1、第四章向量組的線性相關性1設, 求及.解 2設其中, ,求.解 由整理得3. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R(B)=2. 因為R(B)¹R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示.4. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=

2、(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 證明A組與B組等價. 證明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 顯然在A中有二階非零子式, 故R(A)³2, 又R(A)£R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價. 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3線性表示. 證明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2,

3、 a3, a4線性無關, 故a2, a3也線性無關. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3線性相關, 故a1能由a2, a3線性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3線性表示, 則因為a1能由a2, a3線性表示, 故a4能由a2, a3線性表示, 從而a2, a3, a4線性相關, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3線性表示.6. 判定下列向量組是線性相關還是線性無關: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列

4、向量的矩陣記為A. 因為 , 所以R(A)=2小于向量的個數, 從而所給向量組線性相關. (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因為 , 所以R(B)=3等于向量的個數, 從而所給向量組線性相無關.7. 問a取什么值時下列向量組線性相關？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當a=-1、0、1時, R(A)<3, 此時向量組線性相關. 8. 設a1, a2線性無關, a1+b, a2+b線性相關, 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因為a1+b, a2+b線性相關, 故

5、存在不全為零的數l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設, 則 b=ca1-(1+c)a2, cÎR. 9. 設a1, a2線性相關, b1, b2也線性相關, 問a1+b1, a2+b2是否一定線性相關？試舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T時, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的對應分量不成比例, 是線性無關的. 10舉例說明下列各命題是錯誤

6、的:(1) 若向量組是線性相關的,則可由線性表示.(2) 若有不全為0的數使 成立, 則線性相關, 亦線性相關.(3) 若只有當全為0時,等式 才能成立,則線性無關, 亦線性無關.(4) 若線性相關, 亦線性相關,則有不全為0的數, 使 同時成立.解 (1) 設, 滿足線性相關, 但不能由線性表示.(2) 有不全為零的數使 原式可化為 取 . 其中為單位向量,則上式成立,而 ,均線性相關.(3) 由 (僅當)線性無關取, 取為線性無關組. 滿足以上條件,但不能說是線性無關的.(4) 與題設矛盾.11設,證明向量組線性相關.證明 設有使得則(1) 若線性相關,則存在不全為零的數,; ; ; ;由

7、不全為零,知不全為零,即線性相關.(2) 若線性無關, 則 由 知此齊次方程存在非零解. 則線性相關.綜合得證.12設,且向量組線性無關,證明向量組線性無關.證明 設則因向量組線性無關,故 因為 故方程組只有零解.則. 所以線性無關13求下列向量組的秩,并求一個最大無關組:(1),;(2),.解(1)線性相關.由秩為2,一組最大線性無關組為.(2) 秩為2,最大線性無關組為.14利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關組,并把其余列向量用最大無關組線性表示:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列構成一個最大無關組.(2) ，所以第1、2、3列構成一個最大無關組15. 設向

8、量組(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩為2, 求a, b. 解 設a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因為, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 16設是一組維向量,已知維單位坐標向量能由它們線性表示,證明線性無關.證明 維單位向量線性無關. 不妨設:所以 兩邊取行列式，得 由 即維向量組所構成矩陣的秩為. 故線性無關.17設是一組維向量,證明它們線性無關的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.證明設為一組維單

9、位向量，對于任意維向量則有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關，且能由單位向量線性表示，即故 兩邊取行列式，得 由 令 . 由即都能由線性表示，因為任一維向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由線性表示.已知任一維向量都可由線性表示，則單位向量組：可由線性表示，由8題知線性無關.18. 設向量組a1, a2, × × ×, am線性相關, 且a1¹0, 證明存在某個向量ak (2£k£m), 使ak能由a1, a2, × × ×, ak-1線性表示. 證明 因為a1, a2, ×

10、× ×, am線性相關, 所以存在不全為零的數l1, l2, × × ×, lm, 使l1a1+l2a2+ × × × +lmam=0,而且l2, l3,× × ×, lm不全為零. 這是因為, 如若不然, 則l1a1=0, 由a1¹0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2£k£m), 使lk¹0, lk+1=lk+2= × × × =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ × × × +l

11、kak=0,ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+ × × × +lk-1ak-1),即ak能由a1, a2, × × ×, ak-1線性表示.19設向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關。證明組線性無關的充分必要條件是矩陣的秩.證明若組線性無關令則有由定理知由組:線性無關知，故.又知為階矩陣則由于向量組:能由向量組:線性表示,則 綜上所述知即若令,其中為實數則有又,則由于線性無關,所以即 （1）由于則(1)式等價于下列方程組: 由于 所以方程組只有零解.所以線性無關, 證畢.20. 設,證明向量組a1, a2, &

12、#215; × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn等價. 證明 將已知關系寫成,將上式記為B=AK. 因為,所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn可相互線性表示. 因此向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn等價.21. 已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x

