1、 課程名稱：高等數學 試卷類別：A卷 考試形式：閉卷 考試時間：120 分鐘 適用層次： 適用專業； 閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書寫，小題得分寫在每小題題號前，用正分表示，不得分則在小題大題得分登錄在對應的分數框內；考試課程應集體閱卷，流水作業。課程名稱：高等數學A（考試性質：期末統考（A卷） 題 號（型）一二三四核分人得 分總分評卷人一、單選題（共15分，每小題3分）C1設函數在的兩個偏導， 都存在，則 ( )A在連續 B在可微 C 及 都存在 D存在D2若，則等于（ ） C3設是圓柱面及平面所圍成的區域，則） B4 4若在處收斂，則此級數在處（ ） A 條件收斂 B 絕對收斂 C 發散 D

2、 斂散性不能確定A5曲線在點（1，1，2）處的一個切線方向向量為（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空題（共15分，每小題3分） 1設，則 -1 .2交 換的積分次序后，_3設，則在點處的梯度為 .4. 已知，則 .5. 函數的極小值點是 (2,2) .三、解答題（共54分，每小題6-7分）1.（本小題滿分6分）設, 求,. 解：; (3分) =+2.（本小題滿分6分）求橢球面的平行于平面的切平面方程，并求切點處的法線方程. 解：記切點 則切平面的法向量為滿足： ，切點為：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法線方程分別

3、為：或者 ( 6分)3. （本小題滿分7分）求函數在點處沿向量方向的方向導數。 解： ( 3分), ( 7分)4. （本小題滿分7分）將展開成的冪級數，并求收斂域。 解：=, ( 2分)因為 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)當時，級數為發散；當時，級數為發散,故=， ( 7分)5（本小題滿分7分）求由方程所確定的隱函數的極值。 解：由, 得到與, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隱函數的駐點為與。 ( 4分)由，可知在駐點與有。( 5分)在點，因此 ，所以為極小值點，極小值為；( 6分)在點，因此 ，所以為極大值點，極大值為， ( 76（本小題滿分7分）計算二重積分及圍成. 解：記，則

4、.（2分） 故 ( 4分) （7分）7.（本小題滿分7分）利用格林公式計算，其中是圓周（按逆時針方向）.8.（本小題滿分7分）計算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內的區域.四、綜合題（共16分，每小題8分）1（本小題滿分8分）設級數都收斂，證明級數收斂。2（本小題滿分8分）設函數在內具有一階連續偏導數，且，證明曲線積分與路徑無關若對任意的恒有，求的表達式參考答案及評分標準一、單選題（共15分，每小題3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空題（共15分，每小題3分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)三、解答題（共54分，每小題6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分

5、).2. 解：記切點 則切平面的法向量為滿足： ，切點為：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法線方程分別為：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4. 解：=, ( 2分)因為 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)當時，級數為發散；當時，級數為發散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到與, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隱函數的駐點為與。 ( 4分)由，可知在駐點與有。( 5分)在點，因此 ，所以為極小值點，極小值為；( 6分)在點，因此 ，所以為極大值點，極大值為， ( 7分)6. 解：記，則.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所圍區域：,由格林公式，可得= =.(7分)OOOOO裝O訂O線OOOOOxyz118. 解：如圖，選取柱面坐標系計算方便,此時，所以 ( 4分)=. (7分)四、綜合題（共16分，每小題8分）1證明