1、數列題目精選精編【典型例題】(一)研究等差等比數列的有關性質1.研究通項的性質例題1.已知數列an滿足ai=1,an=3n'+an(n22)(1)求a2,a3;3n-1an=(2)證明：2解：(1),a1=1,."ra2=3+1=4,a3=3+4=13.n-13n 12(2)證明：由已知an-anA3,故an=(anan)*(anan_2)+(a2-a1)a13n-1-3n-31二an2,所以證得n例題2.數列an1的前n項和記為S,a1=1,an#=2Sn+1(n>1)(I)求an的通項公式；(n)等差數列(bn)的各項為正，其前n項和為Tn,且T3=15,又a1*b

2、,a42b3,a3+b成等比數列，求Tn.解：(I)由an+=2Sn+1可彳|an=2Sn+1(n±2),兩式相減得：an+_an=2an,an+=3an(n22),又 a2 =2S1 +1 =3 , a2 =3a1故an是首項為1,公比為3的等比數列n.1(n)設%n的公比為d,由T3=15得，可得b1+b2+b3=15,可得b2=5故可設b1=5d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,2由題意可得(5d+1)(5+d+9)=(5+3),解得d1=2,d2=10等差數列(bn)的各項為正，d>0d=2風冒2=n22n例題3.已知數列an)的前三項與數列n的前三項對應

3、相同，且a1+2a2+22a3+=8n對任意的nWN*都成立，數列心由一%)是等差數列.求數列an)與&n的通項公式；是否存在kWN”，使得bkakW(0,1)，請說明理由.n 1；an,前n項和的形式,點撥：(1)&+2a2+22a3+.*2n.an=8n左邊相當于是數列»可以聯想到已知&求an的方法，當n之2時，SnSn=an.(2)把bk-ak看作一個函數，利用函數的思想方法來研究bk-ak的取值情況-n解：(1)已知al+2a2+2a3+2an=8n(nuN*)時，al+2a2+22a3+受n/an=8(n-1)(nwn*)n14得，2an=8,求得a

4、n=2,41在中令n=1,可得得ai=8=2,所以an=243(n,*).由題意bi=8,b2=4,4=2,所以b2bi=4,b3-b2=-2,，數列bn4-6的公差為-2-(M)=2,.tu-tn=4+(n-1)M2=2n6,bn=t(b2-t1)(b3-b2)HI(bn-bnj)=(M)+(2)+W+(2n8)=n27n+14(nWN*).(2)bk-ak=k27k+1424”,_72+7當k"時，f(k)=(k-3)124”單調遞增，且"4)=1,一一_2所以k之4時，f(k)=k7k+1424”.,又f(1)=f(2)=f(3)=0,所以，不存在kwN*,使得bka

5、kw(0,1).例題4.設各項均為正數的數列成等比數列，且a1=1,解：依題意得：2bn+1=an+1+an+2an+1=bnbn+1an和bn滿足：an、bn、%+1成等差數列，bn、3n+Vbn+1a2=3,求通項an,bn、.an、bn為正數，代入并同除以b由得an1=bnbn1,an-2=、/bn1bn-2n：H得：2bn1-bn,bn2,bn）為等差數列29a2=b1b2,則b2=-2,.bn'=2(n-1)(,an當n>2時，jvbnbnd2)母1),bnn(n1)又a1=1,當n=1時成立,2,_n(n1)an一2.研究前n項和的性質例題5.已知等比數列an的前n項

6、和為S=a2n+b,且ai=3.（1）求a、b的值及數列an的通項公式；bn（2）設an,求數列bn的前n項和Tn.解：(1)n之2時，an=Sn=2n'2.而爾為等比數列，得ai=21,.a=a,n_1又ai= 2 13n n (n 三 7)Sntn2 -13n 21 (n 7)4,得a=3,從而an=32.又,ai=2a+b=3.b=4.n nbn = =o 9nl(2)an3 2,1Tn(13n-n 1 )2 1 Tn23 , n -1.小山廣n+2n )1111sL2Tn=3(1 5 了 川1n T -) n 1n 2 - 2 ,Tn_j =3(1 23212U31-12bn滿

7、足1例題6.數列%是首項為1000,公比為10的等比數列，數列,1口=1(lga1+lga2+|+lgaJ«乏N*)（1）求數列bn的前n項和的最大值；（2）求數列1bn|的前n項和Sn.解：（1）由題意：an=104,.lgan=4n,.數列lgan是首項為3,公差為一1的等差數列，k(k-1),1n(n-1),7-nlga1lga2.IIIlgak=3k0=3n=2,n22bn-021Sa-S-由A書M0,得6WnW7,.數列bn的前n項和的最大值為2.(2)由(1)當nE7時，bn'°,當n>7時，bn<0,3+711Sn'山b2HIbn=

