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文檔簡介
1、第一章解三角形1、三角形三角關系:A+B+C=180;C=180°-(A+B);2、三角形三邊關系:a+b>c;a-b<c3、三角形中的基本關系:sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=cosC,tan(A+B)=tanC,.ABCAB.CxABCsin=cos,cos=sin,tan=cot-C的對邊,R為AABC的外接圓的半徑,則有2222224、正弦定理:在MBC中,a、b、c分別為角a、BabsinAsin三c=2RsinC5、正弦定理的變形公式:化角為邊:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;abc化邊為角:sina=,sinB=,sinC
2、=;2R2R2RD a:b:c=sinA:sin B :sin C ;a b csin A sin m sin C_ a _ bsin A sin 三csinC6、兩類正弦定理解三角形的問題:已知兩角和任意一邊,求其他的兩邊及一角已知兩角和其中一邊的對角,求其他邊角.(對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況(一解、兩解、三解)7、余弦定理:在AABC中,有a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b22abcosC.22222.22.228、余弦定理的推論:cosA=,cosB=-,cosC=.2bc2ac2ab(余弦定理主要解決的問題:1.已知
3、兩邊和夾角,求其余的量。2.已知三邊求角)9、余弦定理主要解決的問題:已知兩邊和夾角,求其余的量。已知三邊求角)10、如何判斷三角形的形狀:判定三角形形狀時,可利用正余弦定理實現邊角轉化,統一成邊的形式或角的形式設a、b、c是AABC的角A、B、C的對邊,則:若a2+b2=c2,則C=90;若a2+b2>c2,則C<90,;若a2+b2<c2,則Ca90.注:正余弦定理的綜合應用:如圖所示:隔河看兩目標A、B,但不能到達,在岸邊選取相距J3千米的C、D兩點,并測得/ACB=75O,/BCD=45,/ADC=30,/ADB=45(A、B、C、D在同一平面內),求兩目標A、B之間
4、的距離。解:11、三角形面積公式:(1) S=-aho=-bhb=-chc(hQ為、兒分別表示。、b、c上的高):222(2) S=-obsinC=-bcsinJA=-acsinB;222_asin.ffsinCb2sinCsin.4c2sinsinB(3)S=:25in(5+C)25in(C+A)2sin(/t+B)(4) 5=2島inAsin8sMe口(月為外接圓半徑)(5) S=也:47?(6) S=3)(pb)(pc);p(a+12J12、三角形的四心:垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點重心一一三角形三條中線的相交于一點(重心到頂點距離與到對邊距離之比為2:1)外心一一三角形三邊垂直
5、平分線相交于一點(外心到三頂點距離相等)內心一一三角形三內角的平分線相交于一點(內心到三邊距離相等)附加:特殊向的三角函數值角度Q0*30e60J9G°120°B5"150°180°270fl360”a的孤度064TI卞3375第6打,-2才siner01671正27712010COSai叵臣1012三在-I01tanff0呈3I77-4lT00第二章數列1、數列:按照一定順序排列著的一列數.2、數列的項:數列中的每一個數.3、有窮數列:項數有限的數列.4、無窮數列:項數無限的數列.5、遞增數列:從第2項起,每一項都不小于它的前一項的數列(即:
6、an+i>an)6、遞減數列:從第2項起,每一項都不大于它的前一項的數列(即:an+i<an)7、常數列:各項相等的數列(即:an+i=an).8、擺動數列:從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列.9、數列的通項公式:表示數列aj的第n項與序號n之間的關系的公式.10、數列的遞推公式:表示任一項a與它的前一項an,(或前幾項)間的關系的公式.11、如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,則這個數列稱為等差數列,這個常數稱為等差數列的公差.符號表示:an書-an=d。注:看數列是不是等差數列有以下三種方法:an-anA=d(n*2,d為常數
7、)2an=an書+an(n>2)an=kn+b(n,k為常數12、由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列,則A稱為a與b的等差中項.若b=a上2則稱b為a與c的等差中項.13、若等差數列an的首項是&,公差是d,則an+(n1)d.14、通項公式的變形:斗=%+(nm)d; Q = a<(n1H; dan - a1an -alan amr ; n= 1; d 一n - 1dn - m15、若 Gn)是等差數列,且 m + n = p + q(m、n、pqWN*),則Sm+不=4+';若4是等差數列,且2n=p+q(n、p、qwN),則23n=ap+
8、aq.";- . Sn=q+&+|" + anna13n16.等差數列的前n項和的公式:Sn=2;Sn=na十17、等差數列的前n項和的性質Sf 禺an 1若項數為2n(nWN*),則,=斗.斗士),且%-嗡=nd,若項數為2n-1(nwN),則S2n=(2n1)an,且加一瞬=a,且=(其中S奇=nan,S禺n7S偶=(n-1問).18、如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數,則這個數列稱為等比數列,這個常數a,一稱為等比數列的公比.符號表布:±=q(注:等比數列中不會出現值為0的項;同號位上的值同號)an注:看數列是不是等比數列有
