1、第十七章多元函數微分學一、證明題1 .證明函數22-yT，X2y2;0f(x,y)=x+y在點(0,0)連續且偏導數存在，但在此點不可微.0,x2+y2=02 .證明函數.22.122_(xy)sin2，xy=0f(x,y)=x+y220,x2+y2=0在點(0,0)連續且偏導數存在，但偏導數在點(0,0)不連續，而f在原點(0,0)可微.3 .證明：若二元函數f在點p(x0,y°)的某鄰域U(p)內的偏導函數fx與fy有界，則f在U(p)內連續.4 .試證在原點(0,0)的充分小鄰域內有arctgx y1 xy= x+y.5 .試證:(1)乘積的相對誤差限近似于各因子相對誤差限之和

2、(2)商的相對誤差限近似于分子和分母相對誤差限之和6 .設Z=y一二、淇中f為可微函數，驗證fx2-y21 :Z1;ZZ+=2.x二xycyyZ:Z7 .設Z=siny+f(sinx-siny),其中f為可被函數，證明：丁secx+secy=1.二xy8 .設f(x,y)可微，證明：在坐標旋轉變換x=ucos0-vsin0,y=usin0+vcos0之下.(fx2+(fyF是一個形式不變量，即若g(u,v)=f(ucos0-vsin0,usin0+vcos0).則必有(fx2+(fy2=(gu2+(gv.(其中旋轉角9是常數)9 .設f(u)是可微函數，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-

3、2t),試求：Fx(0,0)與Fg(0,0)10.若函數u=F(x,y,z)滿足恒等式F(tx,ty,tZ尸tk(x,y,z)(t>0)則稱F(x,y,x)為K次齊次函數.試證下述關于齊次函數的歐拉定理：可微函數齊次函數的充要條件是：xFxx,y,z+yFyx,y,z+ZFxx,y,z=KF(x,y,z).并證明：z=,xy-_xy為一.次齊次函數.22xy11.設f(x,y,z)具有性質f(tx,tky,tmZ)=(x,y,z)(t>0)證明：f(x,y,z)=xnf1,(2)xfxx,y,z+kyfyx,y,z+mzfzx,y,z=nf(x,y,z).12.設由行列式表示的函數

4、a1(t)a2(t)an(ta21(t)a22(t)a2n(t)D(t尸an1(t)an2(t)ann(t)其中3j(tXi,j=1,2,n)的導數都存在，證明a1(t)a/)-an(t)*!Tifc*dD(t)T，小-乙ak1(t)ak2(t)'''akn(t)dty*!Tifc*an1(t)an2(t)ann(t)13 .證明：(1) grad(u+c)=gradu(c為常數);(2) graqd(au+3v)=agradu+3gradv(a,3為常數);(3) grsduv=ugradv+vgrsdu;(4) gradf(u)=(u)gradu.14 .設f(x,

5、y)可微,Li與L2是R2上的一組線性無關向量，試證明；若f丸(x,y)三三常數.F(x,y,z)為 K 次0(i=1,2)則 f(x,y)15 .通過對F(x,y尸sinxcosy施用中值定理，證明又某(0,1)，有3二二1二？二二r二二-=coscos一sinsin.16 .證明：函數u=：eF(a,b為常數)2a.二t-2滿足熱傳導方程：u=a2；t2,t二x_2_217 .證明：函數u=lnV(x-a2+(Y-b2(a,b為常數)滿足拉普拉斯方程：只+T=0.二x二y-2二 u18 .證明：若函數u=f(x,y)滿足拉普拉斯方程：u，一xy，“一、+：=0.則函數V=f(二2,2y2)

6、也滿足此方程.yxyxy19 .設函數u=K+欠y),證明：-2-2;u二u二u二u一-=C.2x二x二y:y二x20 .設fx,fy和fyx在點(X0,yo)的某領域內存在，fyx在點(X0,yo)連續，證明fxy(X0,yo)也存在，且fxy(X0,yo)=fyx(xo,yo),21 .設fx,fy在點(x0,y。)的某鄰域內存在且在點(x0,y。)可微，則有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y°)二、計算題1.求下列函數的偏導數：21Z=xy;(2)Z=ycosx;(3)Z=22xy(4)Z=ln(x+y2);(5)Z=exy;(6)Z=arctgy;(7) Z=xye si

7、n(xy);y z(8) u= 一x y(9) u=(xy) z;(10) u=.2 .設f(x,y)=x+(y-1)arcsin上;求fx(x,1).3 .設22c220,x y,xy=0y=0考察函數f在原點(0,0)的偏導數.4 .證明函數Z=Jx2+y2在點(0,0)連續但偏導數不存在.5 .考察函數ixysin-2,x2y2=0f(x,y)=x十y在點(0,0)處的可微性_2,2_0,x+y=06 .求下列函數在給定點的全微分；Z=x4+y4-4x2y2在點(0,0),(1,1);x.(2)Z=在點(1,0),(0,1).22xy7 .求下列函數的全微分；(1) Z=ysin(x+y