8、(-)n=-n2n.當nM7時，244當nA7時，13 c,n 21412Snfb.IIIb7%-區-川-bn=2S(b1b2川,bn)=4n例題7.已知遞增的等比數列an滿足32+33+34=28,且33+2是a2,84的等差中項(1)求an的通項公式3n；若bn=3nlog23n,S=b+b2+Hi+bn求使S+n2“+>30成立的n的最小值.解：(1)設等比數列的公比為q(q>1),由aiq+aiq1 2+aiq3=28,aiq+aiq3=2 (aiq2+2),得:1ai=2, q=2 或 ai=32, q= 2(舍)l- 3n=2 2(n 1)n二2512n = N，當 1

9、 <n W9且n = N 時,2(n+2)(n +3)<312,1PTn <2n 5312當n=10時,一 52(n +2)(n +3) =312，即Tn = 一 122n 5312bn=3nlogi3n=-門2n(2)2又2(n 2)(n 3) -312 =2(n5n 6-156) =2(n5n -150) =2(n 15)(n -10),Sn=-(i2+222+323+Tn2n)2n+I-2,-2Sn=-(i22+223+Tn2n+i),，Sn=2+22+23+2nn2n+i=(ni)若Sn+n2n+i>30成立，則2n+i>32,故n>4,，n的最小值

10、為5.例題8.已知數列an的前n項和為Sn,且I,Sn,3n書成等差數列，nWN*,3i=i.函數f(x)=log3x.(I)求數列an的通項公式；bn)-(II)設數列bn滿足(n+3)f(an)+2，記數列bn的前n項和為Tn,試比較52n5工與-I23I2的大小.解：(I)7Snan平成等差數列，2&=%書一當n至2時，2&=%-1.全=3.得：2(&&)=為中一an,3an=an由，an32a2=3,.=3,當n=1時，由得;2s=2ai=a2-1,又ai=1，ain1,an是以1為首項3為公比的等比數列，-an=3.n(II)f(x)=log3x,f(

11、an)=log3an=log33=nT,h111,11、bn(-)n(n3)f(an)2(n1)(n3)2n1n3*當n >10且n u N時,2(n+2)(n+3>312，即 Tn253.研究生成數列的性質例題9.(I)已知數列Q),其中cn=2n+3n,且數列Q書pg為等比數列，求常數P;(II)設&、匕是公比不相等的兩個等比數列，cn=an+bn,證明數列g不是等比數列.解：(I)因為Cn+1pCn是等比數列，故有2(cn+ipcn)=(Cn+2pcn+1)(cnpcn1),將cn=2n+3n代入上式，得2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(

12、2n+1+3n+1)2n+3np(2n-1+3nJ,即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n1+(3-p)3n1,1整理得6(2p)(3p)2n3n=0,解得p=2或p=3.(n)設an、bn的公比分別為p、q,pWq,cn=an+bn.2為證cn不是等比數列只需證c2豐c1c3.2一22一事實上，c2=(a1p+b1q)=a1p+b1q+2a1b1pq,2.,22222.,2.2、c1c3=(a1+b1)(a1p+b1q)=a1p+b1q+a1b1(p+q).由于pwq,p2+q2>2pq,又a1、b1不為零，2因此備k。c3,故cn不是

13、等比數列.例題10.n2(n>4)個正數排成n行n歹U：其中每一行的數成等差數列，每一列的數成13a42二二,a43二:等比數列，并且所有公比相等.已知a24=1,816.求S=a11+a22+a33+ann'解：設數列ak的公差為d,數列aik(i=1,2,3,，n)的公比為q則aik=a11+(k1)d,akk=a11+(k1)dqk1a24=(a11+3d)q1311 a11 = d = q = ±2*鼠=(a11+d)q丁823a43=(a112d)q依題意得：16,解得:又n2個數都是正數，1ka11=d=q=21c11S=丁23-32222312"

