著光束向外傳播，波前變得彎曲，曲率半徑的值非常迅速的減少（圖17.10）。在超過瑞利范圍適當距離R（z）z 時再次增加，換言之，高斯光束的光束束腰基本上變成球形波的中心。在物理方面為波前曲線的中心開始于-到波前恰好落在光束束腰上，然后單調向這束腰，直到波前移到z+。曲率共焦曲率的最小半徑發現在從束腰開始的一段距離z=zR的波前，半徑值R=b=2zR。波前的曲率中心點，坐落在z=+zR，反過來也一樣在z=-zR點，如圖17.10所示。 某特定的間距根據可靠的共振器理論有一個特殊的意義，設想波前曲線R（z）在±zR時在兩點安裝配套的兩個半徑為R的鏡子

14、，它們之間的距離L=R=b=2zR。這樣一個半徑為R的鏡子的焦點坐落于f=R/2，兩個鏡子的焦點一致的在共振器的中心。這兩個鏡子叫做對稱共焦諧振器，共焦因子為b2zR202/。我們在接下來探索這樣一個獨特的，有趣特構造征的共振器。參考文獻對于瑞利半徑的更深層次了解能在的”Tubular beams from radiating apertures” 中查閱到，微波前沿章節，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.對相同的意見的更早期的理解可以參考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文獻”On ima

15、ges formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinhole photography,” Phil.mag.31,87-89(1891.)問題17.1略17.2 高斯光束的聚焦在平行高斯光束傳播很遠距離時，我們經常對將這樣光束在聚焦到一個很小的斑很感興趣，記錄數據到影碟或者磁帶上，或者在刀片上打洞，或者在激光顯微鏡下計數細胞核。（因為關于紅寶石激光器強度規范的證明，通過僅僅使用一次激光射擊就可以在一片或者多片的刀片上擊出一個孔，脈沖激光器能量偶爾在“Gillettes”中被

16、引用。）通過高斯光束的聚焦能獲得什么種類的光斑尺寸和光強或者是對任何結構完整的高斯光束產生的問題。聚焦光斑尺寸在通常情況下，高斯光束被一面焦距為f的棱鏡聚焦，如圖17.11所示，簡化為像之前17.9所示遠場光束問題。束腰區域現在變成了斑尺寸0的焦點， 而且聚焦棱鏡的焦距在遠場中z±f。假設（f）為高斯光束在在透鏡上的尺寸，我們能有如公式17.13相同的關系，但是是相反的聯系，在實際情況下以上公式有什么隱身意義？能看出在實際聚焦問題中，入射的高斯光束應該填滿聚焦透鏡的最大面積，來保證高斯光束通過有限孔徑的透鏡時沒有一絲能量的喪失，（同時也沒有邊緣衍射效應）。在實際設計中一個合理的準則，

17、我們可以采用聚透鏡的直徑d為D=（f）或者99%準則，所以我們將在透鏡中損失小于1%的能量，同時我們也可以采用1/e或者d=20準則來選擇聚焦斑點的有效直徑，因為這個直徑可以通過86%的能量，和在功率強度已經減少峰值的1/e214%的邊緣。結合上面準則有為聚焦高斯光束的有效直徑。聚焦透鏡的焦距f的值（也叫相對孔徑或者透鏡的感光度），定義為 f#fD （26）聚焦斑直徑，我們總結出來的規則如下 選擇一種能得到基本相同結果的非傳統方法，我們能計算假如一束帶著總能量P的高斯光束，然后我們用一面焦距為f的透鏡聚焦，對透鏡直徑用相同的D=準則。接下來在光束聚焦的中間峰強度如下峰強度與面積為2（f#）2或

