1、2003年全國碩士入學統考數學(三)試題及答案一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設 其導函數在x=0處連續，則的取值范圍是.【分析】 當0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導.【詳解】 當時，有 顯然當時，有，即其導函數在x=0處連續.（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 .【分析】 曲線在切點的斜率為0，即，由此可確定切點的坐標應滿足的條件，再根據在切點處縱坐標為零，即可找到與a的關系.【詳解】 由題設，在切點處有 ，有 又在此點y坐標為0，于是有 ,故 （3）設a>0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積分區域為全平面

2、，但只有當時，被積函數才不為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區域內積分即可.【詳解】 = =（4）設n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數，直接通過進行計算并注意利用乘法的結合律即可.【詳解】 由題設，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1.（5）設隨機變量X 和Y的相關系數為0.9, 若，則Y與Z的相關系數為 0.9 .【分析】 利用相關系數的計算公式即可.【詳解】 因為 = =E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有 cov(Y,Z)=（6）設總體X服從參數為2的指數分

3、布，為來自總體X的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂于 .【分析】 本題考查大數定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量，當方差一致有界時，其算術平均值依概率收斂于其數學期望的算術平均值： 【詳解】 這里滿足大數定律的條件，且=，因此根據大數定律有 依概率收斂于二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設f(x)為不恒等于零的奇函數，且存在，則函數(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0.(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. D 【分析】 由題設，

4、可推出f(0)=0 , 再利用在點x=0處的導數定義進行討論即可.【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數知，f(0)=0.于是有 存在，故x=0為可去間斷點.（2）設可微函數f(x,y)在點取得極小值，則下列結論正確的是 (A) 在處的導數等于零. （B）在處的導數大于零.(C) 在處的導數小于零. (D) 在處的導數不存在. A 【分析】 可微必有偏導數存在，再根據取極值的必要條件即可得結論.【詳解】 可微函數f(x,y)在點取得極小值，根據取極值的必要條件知，即在處的導數等于零, 故應選(A).（3）設，則下列命題正確的是(A) 若條件收斂，則與都收斂.(

5、B) 若絕對收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對收斂，則與斂散性都不定. B 【分析】 根據絕對收斂與條件收斂的關系以及收斂級數的運算性質即可找出答案.【詳解】 若絕對收斂，即收斂，當然也有級數收斂，再根據，及收斂級數的運算性質知，與都收斂，故應選(B).（4）設三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. C 【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說明A的秩為2，由此可確定a,b應滿足的條件.【詳解】 根據A與其伴隨矩陣A*秩之間的關系知，秩(A)=2

6、，故有 ，即有或a=b.但當a=b時，顯然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 應選(C).（5）設均為n維向量，下列結論不正確的是(A) 若對于任意一組不全為零的數，都有，則線性無關.(B) 若線性相關，則對于任意一組不全為零的數，都有(C) 線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關. B 【分析】 本題涉及到線性相關、線性無關概念的理解，以及線性相關、線性無關的等價表現形式. 應注意是尋找不正確的命題.【詳解】(A): 若對于任意一組不全為零的數,都有 ，則必線性無關，因為若線性相關，則存在一組不全為零的數,使得 ，矛盾. 可見（A

7、）成立.(B): 若線性相關，則存在一組，而不是對任意一組不全為零的數，都有 (B)不成立.(C) 線性無關,則此向量組的秩為s；反過來，若向量組的秩為s，則線性無關，因此(C)成立.(D) 線性無關,則其任一部分組線性無關，當然其中任意兩個向量線性無關，可見(D)也成立.綜上所述，應選(B).（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：=擲第一次出現正面，=擲第二次出現正面，=正、反面各出現一次，=正面出現兩次，則事件(A) 相互獨立. (B) 相互獨立. (C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. C 【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進行驗算即可，注意應先檢查兩兩獨立，若成立，再檢驗是否相互獨

8、立.【詳解】 因為，且 ，可見有，.故兩兩獨立但不相互獨立；不兩兩獨立更不相互獨立，應選(C).三 、（本題滿分8分）設 試補充定義f(1)使得f(x)在上連續.【分析】 只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可.【詳解】 因為 = = = = =由于f(x)在上連續，因此定義 ，使f(x)在上連續.四 、（本題滿分8分）設f(u,v)具有二階連續偏導數，且滿足，又,求【分析】 本題是典型的復合函數求偏導問題：，直接利用復合函數求偏導公式即可，注意利用【詳解】 ，故 ，所以 =五 、（本題滿分8分）計算二重積分 其中積分區域D=【分析】 從被積函數與積分區域可以看出，應該利用極坐標進行計算

9、.【詳解】 作極坐標變換：，有 =令，則 .記 ，則 = = = =因此 ， 六、（本題滿分9分）求冪級數的和函數f(x)及其極值.【分析】 先通過逐項求導后求和，再積分即可得和函數，注意當x=0時和為1. 求出和函數后，再按通常方法求極值.【詳解】 上式兩邊從0到x積分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一駐點x=0. 由于 ，可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1.七、（本題滿分9分）設F(x)=f(x)g(x), 其中函數f(x),g(x)在內滿足以下條件： ，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) 求出F(x)的表達式.【分析】 F(x)

10、所滿足的微分方程自然應含有其導函數，提示應先對F(x)求導，并將其余部分轉化為用F(x)表示，導出相應的微分方程，然后再求解相應的微分方程.【詳解】 (1) 由 = = =(2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方程為(2) = =將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1.于是 八、（本題滿分8分）設函數f(x)在0，3上連續，在（0，3）內可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使【分析】 根據羅爾定理，只需再證明存在一點c，使得，然后在c,3上應用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于，問題轉化為1介于f(x)的最值之間

11、，最終用介值定理可以達到目的.【詳解】 因為f(x)在0，3上連續，所以f(x)在0，2上連續，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， .故由介值定理知，至少存在一點，使 因為f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上連續，在(c,3)內可導，所以由羅爾定理知，必存在，使九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 其中 試討論和b滿足何種關系時，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系.【分析】方程的個數與未知量的個數相同，問題轉化為系數矩陣行列式是否為零，而系數行列式的計算具有明顯的特征：所有列對應元素相加后相等. 可先將所有列對應

12、元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計算出行列式的值.【詳解】 方程組的系數行列式 =(1) 當時且時，秩(A)=n，方程組僅有零解.(2) 當b=0 時，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設，得原方程組的一個基礎解系為，當時，有，原方程組的系數矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以倍） （將第n行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ， .原方程組的一個基礎解系為 十、（本題滿分13分）設二次型，中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) 求a,b的值；(2

13、) 利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.【分析】 特征值之和為A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構造的矩陣即為所求的正交矩陣.【詳解】 （1）二次型f的矩陣為 設A的特征值為 由題設，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩陣A的特征多項式 ，得A的特征值對于解齊次線性方程組，得其基礎解系 ，對于，解齊次線性方程組，得基礎解系 由于已是正交向量組，為了得到規范正交向量組，只需將單位化，由此得，令矩陣，則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有，且二次型的標準形為 十一、（本題滿分13分）設隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數. 求隨機變量Y=F(X)的分布函數.【分析】 先求出分布函數F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數即可。注意應先確定Y=F(X)的值域范圍，再對y分段討論.【詳解】 易見，當x<1時，F(x)=0; 當x>8 時，F(x)=1.對于，有 設G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數. 顯然，當時，G(y)=0；當時，G(y)=1. 對于，有 = =于是