14、n-iS=2兩式相減得：12-nTn2n例題11.已知函數f(x)=log3(ax+b)的圖象經過點A(2,1)和B(5,2),記an=3(1)(2)*)nn.求數列an的通項公式；abn/,Tn=-2bn設2，若Tn<m(mwZ),求m的最小值;(3)實數P.11(1)(1)(1求使不等式a1a2對一切nN*均成立的最大解：(1)由題意得1og3(2a+b)=1Iog3(5a+b)=2解得口二一1.f(x)=log3(2x-1)an=3lO3(2nJ=2nTn(2)2Tn(1)得122,_2n-113bn-n,Tn-122,22232n-12n232nzi2n1nn。n:卜1/日22一

15、得In22n-1213工221.2.上.2.況232n-12n122“2n12n3Tn=32n21一產"n-1二工.(工1L-.L)2121222n-22n2n-1c二32n2n32nf(n)=設f(n1)廠,n2n52n12n5f(n)f(n)得二當nt-2n32n2n32n依時,P(3)由題意得F(n)=2(2n3)一22n3,11125_*,nN隨n的增大而減小TnT3又Tn<m(mWZ)恒成立，二mmin111中(1十(1+0；(1111(1-)(1-)(1')a1a2*N恒成立11111(1一)(1一)(1)(1)F(n1)=2n3a1a2anan1F(n)1

16、111、(1)(1)(1).2n1a1a2an2n22(n1)2n1(=二二1,(2n1)(2n3).4(n1)2-(n1)2nm 1'16 < 2 ,二m的最大整數值是 7.即存在最大整數 m=7,使對任意例題13.已知等比數列bn與數列an滿足bn =3an,nW N*.p max =2i3,即 3an 書2an 書-annW N *.:F(n)>0:F(n+1)>F(n),即F(n)是隨n的增大而增大F(1)=2%3,p<2<3F(n)的最小值為3,3（二）證明等差與等比數列1.轉化為等差等比數列.例題12.數列an中，a1=8,a4=2且滿足求數列

17、On的通項公式；設Sn=|aj+|a2|針十|an|,求Sn；1*、設bn=n(12an)(nuN),Tn=匕+b?+lll+bn(n=N),是否存在最大的整數m,使得對任意nWN*,均有Tn>32成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由解：（1）由題意，an也一an*=an4an,二an為等差數列，設公差為d,由題意得2=8+3d=d=-2,an=82（n1）=102n.（2）若10-2n之0則n<5,nE5時,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1a2 ' III ' an8 10-2n2n = 9n -n ,n豈6時，Sn2ala2 ' a5

18、" a6 " a7- an(3)n _ 5n -61_2=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=n-9n409n-n22n-9n40<bn=一(一一)n(12-an)2n(n+1)2nn+1,Tn_11、/1、/111、/二(1)()()(-)(222334m*,、一32對任息n匚N成立，即n-1nnnm>n1)2(n1)n+116對任意nWN成立,的最小值是2,(1)判斷an是何種數列，并給出證明；a1 ，qn=3an = an =a1 +(n1 Jlog3 q °(2)若a8+a3=m,求b1b2111b2o.解：(1)設8的公比為q,.bn=3an

19、,3aia2。= a8 ' a13 = m,所以an是以log3q為公差的等差數列.(2) a8+a3=m,所以由等差數列性質可得a1+a2+a3+20(a1a20)20=10m;b1b2111b20=3(a1a2a20)=310m2.由簡單遞推關系證明等差等比數列例題14.已知數列an和6滿足：ai=1,a?=2,ana0bn=Janan中(n亡N*),且bn是以q為公比的等比數列.2(I)證明：an卡=anq;(II)若Cn=a2n+2a2n,證明：數列cn是等比數列;1111_+_+_+_+|(III)求和：a1a2a3a411+-+_La2nAa2n解法1：(I)證:bn1q由

20、bn,an1an-2anan12an史=anq(n七N*).(II)證：an2a2nj.=a2n苧q2=an/q,-III=aq2n_22a2n-a2n_2q=a2q2n-22n_2-cn二a2n2a2n二aq"Cn)是首項為5,公比為12a2q2n=(a12a2)q2n/=5q2q的等比數列.2n-2(III)解：由(II)得a2n工12.2n=qa112na122n-qa1.工HI，=(1,1川a1a2a2na1a3)(-HI-)a2na2a4a2n;(11111242n2qqq11)-(1-2a2q11I)42nJ2/qq9111+當q=1時,aa2a2n31二2(1彳|-)4