18、者是直徑為（8/）12 f#1.6f#的圓的光束聚焦的能量是相同的。 透鏡f值和菲涅耳數的影響無論我們選擇什么樣的定義，一束理想高斯光束能聚焦到一個一倍或者兩倍波長為直徑的斑點，透鏡焦距f值作為乘數。記一個長焦距的棱鏡，如，一個簡單的，便宜的，也比較容易得到的焦距f/10的棱鏡，其畸變系數十分小。另一方面，當透鏡f的值小于2，尤其是f#1時，具體的要求十分復雜的，昂貴的復雜元素設計，和能非常昂貴。有些光學工作者也喜歡棱鏡直徑D=2a，焦距f和Nf有一下關系，如下： Nfa2f. （29）就上面值與我們的光束和斑直徑來說，焦點直徑和棱鏡直徑有以下關系 d0D1Nf. （30）但是給定的棱鏡焦距f

19、的值與波長無光，Fresnel系數與波長有關。在方程17.30中的條件可用于更長波長，例如，用IR棱鏡強聚焦紅外線，可以將光束聚集到遠遠小于棱鏡直徑的斑尺寸，要求棱鏡有一個很大的Fresnel數Nf。一個完成強焦距的關鍵性條件，入射高斯光束傳輸填滿聚焦棱鏡面積，因為高斯光束直徑和非棱鏡直徑是在計算高斯光束焦點尺寸的參數。景深高斯光束的景深可以很方便的通過高斯光束束腰的瑞利范圍給定出來，或者可能就是2zR，這取決于我們怎么定義景深。假使我們用后者的定義，沿著棱鏡直徑準則D=（f），接下來我們可以定義景深 景深=2zR2f#22（d0）. （31）假如光束聚焦后得到直徑為N個波長的光斑。景深N2個

20、波長。焦點尺寸和景深的所有表達式當然也是表現為（a）高斯光束通過棱鏡后大致是平行的，也就是平坦的波前，光束聚焦到在焦距f的焦點附近；（b）光束實際上為強聚焦，表現為0（f），或者zRf，或者Nf1。相反的從束腰或者焦點看回去，后者的點說明棱鏡在遠場中。不管這些假設是不是全部正確，在計算焦點精確位置和光焦點尺寸是是必需有修正的，在接下來的章節理我們可以展示以下問題。焦點偏離當平行光由理想棱鏡聚焦時，實際上焦點，意味著很小斑尺寸和最大能量密度的位置，斌不是幾何上的棱鏡的焦點；更顯然的是，焦點落在棱鏡焦距內。焦點偏差的量實際上是很小的，如圖17.2可以很容易的測量高斯光束的偏差。由圖17.2的記號我

21、們能測量棱鏡到束腰的距離，或是實際上的焦點，用z表示，然而棱鏡的焦距為f。一束平行光通過一面焦距為f的薄透鏡，可得到波前曲率半徑大約為f。在薄棱鏡另一邊的一個波前的曲率由下式給出，有高斯光束理論和棱鏡理論聯合得：焦距f與束腰的實際距離z之間的差異如下標出焦距光束的瑞利范圍zR在正常情況下要比焦距小得多，焦點的偏移當然也大幅度的小于焦距長度（意味著實際上這可以忽略掉）。這個規律的表示為下式 ff=12Nf2 （34）作為一個實際的問題，當調節光學設計時我們通常不能知道棱鏡焦距的精確值，或者是棱鏡焦點的精確位置，或者是準直的入射光的有在任何實際影響的情況下有足夠高準確性的焦點偏移。當光學系統組合好

22、了以后，我們通常發現在任何系統中的焦距調整，可以通過小的實驗性調節來調整。 總結 基本上我們在本章給出的所有結論，包括準直光束長度，遠場角，焦點尺寸，景深，和焦點偏移，盡管我們是用高斯光束推導，但其實是可以用于任何有準直距離或者相同波前和合理、相同的光束振幅。 高斯光束簡單提供了部分的典型案例，在數學分析光斑尺寸或者波前曲率是比較容易的。與大多數其他的光束相區別，高斯光束也有顯著的特點，在光束傳播的任何截面都服從高斯分布。猜想一束相同性質的平面波穿過一面有一個圓孔的薄棱鏡聚焦到一個點。這個焦點在棱鏡的焦平面上存在Airy斑結構；但是焦點的焦點尺寸和焦距將由如方程17.24至17.31給出的棱鏡

