1、倒立擺控制系統的設計與仿真分析研究班級 姓名 學號 （完成后刪除所有藍色提示文字，電子版在12月26日前提交郵箱）1. 問題的提出倒立擺控制系統是一個復雜的、不穩定的、非線性系統，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發射中的垂直度控制和衛星飛行中的姿態控制等。考慮倒立擺系統，原理

2、圖如圖1所示。圖1 倒立擺原理假設M = 2千克，m = 0.5千克，l = 1米，控制信號為牽引力u，忽略地面摩擦力，擺軸旋轉的摩擦力，本文對該系統進行建模、控制系統設計以及控制性能進行仿真研究，對熟悉使用現代控制工程的設計方法以及MATLAB的應用具有重要的意義。2. 系統建模對該倒立擺系統，若定義狀態變量為輸出變量為先利用力學知識把倒立擺的模型建立起來。把M = 2kg，m = 0.5kg，l = 1m，代入A、B、C，得3. 控制系統的設計與仿真3.1調節器問題的倒立擺設計與性能研究對該倒立擺系統，若要求閉環極點為采用狀態反饋方案 ，試確定狀態反饋增益矩陣K。 利用已被求出的狀態反饋增

3、益矩陣K，用計算機仿真檢驗該系統的性能。試寫出一個MATLAB程序，以求出該系統對任意初始條件的響應。對一組初始條件 米/秒試求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)對t的響應曲線。驗證該倒立擺系統的可控性已知系統的可控矩陣為，計算Rank（M），若Rank（M）=4，則可以進行極點配置。,在Matlab中得到命令行輸入M=B,A*B,A2*B,A3*B得到容易得到，rank(M)=4，故該系統可控，下面進行極點配置。狀態反饋后的系統可表示為下面在Matlab中運算進行配置K= k1, k2, k3 k4;eigfun=det(lamda*eye(4)-(A-B*K);collect(

4、eigfun)得到Eigfun=lamda4 + (k4/2 - k2/2)*lamda3 + (k3/2 - k1/2 - 49/4)*lamda2 - (49*k4*lamda)/10 - (49*k3)/10根據p= -4+ 4i ,-4 4i,-15, -15,得到目標特征多項式x4 + 38*x3 + 497*x2 + 2760*x + 7200=0在matlab中應用solve('k4/2 - k2/2=38','k3/2 - k1/2 - 49/4=497','-4.9*k4=2760',' - 4.9*k3=7200

5、9;)得到K=-2487 -639 -1469 -563下面驗證該系統的穩定性。經過狀態反饋后，系統的極點被配置為p= -4+ 4i ,-4 4i,-15, -15，該系統是穩定的。 sys_ss=ss(A,B,C,D)step(sys_ss)，得到圖：step響應從階躍響應中可以看出，該系統是很穩定的。如果對小車施加一個1N的階躍力，雖然系統有較大震蕩，但是響應時間小于1s，即可恢復穩定（平衡）狀態。之后小車偏離原來的位置，穩定在-0.7左右的位置，但擺仍然是豎著的（），這是符合常理的。bode(sys_ss)，得到bode圖圖 bode圖從bode圖中可以看出，該系統的帶寬很窄，對輸入有很

6、大的衰減。從上圖可以推斷出，系統在8rad/s左右的性能比較好。下面詳細分析系統對不同初始條件下的響應為了編程的簡便性，不考慮系統對任意輸入信號的響應，只考慮系統對step信號的響應。那么設初始狀態為下面開始編程，編程中用到了簡單的離散的數值分析的編程Matlab源程序如下%compute the solutions of the X vector using numerical anslysis theory.%Use the formula below .%X(t+deltaT)=X(t)+A.X(t)+B.u*deltaT .%in this program dt is fixed to

7、 0.005.syms x1_0 x2_0 x3_0 x4_0A=0 1 0 0;-1231 -320 -735 -282;. 0 0 0 1;1241 320 735 282% the upper is A matrix of the corrected systemB=0;-0.5;0;0.5;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;u=1;Xinitial=x1_0 ;x2_0 ;x3_0 ;x4_0;Xinitial=0 0 0 1'% set the initial states of X to 0 0 0 1' according to the problem

8、givened dt=0.005;Result=zeros(4,1010);% set memory space to store the X vector' value for display the states curve against the time t for i=1:1000 m1=A*Xinitial; m2=B*u; m3=(m1+m2)*dt; X_next=Xinitial+m3; Result(:,i)=X_next;% store the X states in every circle. Xinitial=X_next; %renew the X stat

9、es vectorend值得說明的是，結果被存貯在的矩陣當中。如果想畫出的波形，可以通過以下的matlab源程序>> t=0:0.005:5; >> plot(t,Result(1,1:1001)；xlabel('time(s)')；ylabel('Theta(rad)')；>> plot(t,Result(2,1:1001); xlabel('time(s)')；ylabel('d(Theta)/dt')；>> plot(t,Result(3,1:1001); xlabel(