13、=3Ax-A2x, 且向量組x, Ax, A2x線性無關. (1)記P=(x, Ax, A2x), 求3階矩陣B, 使AP=PB; 解 因為 AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3Ax-A2x) , 所以. (2)求|A|. 解 由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因為x, Ax, A2x線性無關, 故3x-Ax-A2x¹0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)<3, |A|=0.22求下列齊次線性方程組的基礎解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程組等價于 取得 ; 取得.因此基礎解系為

14、(2) 所以原方程組等價于取得; 取得.因此基礎解系為(3)原方程組即為取得取得取得所以基礎解系為23設,求一個矩陣,使,且.解由于,所以可設. 則由 可得, 解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣24求一個齊次線性方程組,使它的基礎解系為.解顯然原方程組的通解為,()即 消去得 此即所求的齊次線性方程組.25. 設四元齊次線性方程組 I: , II: . 求: (1)方程I與II的基礎解系; (2) I與II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-

15、1, 1)T. 因此方程I的基礎解系為 x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(-1, 1, 0, 1)T. 由方程II得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T. 因此方程II的基礎解系為 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(-1, -1, 0, 1)T. (2) I與II的公共解就是方程 III: 的解. 因為方程組III的系數矩陣 , 所以與方程組III同解的方程組為 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程組III

16、的基礎解系為 x=(-1, 1, 2, 1)T. 因此I與II的公共解為x=c(-1, 1, 2, 1)T, cÎR.26設階矩陣滿足,為階單位矩陣,證明 (提示:利用矩陣性質6和8。)證明所以由21題所證可知又由11題所證可知由此27. 設A為n階矩陣(n³2), A*為A的伴隨陣, 證明. 證明 當R(A)=n時, |A|¹0, 故有 |AA*|=|A|E|=|A|¹0, |A*|¹0, 所以R(A*)=n. 當R(A)=n-1時, |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0,即A*的列向量都是方程組Ax=0的解. 因為R(A)=n-1, 所

17、以方程組Ax=0的基礎解系中只含一個解向量, 即基礎解系的秩為1. 因此R(A*)=1.當R(A)£n-2時, A中每個元素的代數余子式都為0, 故A*=O, 從而R(A*)=0.28求下列非齊次方程組的一個解及對應的齊次線性方程組的基礎解系：(1) (2)解(1)(2) 29設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量且，求該方程組的通解解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結構性質得為其基礎解系向量，故此方程組的通解：，30. 設有向量組A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(

18、-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, b, -1)T, 問a, b為何值時 (1)向量b不能由向量組A線性表示; (2)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一; (3)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)當a=-4, b¹0時, R(A)¹R(A, b), 此時向量b不能由向量組A線性表示. (2)當a¹-4時, R(A)=R(A, b)=3, 此時向量組a1, a2, a3線性無關, 而向量組a1, a2, a3, b線性相關, 故向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一. (3)

19、當a=-4, b=0時, R(A)=R(A, b)=2, 此時向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一. 當a=-4, b=0時, 方程組(a3, a2, a1)x=b的解為 , cÎR. 因此 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1, 即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cÎR.31. 設a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 證明三直線 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2¹0, i=1, 2, 3) l3: a

20、3x+b3y+c3=0,相交于一點的充分必要條件為: 向量組a, b線性無關, 且向量組a, b, c線性相關. 證明 三直線相交于一點的充分必要條件為方程組, 即有唯一解. 上述方程組可寫為xa+yb=-c. 因此三直線相交于一點的充分必要條件為c能由a, b唯一線性表示, 而c能由a, b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a, b線性無關, 且向量組a, b, c線性相關. 32. 設矩陣A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4線性無關, a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1,

21、1, 1, 1)T是方程Ax=b的一個解. 由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一個解. 由a2, a3, a4線性無關知R(A)=3, 故方程Ax=b所對應的齊次方程Ax=0的基礎解系中含一個解向量. 因此x=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的基礎解系. 方程Ax=b的通解為x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, cÎR.33設是非齊次線性方程組的一個解,是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系,證明: (1)線性無關； (2) 線性無關。證明 (1)反證法,假設線性相關,則存在著不全為0的數使得下式成立: (1)其中,否則,線性相關,而與基礎解系不是線性相關的產生矛盾。由于為特解，為基礎解系，故得而由(1)式可得 故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產生矛盾,假設不成立, 故線性無關.(2)反證法,假使線性相關.則存在著不全為零的數使得下式成立: （2）即1) 若,由于是線性無關的一組基礎解系,故,由(2)式得此時 與假設矛盾.2) 若由題(1)知, 線性無關,故 與假設矛盾,綜上,假設不成立,原命題得證.34.設是非齊次線性方程組的個解，為