1、第六章 非線性微分方程和穩定性研究對象二階駐定方程組（自治系統）1 基本概念1）穩定性考慮方程組 （6.1）其中 ，。總假設在上連續，且關于滿足局部李普希茲條件，區域,，。如果對任意給定的，存在（一般與有關），使得當任一滿足時，方程組（6.1）滿足初始條件的解，均有對一切成立，則稱方程組（6.1）的零解為穩定的。如果方程組（6.1）的零解穩定，且存在這樣的，使當時，滿足初始條件的解均有，則稱零解為漸近穩定的。如果漸近穩定，且存在域，當且僅當時滿足初始條件的解均有，則稱域為（漸近）穩定域或吸引域；如果穩定域為全空間，即，則稱零解為全局漸近穩定的或簡稱全局穩定的。當零解不是穩定時，稱它為不穩定的。

2、即就是說：如果對某個給定的，不論怎樣小，總有一個滿足，使得由初始條件所確定的解，至少存在某個使得，則稱方程組（6.1）的零解為不穩定的。注：非零解的穩定性可以通過平移變換后轉化為零解穩定性問題來討論。2）相平面與軌線考慮二階非自治微分方程組 （6.2）它的解在以為坐標的（歐氏）空間中決定了一條曲線，這條曲線稱為積分曲線。如果把時間當作參數，僅考慮為坐標的（歐氏）空間，此空間稱為方程組（6.2）的相平面，若方程組是含三個以上未知函數的，則稱為相空間。在相平面（相空間）中方程組的解所確定的曲線稱為軌線。3）奇點與常點如果方程組（6.2）是駐定方程組（或稱為自治系統），即其右端函數不顯含時間。此時（

3、6.2）式變成 （6.3）滿足方程組的點，即滿足的點，稱為方程組（6.3）的奇點（或平衡點），否則稱為常點。4）周期解、閉軌和極限環平面自治系統（6.3）的周期解在相平面上對應的軌線稱之為閉軌線，簡稱閉軌。若在閉軌的充分小的鄰域中， 除之外，再無其它閉軌，稱為孤立閉軌。如果在孤立閉軌的充分小的鄰域中出發的非閉軌線，當（或）都分別盤旋地趨于閉軌，則稱它為系統（6.3）的極限環。極限環將平面分為兩個區域：內域和外域。當極限環附近的軌線均正向(即時)趨近于它時，稱此極限環為穩定的。如果軌線均負向(即時)趨近于此極限環時，則稱它為不穩定的。當此極限環的一側軌線正向趨近于它，而另一側軌線負向趨近于它時，

4、此極限環稱為半穩定的。5）李雅普諾夫(Liapunov)函數（函數）考慮非線性的自治微分方程組 （6.4）假設在某區域（為正常數）內具有連續一階偏導數。設函數在域上具有連續偏導數，且，）若在上，恒有，則稱函數為常正的； ）若在上，則稱函數為定正的； ）若在上，恒有，則稱函數為常負的； ）若在上，則稱函數為定負的；）若在原點的任一鄰域內既可取正值又可取負值，則稱為變號函數。常正、常負函數統稱為常號函數；定正、定負函數統稱為定號函數。以上定義的函數為李雅普諾夫函數（函數）。6）全導數設函數在原點的鄰域內連續可微，把函數稱為關于系統（6.4）的對時間的全導數，記為，特別地，如果系統已明確（或不易混淆

5、），符號的下標可略去。2 基本理論與基本方法1）平面系統的奇點分類二維線性自治系統的一般形式為 （6.5）它的系數矩陣，其特征方程是。將特征方程改寫為，其中。若，是（6.5）的唯一奇點，稱為初等奇點，時, 稱為高階奇點。我們主要研究初等奇點的性態。定理6.1 對于系統（6.5），當時，是它的唯一初等奇點（簡稱為奇點），為矩陣的不為零的特征根，則可以根據特征根的不同情況將奇點分為以下類型：）若都是實數，且，則當時，為穩定結點；當時，為不穩定結點。）若都是實數，且，則為鞍點。）若，則當時，為穩定奇結點或退化結點，當時，為不穩定奇結點或退化結點。）為一對共軛復根，則當時，為穩定焦點；當時，為不穩定焦