10、9;time(s)')；ylabel('x')；>> plot(t,Result(4,1:1001); xlabel('time(s)')；ylabel('dx/dt')；圖：Theta(t)的波形圖：的波形圖：x(t)的波形圖：的波形結論：經過校正后的倒立擺性能是穩定的。在，的初始狀態下，系統的4個參數都處于穩定，且都是0，不存在穩態誤差。但是存在過沖（超調），但可以接受。若調整其閉環極點為：情況1：；情況2：試確定在這兩種情況下的狀態反饋增益矩陣K。再求設計出的系統對初始條件仿真該閉環系統，并比較以上幾種系統響應的動態性能

11、。由于“情況1”和“情況2”和上面的過程重復，這里就不詳細描述運算步驟了。情況1Kg = -1258 -320 -220 -234值得一提的是，上面Kg的計算涉及到了近似，不過，這不會顯著改變原設定的參數。下面對情況1進行仿真，在的情況下編程過程在此省略，詳細源程序見附錄圖3.1.7：情況1，Theta(t)的波形圖：情況1，的波形plot(t,Result(3,1:1001); xlabel('time(s)')；ylabel('x')圖：情況1，圖：情況1情況2Ans2= solve('k4/2 - k2/2=24','k3/2 -

12、k1/2 - 49/4=184','-4.9*k4=480',' - 4.9*k3=400')Kg=-474 146 81.6 98 值得一提的是，上面Kg的計算涉及到了近似，不過，這不會顯著改變原設定的參數。下面對情況2進行仿真，在的情況下同樣，編程過程在此省略，詳細源程序見附錄plot(t,Result(1,1:1001),'linewidth',2);xlabel('time(s)');ylabel('Theta(rad)')圖：情況2，plot(t,Result(2,1:1001),'lin

13、ewidth',2);xlabel('time(s)');ylabel('d(Theta)/dt')圖：情況2plot(t,Result(3,1:1001),'linewidth',2); xlabel('time(s)');ylabel('x(m)')，得到圖：情況2plot(t,Result(4,1:1001),'linewidth',2); xlabel('time(s)');ylabel('dx/dt(m/s2)')圖（使用了“EditCopy fig

14、ure命令”）：情況2，分析：總體看來，情況2的表現沒有情況1好。比如只看情況2的最大過沖量是情況1的最大過沖量的10倍。但整體看來，情況1和情況2的表現都不錯。達到穩定的時間都小于0.5s，系統1比系統2稍微快一些。系統1比系統2總體的性能要好。這從系統的極點也可以看出來。情況1；情況2：3.2伺服問題的倒立擺設計與性能研究考慮前述的倒立擺系統。該倒立擺系統希望維持穩定的同時小車要按一定的規律行走。設計一個狀態反饋增益矩陣K，其中已知和積分增益常數。假設該系統的期望閉環極點為。試利用MATLAB確定增益矩陣K和積分增益常數。再求當單位階躍輸入作用于小車位置時的階躍響應曲線，并討論其動態特性。

15、（設計控制系統，仿真系統性能，討論階躍響應的性能指標）4. 倒立擺控制系統的優化設計與性能研究考慮設計以控制系統, 當角 和或角速度 存在干擾時，能保證擺位置垂直，并要求該控制系統在每一個控制過程結束時，電動車返回到參考位置（小車沒有參考輸入信號）。該系統的狀態空間方程為 式中采用狀態反饋方案 試用MATLAB確定狀態反饋增益矩陣 K=k1, k2, k3, k4， 時的性能指標達到極小。式中, 然后求系統在下列初始條件下的響應：畫出的響應曲線。原系統的狀態方程為由于采用狀態反饋，得到下面求K使用matlab中的lqr 函數可以直接求出K% using lqr methodQ=diag(180

16、 1 1 1)R=1;K,P,r=lqr(A,B,Q,R)求出K=-67.5131 -19.4993 -1.0000 -3.1270下面開始進行系統仿真完整的源程序見附錄，下面直接給出仿真結果。圖4.1.1使用LQR圖4.1.2: 使用LQR 使用LQR圖4.1.4使用LQR結論可見使用LQR，可以實現最優控制，4個狀態變量都變成了0。不過可以明顯看出，系統的響應時間太慢，與極點配置的方法相比，采用LQR的調整時間（穩定時間）是之前的大約5倍。這也是采用LQR的缺點。5. 研究結論與體會學了了現代控制工程這一課程，我深深的感覺到了，Modern control 是基于數學微分方程的，而經典的控

17、制理論是基于laplace變換的，最終的目的就是確定合適的控制器的參數、執行系統的參數。其實都可以看成是數學問題。現代控制工程是基于的，這樣可以比較方便的處理MIMO系統，這樣就是經典控制理論相形見絀。其實現代控制論中的極點配置和狀態反饋還是基于經典控制理論基礎的，是經典控制論的拓展。通過老師的教導和我的學習，我學會了full-state feedback control、full-order state observer、optimal control 、roots placement method 等方法。同時我也學會了利用Matlab進行數學運算已經“control system toolbox”、“simulink”的使用。這樣對研究生期間的學習是非常有利的。通過對倒立擺學習，我意識到我對建模方面的不足，接下來，我想加強建模方面的學習，這樣才不會對實際問題無從下手。同時我想通過實際做實驗的方式來驗證理論的正確性和從