21、2n-2fqq當qfi時,1-Hl-aa2a2n31-q-n3q2n-1二大;2")=彳2n2/2-7；21_q-2q一(q-1)工a1-川a2a2n3n, 2.2n2 q -1J 2n 2, 2二 q -(q -1)q =1,q : 1.解法2:(I)同解法1(I)cn 1a2n 1，2a2 n .2(II)證：Cn - a2nl+2a2n22q a2n12q a2na2n J. ' 2a2n2*=q (n N )又 g =a +2a2=5 ,-cn p2是首項為5,公比為q的等比數列.2n_22n_2(III)由解法1中(II)的類似方法得a2n+a2n=(a1+a2)q

22、一=3q一,11-ma1 a2a a2o_aia2n22.|卜哈皿2n a2n la2na2k,a2k3q3cNk2-4k4=q.a2kJ_a2k2q2,k=1,2j|,n.1 一 一 . a1a2a2n=3 +q二+. +q 2n也2例題15.設數列an的前n項和為Sn，且Sn=(1+九)施n，其中1,0(1)證明：數列an是等比數列；n>2),(2)設數列an的公比q=f。)，數列bn滿足b1=,bn=f(bn_1)(nCN*,求數列bn的通項公式；1(3)設九=1,Cn=an(-1),求數列Cn的刖n項和Tn.bn(1)證明：由Sn=(1+K)->.an=Sn=(1+尢)一九

23、Hn/g22)，ran相減得：an - an ' ' an 1,-解：an, 4-l不”兇，數列an是等比數列12 (n-1) = n 1. . bn bn1 n42 2) n二；是首項為=2,公差為1的等差數列，.1、n1(3)解：尢=1時，an=(一)二Cn=an(1)=12bn二Tn=1+2(1)+3(1)2+川+n(1)n。222-得：1tclTn=21iini2nL2JJ所以:例題16.11Tn=4(1(2)n)2n(2)n.OC的中點,為(Xn,yn) ,E為線段OP的中點.對每一個正整數n,Pn卡為線段EP,卡的中點.令Pn的坐標1an ="yn yn

24、12 .求(1)4包口及%,(nw N*).(3)(1)證明：yn 4=1(n N )4記 bn =y4n* -y4n,(n W N *),證明：1斛：因為 y1=y2=y4=1 , y3= , y5= 2bn是等比數列.3 1,所以得 a=a2=a3=2.4OBC的各個頂點分別為(0,0),(1,0),(0,2),設P為線段BC的中點，P2為線段yn書=yn；yn+,對任意的正整數n有.ynyn1_1-ynyn1yn2=an22恒成立，且(2)證明:(3)證明:a1=2,所以an為常數數列，an=2,(n為正整數)根據yn*=yn+yn,及1%+%+yn忐=an=2,易證得yn+4=1&qu

25、ot;224因為bn+1=y4n8-y4nH4=(1丫4n書)(1一-n-)=bn444又由,“y41b1=y8y4=1-y4=-,4411所以bn是首項為4,公比為4的等比數列.【模擬試題】-、填空題1 .在等差數歹Uan中，已知ai=2,a2+a3=i3,貝Ua4+a5+a6等于=.2 .已知數列的通項an=n+2,則其前n項和Sn=.3 .首項為24的等差數列，從第10項開始為正，則公差d的取值范圍是.4 .在等比數列an中，a3和a13.已知函數f (x)定義在正整數集上，且對于任意的正整數X,都有f(x + 2) =2f(X+1)f(x),且 f(1)=2,f(3)=6,貝u f(2

26、005) =14.三個數a，b，C成等比數列，且a+b+c=m(mA0),則b的取值范圍是 .15.等差數列an中，前n項和為& ,首項a =4,0 =0.(1)若 an +Sn = -10 ,求 A(2)設bn =2%,求使不等式 5+3+川+>>2007的最小正整數 n的值.點撥：在等差數列中 an,Sn,n,d知道其中三個就可以求出另外一個，由已知可以求出首項a1與公差d ,把an,Sn分別用首項a1與公差d ,表示即可.對于求和公式Sn "a1 'an)2 =na1 +n(n T)d采用哪一個都可以,但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個可能更2簡

27、單一些.例如：已知a >0,a10 <0,a9 +a10 >0,判斷S,7,S18,S20的正負.問題2在思考時要注是二次方程x2+kx+5=0的兩個根，則a2%的值為.5 .等差數列an中，ai=1,a3+a5=14,其前n項和Sn=100,則n=.6 .等差數列an的前m項和為30,前2m項的和為100,求它的前3m項的和為A17n45亙7 .已知兩個等差數列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且Bnn+3,b7=_an一若bn為正整數,n的取值個數為。18 .已知數列,an對于彳i意P，q三N，有ap+aq=ap出,若a1-9,貝Ua36=9 .記數列an所有項的和為

