1、2016年南昌市高中數(shù)學(xué)競賽試題及答案（注意：題號后凡標(biāo)有“高一”的，為高一學(xué)生解答題；凡標(biāo)有“高二”的，為高二學(xué)生解答題；凡未作以上標(biāo)志的，則為高一、高二學(xué)生共同解答題）一、填空題（每題10分，共80分）1.（高一）化簡的結(jié)果是 答案：解：，故原式（高二） 設(shè)，若函數(shù)與具有相同的最小值，函數(shù)與具有相同的最大值，則 答案：解：故由，得故由，得由得，所以，或者若，由，即，矛盾！故只有，此時(shí)，2.（高一）若個連續(xù)正整數(shù)之和為，則的最大值是 答案：解：設(shè)，則，注意，且，為使值最大，當(dāng)選取使得的較小因子盡可能去取得最大，由于，可令（此時(shí)對應(yīng)于）（高二） 是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，若與兩焦點(diǎn)的連線互相

2、垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 答案：解：橢圓兩焦點(diǎn)為，若點(diǎn)坐標(biāo)為，則，以及，解得3.（高一） 三角形的邊長為正整數(shù)，周長為24，這種三角形共有 個答案：12個解：設(shè)三角形的三條邊長為，且，則，再由，得，所以即，于是在時(shí)，于是；在時(shí)，有；在時(shí)，有；在時(shí)，有；共計(jì)12種情形（高二）銳角三角形中，的最小值是 答案：解：記，則兩邊立方，得，當(dāng)且僅當(dāng)，4.（高一）若為銳角，使得，則 答案：24.解：據(jù)，得，解得及，若，則，不合題意，故只有（高二）單位正方體（各棱長皆為1的正方體）中，將每一對相鄰的中心連接，得到一個具有六個頂點(diǎn)的多面體，其體積是 答案：解：如圖，分別是及的中點(diǎn)，則自作平行于的平面，將多面體分成兩個

3、全等的四棱錐，其底面面積為，高為5.如果一個單調(diào)遞增數(shù)列的每一項(xiàng)皆是由排成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則 答案：解：總共可排出120個數(shù)，其中5開頭的有24個，它們中最小的數(shù)是倒數(shù)第24個數(shù)，即全體這種五位數(shù)的自小到大第97個數(shù)，5開頭的數(shù)后四位均由排成，這四個數(shù)碼排成的數(shù)自小到大順次是，所以6.從中取出個不同的數(shù)，使得取出的數(shù)中，任兩個數(shù)的差，既不等于5，也不等于8，則的最大值是 答案：6解：將排列于一個圓上，使得每相鄰兩數(shù)之差，或者為5，或者為8，然后選取一組互不相鄰的數(shù)，至多能取到六個數(shù)，例如取（若取7個數(shù)，則必有兩數(shù)在圓周上相鄰），因此7.滿足的正整數(shù)解的組數(shù)為 答案：165.解：由條件得

4、，由于有個正因子，對于每個正因子，由可以得到一個的值，而當(dāng)?shù)闹荡_定后，的值便隨之確定，于是共有165組解8.集合是集合的子集，且中至少含有一個平方數(shù)或者立方數(shù)，則這種子集的個數(shù)是 答案：解：集合中的平方數(shù)或立方數(shù)構(gòu)成集合，其中有12個元素，從中挖去集合后剩下的元素構(gòu)成集合，則中含有個元素，由于的子集有個，的非空子集有個，集可表示為形式，其中是的任一非空子集，是的任一子集，因此的個數(shù)為二、解答題9.（20分）集合與分別由滿足如下條件的所有五位數(shù)組成：對于集合的每個元素，其各位數(shù)碼之和加1或減1之后是5的倍數(shù)；對于集合的每個元素，其各位數(shù)碼之和或者是5的倍數(shù)，或者減2之后是5的倍數(shù)證明：（即這兩個

5、集合的元素個數(shù)相等）證：對于任一五位數(shù)，其中，的各位數(shù)碼之和記為；對于集合中的任意一數(shù)，令與五為數(shù)相對應(yīng)，其中每個滿足等式：則，且據(jù)此可知，若，則，若，則，于是當(dāng)時(shí)，必有，并且不同的對應(yīng)于不同的反過來也是如此，即這種對應(yīng)是一一對應(yīng)，從而這兩個集合的元素個數(shù)相等10.（25分）四邊形內(nèi)接于以為直徑的圓，分別是邊上的點(diǎn)，且證明：三線共點(diǎn)證：設(shè)分別交于，對角線交于，只要證三點(diǎn)共線 連，由，得又由，得相乘得將相乘得，因此直角三角形，所以，故三點(diǎn)共線，從而三線共點(diǎn)11.如果實(shí)數(shù)集合的全體元素可以排成一個等比數(shù)列，就稱是一個幾何集，例如無窮集合就是一個幾何集試確定，是否存在7個幾何集，使得它們的并集元素中，包含有前50個正整數(shù)，即，其中證明你的結(jié)論解：不存在首先證明，任一個幾何集之中至多含有兩個質(zhì)數(shù)反證法，假若某個幾何集的元素中含有三個質(zhì)數(shù)，