23、焦距或者Fresnel值。更多的細節計算可以更清晰的展示光束軸向強度，平均光束直徑非常的小，在準確的焦距內的截面是很小的；焦點平面的位置可以由相同的方程17.33或者17.34確定的。參考文獻17.2問題略17.3 棱鏡定理和與之匹配的高斯模式在各種激光光學系統內一個通常的要求就是發射一束高斯光束通過一系列串聯的棱鏡，在真空區域和其他光學元件之間，如圖17.14所示，或許為了匹配一束由束腰斑尺寸1且在位置z1高斯光束與另一束束腰尺寸2在位置z2的光束干涉。完成此設計經常牽涉到高斯光束模式匹配。如果我們可以用接下來介紹的ABCD的方法來解決所有的可能的問題。在觀點上簡要的介紹初級的高斯模式匹配技

24、術，當然，這是很有用的。棱鏡定理和Collins描述理想的球面波穿過理想的焦距為f的窄棱鏡（圖17.13）的棱鏡定理為 1R2=1R1-1f （35）我們沿著本書中的基礎協議，用在+z方向軸上的分散距離R，和棱鏡的焦距f。一束高斯球面波穿過這樣一面窄棱鏡后，其曲率半徑以相同的方式改變，然而其斑尺寸不會改變。高斯光束的棱鏡定理以此類推，如下 1q2= 1q11f （36）其中q是由方程17.2定義得復合曲率因子。使用棱鏡定理得，在真空中這樣一個傳播規則q2=q1+z2z1，我們能在任何一組棱鏡和空間之間傳播高斯光束。這在復合的1/q平面描述這個傳播軌跡將是很有用的，也是更為方便的，在復合平面j/

25、q有直角坐標系x和y軸分別同位于x/2（z）和y1/R（z），由方程17.36，一個窄棱鏡的影響是在j/q平面內-1/f值的垂直跳躍。 這些雙向改變的定理被用于電路理論和其他地方，在真空區域的傳輸定理，q(z)=q0+z=z+jzR,明顯的類似于在復合的j/q平面里沿著圈狀弧線傳輸。如圖17.14所示。 這就是所謂的高斯光束圖像或者為Collins圖像與Smith圖像中的線性傳輸理論十分相似不同的高斯光束束腰相對于在x軸上不同的點x=1/zR,y=0。在真空中的傳輸曲線相當于通過點和源的圓?。ㄔ谶h場條件下z-）；有不同zR的常數z/zR也穿過源，在圖中展示了窄棱鏡豎直位置的的圖像。這種形式的圖

26、像能用于粗略觀察高斯光束的傳播問題或者一些圖像問題的解決。然而隨著計算機的普遍應用，我們漸漸忽略他們在實際運用中作為計算工具。參考文獻17.3 問題略17.4 軸向相移：GUOY影響高斯光束的傳播穿過束腰區域時也會產生細微的；卻是重要的相位移動變化，在這一節里我們將明確的討論。軸向相移低階高斯光束傳輸方程（17.3或者17.5）包含斑尺寸變化和隨z軸距離變化而變化的相位移動，在光學軸（x=y=0）以及附近的因素除了真空或者平面波相位移動由e-jkz項表示，也有一個增加的軸向變化的相位移動項 如果我們測量考慮束腰位置的相位移動增加。低階高斯模型相位變化（z）的網狀影響，如圖17.15所示，給出在束腰的兩邊額外±900變化，或者在穿過束腰時總相位變化為1800，在束腰兩側一個或者兩個的瑞利范圍內增加的最大的相位移動。在物理學方面，增加的相位移動在束腰區域的有效軸向傳播常數有細微的減小，即，keq（z）=kk，或者相速度和波前之間的空間比理想的平面波想速度輕微的增大，即，v(z)=c+v。穿過束腰的高斯光束波前相對理想的平面波提前半個