28、S(1),第二項及以后各項的和為S(2),第三項及以后各項的和為S(3)，第n項及以后各項的和為S(n),若S(1)=2,S(2)=1，S一鼻制，S(n)2T則an等于319,偶數項之和為290,則其中間項10 .等差數列an共有2n+1項，其中奇數項之和為為.211 .等差數列an中，an#°,若mA1且am一amam由=0,Szm=38,則m的值為.12 .設Sn為等差數列an的前n項和.已知S6=36,S=324,Snq=144(n>6),則n等于意加了絕對值時負項變正時，新的數列首項是多少，一共有多少項16 .等差數列an的前n項和為S,ai=1+V2,S3=9+3&q

29、uot;.(I)求數列an的通項an與前n項和為Sn；hSnbn=_*(II)設n(n=N),求證：數列«中任意不同的三項都不可能成為等比數列17 .在直角坐標平面上有一點列P1(x1,yl)，P2(x2,y2)III，Pn(Xn，yn)|H?對一切正整數n,點Pn位c135y3x于函數y4的圖象上，且Pn的橫坐標構成以2為首項，-1為公差的等差數列Xn.求點!的坐標；設拋物線列C1,C2,C3,，Cn,中的每一條的對稱軸都垂直于X軸，第n條拋物線a的頂點為Pn,且過點Dn(0,n2+1),設與拋物線Cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求：anWSCT,其中a1是SCT中的最大數，-2

30、65<a10<-125,求an的通項公式.+HI +1knkn設 S =x |X= 2xnyn 4!, 1等差數列 an 的任一項18 .已知數列an滿足a1=1,an+=2an+1(n匚N),(1)求數列4的通項公式；(2)若數列an滿足4"4b2,1114bn,=(an+1)bn(nWN)(nN*),證明：匕)是等差數列.1.42n(5n1)2. 28。匕國3. 34. ±5痣5. 106. 2107.8.5;5個S_(A%)n解法一：點撥利用等差數列的求和公式"一2一及等差數列的性質apaq3m“若2m=p+q,m,p,q=N，則2”(a1a13

31、)/c2父13上Ea7Q“3)13一%一2解析：b7=22解法2：點撥利用“若七為等差數列，那么Sn=an+bn”這個結論，根據條件找出an和4的通項.解析：可設A=kn(7n+45),Bn=kn(n+3),則4=AA1=k(14n+38),包k(14738)17bn=k(2n+2),則b7=心7+2)一萬ank(14n38)1212-7由上面的解法2可知bn=k(2n+2)n+1,顯然只需使n+1為正整數即可,故n=1,2,3,5,11,共5個.點評：對等差數列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據具體的情況能夠靈活應用反思：解法2中，若是填空題，比例常數k可以直接設為1.8.4anS(n)S

32、(n1)n_2n1n19 .解：()(f222.(n1)an1=31910 .解：依題意，中間項為an由，于是有Inan+=290解得an書=29.2-c一Oc一-CC一*'cCC11 .解：由題設得amam4am卡2am,而am0,am2,又“S2m-38,38* aGQmf/amQmf22, m=1012 .解：S6+(SnSn上)=6(a1+an)=36+(324144)=216,a-an=36n)=324n =18。*、13 .解：由f(x+2)十f(x)=2f(x+1)知函數f(x)(x仁N)當X從小到大依次取值時對應的一系列函數值組成一個等差數列，f(1),f川H，f(20

33、05)形成一個首項為2,公差為4的等差數列，f(2005)=2+(1003-1)x4=4010.bb1ma=，c=bqbbq=m,.b=0,.q1=-14 .解：設q，則有qqb.1當q a0時,q130：-b：一q,而b>03;m1)mq1-1m<-1當q<0時，bq，即b，而m>0,二b<0,則一mEb<0,一m故b-m，0)-(0F15 .解：(1)由S9=9曲+36d=0,得：d=1a=5n,-,n(n-1)又由anSn=-10,4(n-1)(-1)4n(-1)=-10.2即n2-7n30=0,得至Un=10.(2)由bn=2-1若n<5,則b1地2曲|+bnwb,+b2+|十怎=31,不合題意2(2nM-1)故n>5,b1+b2+bn=31+-()>20072-1即2n立>989,所以n>15使不等式成立的最小正整數n的值為15a1=21,