9、以下四種方法:an=anq(n至2,q為常數,且#0)2an=an+an(n25anan+an10)Dan=cqn(c,q為非零常數).正數列an成等比的充要條件是數列logxan(xi)成等比數列.19、在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,則G稱為a與b的等比中項.若G2=ab,則稱G22為a與b的等比中項.(注:由G=ab不能彳#出a,G,b成等比,由a,G,b=G=ab)20、若等比數列&的首項是ai,公比是n-1q ,則 an =&q21、n-m通項公式的變形: an = amq- n-1 a1 = anq22、Dqn -1也;a1n manq 一am若a
10、n是等比數列,且m +n = p + qp、q wn),則am h = ap aq ;若an是等比數列,且2n=p+q(n、p、qwN),則an=ap23、等比數列an的前n項和的公式:na q=1 Sn =,a1 (1 -qn )31* =a1a2 I 卜 an24、對任意的數列 an的前n項和Sn與通項an的關系:ans1 = a1(n = 1) =<Sn - Sn(n - 2)注:an?1%n-1d=nd+(a1V)(d可為零也可不為零一為等差數列充要條件(即常數列也是等差數列)一若d不為0,則是等差數列充分條件).-可以為零也可不為零一為等差的充要條件一若d為2等差an前n項和S
11、n=An2%n=3n2衛a1-d零,則是等差數列的充分條件;若d不為零,則是等差數列的充分條件.非零常數列既可為等比數列,也可為等差數列.(不是非零,即不可能有等比數列)附:幾種常見的數列的思想方法:1 .等差數列的前n項和為Sn,在dY0時,有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值,有兩種方法:一是求使an之0,an用Y0,成立的n值;二是由Sn=°n2+d)n利用二次函數的性質求n的值.22n項和看成是關于 n的函數,為我2 .數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下:數列通項公式對應函數等差數列%=+(內1)4=H程+(11-d)時為一次函數)等比數列M-1再1F以國二對口二一
12、yqy=4(指數型函數)數列前n項和公式對應函數等差數列%=陰+2厘=2甩2”2'=0K+占工(4工0時為二次函數)等比數列1-q1-1-"做工+b(指數型函數)我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”,將數列的通項公式以及前們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。求此數列前n項和可依照等比數列前n項和3 .如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積,111的推倒導萬法:錯位相減求和.例如:1一,3,.(2n1)一,242n4 .兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列,此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項,公差是兩個數列公差d1,d2的最小公倍數a5
13、 .判斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種萬法:(1)定義法:對于n>2的任意自然數,驗證an-an(一n-)an為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證2anHt=an+an“(a2+=anan42)nN都成立。.加之0一一.6 .在等差數列an中,有關S的最值問題:(1)當a1>0,d<0時,滿足3的項數m使得Sm取最大值.(2)«m+E0am<0當a1<0,d>0時,滿足的項數m使得Sm取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應Lam十至0用。附:數列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等
14、比數列的數列。2.裂項相消法:適用于其中an是各項不為0的等差數列,c為常數;部分無理數列、含階乘的數列©nHn中1例題:已知數列an的通項為an=,求這個數列的刖n項和Sn.n(n1)“11解:觀察后發現:an=-nSn=aa2an/1、/11、/11、=(1一2)(2一3)y一二)二1,n13.錯位相減法:適用于anbn其中an是等差數列,bn是各項不為0的等比數列。例題:已知數列an的通項公式為an=n2n,求這個數列的前n項之和sn。解:由題設得:Sn二a1.a2a3.an123n=122232n2123n_即Sn=121+222+323+n,2n把式兩邊同乘2后得2Sn=1
15、22+223+324+,+n2n*用-,即:_1_2_3_nsn=12+22+32+;,+*2ffff*y/*fX*2sn=122+223+324+''+n2n+-sn=122223-2n-n2n12.n2n11-2n1-(1-n)2-2Sn=(n7)2n124.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法5.常用結論1) : 1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2n-1) = n23) 13 +233 = -n(n 1) _2 l )4) 1222CC132+-+n2n(n1)(2n1)65),n(n1)nn1111=一(n(n2)2n11116)