8、);(2) u=xeyx+e-z+yy-8 .求曲面Z=arctg上在點1,1,一|處的切平面萬程和法線萬程.x<4)9 .求曲面3x2+y2-Z2=27在點(3,1,1)處的切平面方程與法線方程.10 .在曲面Z=xy上求一點，使這點的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并寫出這切平面方程和法線方程.11 .計算近似值：(1) 1.002X2.0032X3.0043;(2) sin29°xtg46°.12 .設園臺上下底的半徑分別為R=30cm,r=20cm高h=40cm.若R,r,h分別增加3mm,4mm,2mm.求此園臺體積變化的近似值13 .設二元函數f在區

9、域D=a,bxc,d上連續(1)若在intD內有fx三0,試問f在D上有何特性？(2)若在intD內有fx=fy三0,f又怎樣？(3)在的討論中，關于f在D上的連續性假設可否省略？長方形區域可否改為任意區域？22x-y14 .求曲面Z=4y與平面y=4的父線在x=2處的切線與OZ軸的父角.15 .測得一物體的體積v=4.45cm3淇絕對誤差限為0.01cm3,又測得重量W=30.80g,其絕對誤差限為0.018，求由公式d=w算出的比重d的相對誤差限和絕對誤差限v16 .求下列復合函數的偏導數或導數(1)設Z=arctg(xy),y=ex,求;:x;Z一;- y22x2比2一xyx-Z(2)設

10、Z=-e，求xyex(3) 設Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求;(4) 設Z=x2lny,x=u,y=3u-2v,求，；vuFv設u=f(x+y,xy),求Fxxy，卬(6)設u=f,一，求一<yZ)尿17 .求函數u=xy2+z3-xyz在點(1,1,2)處沿方向L(其方向角分別為60,°45°,60°)的方向導數18 .求函數u=xyz在點A(5,1,2)處沿到點B(9,4,14)的方向AB上的方向導數.19 .求函數u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在點A(0,0,0)及點B(5,-3,z)處的梯度以及它們的模320 .設函數u

11、=ln1|淇中r=V(x-a2+(y-02+(zcf求u的梯度；并指出在空間哪些點上成立等式gradu=1.222zxy21設函數u=2-2-一一2，求匕在點(a,b,c)的梯度.cab22.設r=v'r2+y2+z2，試求：(1)gradr;(2)grad1.r23.設u=x3+y3+z33xyz,試問在怎樣的點集上gradu分加?黃足:(1)垂直于Z軸,(2)平行于Z軸恒為零向量.24 .設f(x,y)可微,L是R2上的一個確定向量，倘若處處有fi_(x,y)0,試問此函數f有何特征？25 .求下列函數的高階偏導數：(1) Z=x4+y4-4x2y2,所有二階偏導數；(2) Z=e

12、x(cosy+xsiny),所有二階偏導數；33z:zZ=xln(xy),-2,2；xFy；xZx+y+z(4) u=xyze-p q z二 u一 p - q . r ;x 二 y 二 zZ=f(xy2,x2y),所有二階偏導數；(6)u=f(x2+y2+x2),所有二階偏導數;Z=f(x+y,xy,x),zx,zxx,Zxy.y26.求下列函數在指定點處的泰勒公式：f(x,y)=sin(x2+y2)在點(0,0)(到二階為止);x.(2) f(x,y)=一在點(1,1)(到二階為止);(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在點(0,0);(4) f(x,y)=2x2xyy26x36+5在點

13、(1,-2).27 .求下列函數的極值點：(1) Z=3axyx3_y3(a>0);(2) Z=x2+5y26x+10y+6;Z=e2x(x+y2+2y).28 .求下列函數在指定范圍內的最大值與最小值(1) Z=x2-y2,1x,yx2+y244；,x,y j：x,y x - 0,x y m 2二(2) Z=x2-xy+y2,1x,y|x|+y«1;(3) Z=sinx+singsin(x+y),29 .在已知周長為2P的一切三角形中，求出面積為最大的三角形.30 .在xy平面上求一點，使它到三直線x=0,y=0,及x+2y16=0的距離平方和最小31 .已知平面上n個點的坐

14、標分別是A1x1，y1,A2X2N2，Anxn,yn.試求一點，使它與這n個點距離的平方和最小32 .設u=求Ux+Uy+Uz;(2)XUx+yUx+ZUz;(3)Uxx+Uyy+Uzz.33 .設f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,試按h,k,L的下正整數哥展開f(x+h,y+k,z+L).、考研復習題1 .設f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,證明fx+fy+fz=(x+y+z)2.2 .求函數性.2f(x, y) = x3y 2-2 ,xy0,x2yy2 =0:0在原點的偏導數fx(0,0)與fy(0,0)，并考察f(x,y)在(0,0)的可微3.設 u =x12x1乂22乂2n 1 n 4Xi x2n -4nxn 二證明：= 0;k 1 Xk(2)旬J(n -1)4.設函數f(x,y)具有連續的n階偏導數：試證函數g(t)=f (a+ht,b+kt)的n階導數dng(t) .dtnnLi1h +k ! f(a + ht,b +kt).:x二 y5.設6.設a +x中(x, y,z) =d +z g +yfi(x)(x,y, z) = gi (y