6、點；當時，為中心。注：奇結點（也稱臨界結點）是它周圍的軌線均沿確定的方向趨于（或遠離）它，且不同軌線切向也異。若特征根的初等因子的次數為1，則對應臨界結點，初等因子的次數為2，則對應退化結點。定理6.2 設為方程組 （6.6）的孤立奇點，若，滿足條件 在奇點的鄰域內有連續的一階偏導數； ，。則如果是對應線性系統（6.5）的結點、焦點或鞍點，那么也是非線性系統（6.6）的同類型奇點。2）穩定性定理與方法方法1常系數線性系統穩定性判定一般地，維常系數線性微分方程組 （6.7）其中為階常數矩陣。方程組（6.7）的特征方程為 （6.8）。定理6.3 若特征方程（6.8）的根均具有負實部，則方程組（6.

7、7）的零解是漸近穩定的。若特征方程（6.8）具有正實部的根，則方程組（6.7）的零解是不穩定的。若特征方程（6.8）沒有正實部的根，但有零根或具零實部的根，則方程組（6.7）的零解可能是穩定的也可能是不穩定的，這要看零根或具零實部的根其初等因子的次數是否等于1而定。定理6.4 設給定常系數的次代數方程其中，作行列式，這里。那么，所給代數方程的一切根均有負實部的充分必要條件是下列不等式同時成立：，。注意：這是霍維茲（Hurwitz）定理，用來判別代數方程根的實部是否均為負。方法2 一次（線性）近似系統穩定性判定若非線性微分方程組 （6.9）滿足條件，當時。 顯然是方程組（6.9）的解。方程組（6

8、.9）對應的線性方程組 （6.7）稱為方程組（6.9）的一次近似系統（或線性近似系統）。定理6.5 若特征方程（6.8）沒有零根或零實部的根，則非線性方程組（6.9）的零解的穩定性與其線性近似系統（6.7）的零解的穩定性態一致。這就是說，當特征方程（6.8）的根均具有負實部時方程組（6.9）的零解是漸近穩定的，而當特征方程具有正實部的根時，其零解是不穩定的。方法3 李雅普諾夫第二方法（函數法）不必求出方程組的解，而通過構造一個具有特殊性質的函數（李雅普諾夫函數或函數）及其通過方程組的全導數的性質，來確定方程組解的穩定性。這種方法稱為李雅普諾夫第二方法。以下兩個定理是這個方法的具體實現。定理6.

9、6（李雅普諾夫穩定性定理） 對于微分方程組， （6.4）如果有定正函數，其通過（6.4）的全導數為常負函數或恒等于零，則方程組（6.4）的零解是穩定的； 如果有定正函數，其通過（6.4）的全導數為定負函數，則方程組（6.4）的零解是漸近穩定的；如果存在函數和某非負常數，而通過（6.4）的全導數可以表示為，且當時為定正函數，而當時為常正函數或恒等于零；又在的任意小鄰域內都至少存在某個，使，則方程組（6.4）的零解是不穩定的。 定理6.7 如果存在定正函數，其通過（6.4）的全導數為常負函數，但使得在的點的集合中除零解之外并不包含方程組（6.4）的整條正半軌線，則方程組（6.4）的零解是漸近穩定的。 3）極限環存在性定理定理6.8（龐加萊班狄克生（bendixson）環域定理） 對于二階駐定微分方程組(6.3)，設其右端函數在相平面的某區域內有一階連續偏導數。如果內存在有界的環形閉域，在其內不含有方程組（6.3）的奇點，而（6.3）的經過域上點的解，當（或）時不離開該域，則或者其本身是一個周期解（閉軌線），或者它按正向（或負向）趨近于內的某一周期解（閉軌線）。定理6.9（班狄克生準則）如果于內存在單連通域，在其內函數不變號且在內的任何