16、39;=(1')(p;q)pqq-ppq附加:重點歸納等差數列和等比數列(表中m,n,p,qwN+)別項等差數列an等比數列an定義an由一an=dan/qan通項公式an=a1+(n-1)dnan=aqan=am+(n-m)dn-ma=aqJnJmq前n項和n(a1+an)nfnj-£)Snnad22Sn="'nai(q=1)aa,”i等差(比)中項2%書=an+an電2an+=ana"公差(比)a-ad=am,(mn)n-mq2=-anam性質m+n=p+q=am+an=ap+aqm+n=p+q=ama=apaqm+n=2p=am+an=2ap
17、2m+n=2p=aman=apSm,S2mSm,S3mS2m,出成等差2數列,公差為md(Sn是刖n項和)Tm,T2m,T3mJll成等比數列,公TmT2m2,_m一一一一比為q(Tn是前n項積)am,am#,am郡H仍然是等差數列,其公差為kdam,am«,am梆,田仍然是等比數列,k其公比為qkan+b是等差數列ba:是等比數列(b#0)單調性d>0,L;d<0,L;d=0,常數列ai>0時,q>1L,0<q<1,L;a1<0時,q>lL,0<q<1,l_;q=1為常數列;q<0為擺動數列2.等差數列的判定方法:(
18、a,b,d為常數).定義法:若an書an=d】.等差中項法:若2ai=an+an*=an為等差數列.通項公式法:若an=an+b.前n項和法:Sn=an2+bnJ3.等比數列的判定方法:(k,q為非零常數)、,4an-1.定義法:若-q、an.等比中項法:若an書2=anan書>=Mn為等比數列.通項公式法:若an=kqn.前n項和法:Sn=kkqn/-、不等式的主要性質:(1)對稱性:aAbubaa(2)傳遞性:aAb,bc=aAc(3)加法法則:aAb=a+cAb+c;(4)同向不等式加法法則:ab,cAd=a+cAb+d(5)乘法法則:a>b,c>0=ac>bc;
19、aab,c<0=ac<bc(6)同向不等式乘法法則:a>b>0,c>d>0=>ac>bd(7)乘方法則:aAb>0=an>bn(n亡N*且n>1)(8)開方法則:a>b>0=>na>n/b(neN*且n>1)11(9)倒數法則:aAb,ab>0;一<ab、一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a#0)及其解法>0&=0<0二次函數y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c=a(x_x1)(x-x2)y=ax二a(,2+bx+cX-xi)(
20、xx2)2.y=ax+bx+c(a>0)的圖象一J°zX1=XZK1,兀一次方程2ax+bx+c=0(a>0)的根后兩相異實根Xi,X2(Xi<X2)后兩相等實根bX1X22a無實根2ax+bx+ca0(aa0)的解集x<x1或xax21Hx2aR2ax+bx+c<0(a>0)的解集&x1Mx<x2001.一元二次不等式先化標準形式(a化正)2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口訣:在二次項系數為正的前提下:“大于取兩邊,小于取中間”三、均值不等式1、設a、b是兩個正數,則22、基本不等式(也稱均值不等式):a b ,,
21、稱為正數a、b的算術平均數,Tab稱為正數a、b的幾何平均數.若a > 0均值不等式:如果a,b是正數,那么aba+b22Jab即一-之。ab(當且僅當2=M寸取"="號).注意:使用均值不等式的條件:一正、二定、三相等3、平均不等式:(a、b為正數),即、a b ab 一22一-T(當a=b時取等)11aba2b24、吊用的基本不等式:a+b之2ab(a,b=R);abW-(a,bR);a(a,be R).2abwIaa(a>0,b>0v25、極值定理:設x、y都為正數,則有:2若x+y=s(和為定值),則當x=y時,積xy取得最大值.若xy=P(積為定
22、值),則當x=y時,和x+y取得最小值2Jp.四、含有絕對值的不等式1 .絕對值的幾何意義:|x|是指數軸上點x到原點的距離;|x-x2|是指數軸上x1,x2兩點間的距離;代數意Jaa0乂:|a=*0a=0aa<02、如果a>0,則不等式:|x|>a<=>xa或x<a;|x|之a<=>x之a或xMa|x|<a<=>a<x<a;|x|<a<=>-a<x<a4、解含有絕對值不等式的主要方法:解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號五、其他常見不等式形式總結:分式不等式的解法:先移項通分標
23、準化,則f(x)、>0仁 f(x)g(x)0; g(x)3.0= f(x)g(x)-0 g(x)g(x)=0指數不等式:轉化為代數不等式af(x)>ag(x)(a>1)f(x)g(x);af(x)>ag(x)(0<a<1)uf(x)<g(x)對數不等式:轉化為代數不等式f(x)0f(x)0lOgaf(x)AlOgag(x)(a>1)=g(x)>0logaf(x)Alogag(x)(0<a<1)=g(x)0f(x)Ag(x)J(x)<g(x)高次不等式:數軸穿線法口訣:“從右向左,自上而下;奇穿偶不穿,遇偶轉個彎;小于取下邊
24、,大于取上邊”例題:不等式(x-3x+2)(x4)wo的解為()x3A.1<xwi或x>2B.x<-3或1wxW2C.x=4或3<xW1或x>2D.x=4或x<3或1wxw2六、不等式證明的常用方法:作差法、作商法七、線性規劃1、二元一次不等式:含有兩個未知數,并且未知數的次數是1的不等式.2、二元一次不等式組:由幾個二元一次不等式組成的不等式組.3、二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對(x,y),所有這樣的有序數對(x,y)構成的集合.4、在平面直角坐標系中,已知直線Ax+By+C=0,坐標平面內的點P(x0,y0).若B>0,Ax。+Byo+C>0,則點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0的上方.若B>0,Ax°+By0+C<0,則點
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