1、練習題一1、建立優化模型應考慮哪些要素?答：決策變量、目標函數和約束條件.2、討論優化模型最優解的存在性、迭代算法的收斂性及停止準則.答：針對一般優化模型，討論解的可行域，若存在一點，對于 均有則稱為優化模型最優解，最優解存在；迭代算法的收斂性是指迭代所得到的序列 ，滿足，則迭代法收斂；收斂的停止準則有,，,，等等。 練習題二1、某公司看中了例2.1中廠家所擁有的3種資源R1、R2、和R3，欲出價收購(可能用于生產附加值更高的產品）.如果你是該公司的決策者,對這3種資源的收購報價是多少？(該問題稱為例2。1的對偶問題）。解：確定決策變量 對3種資源報價作為本問題的決策變量。確定目標函數 問題的

2、目標很清楚“收購價最小”.確定約束條件 資源的報價至少應該高于原生產產品的利潤,這樣原廠家才可能賣。因此有如下線性規劃問題：*2、研究線性規劃的對偶理論和方法（包括對偶規劃模型形式、對偶理論和對偶單純形法）。答:略.3、用單純形法求解下列線性規劃問題: (1)； （2）解：(1）引入松弛變量x4，x5,x6cj1-11000CB基bx1x2x3x4x5x60x4211-21000x532110100x64-101001cj-zj1-11000因檢驗數20，故確定x2為換入非基變量,以x2的系數列的正分量對應去除常數列，最小比值所在行對應的基變量x4作為換出的基變量。cj1-11000CB基bx

3、1x4x3x4x5x6-1x221121000x51103-1100x64-101001cj-zj20-1100因檢驗數30，故確定x3為換入非基變量，以x3的系數列的正分量對應去除常數列，最小比值所在行對應的基變量x5作為換出的基變量。cj111000CB基bx1x2x5x4x5x61x28/35/3101/32/301x31/31/3011/31/300x611/34/3001/31/31cj-zj7/3032/31/30因檢驗數j>0，表明已求得最優解：，去除添加的松弛變量，原問題的最優解為:。（2）根據題意選取x1，x4,x5，為基變量：cj01100CB基bx1x2x3x4x5

4、0x12121000x42012100x5501101cjzj01100因檢驗數20最小，故確定x2為換入非基變量,以x2的系數列的正分量對應去除常數列，最小比值所在行對應的基變量x4作為換出的基變量。cj01100CB基bx1x2x3x4x50x1610-320-1x22012100x53003-11cjzj00-110因檢驗數3<0最小，故確定x3為換入非基變量，以x1的系數列的正分量對應去除常數列，最小比值所在行對應的基變量x5作為換出的基變量。cj01100CB基bx1x2x3x4x50x1910011-1x240101/32/31x31001-1/31/3cj-zj0002/3

5、1/3因檢驗數j>0，表明已求得最優解:。4、分別用大法、兩階段法和Matlab軟件求解下列線性規劃問題：（1)； （2）解：（1）大M法根據題意約束條件1和2可以合并為1,引入松弛變量x3，x4，構造新問題。cj41M0CB基bx1x2x3x4Mx3331100x431201cjzj43M1M004x1111/31/300x4205/3-1/31cjzj01/3M 4/304x13/5102/51/51x26/5011/53/5cjzj00M-7/51/5因檢驗數j>0，表明已求得最優解:.Matlab調用代碼：f=4；1;A=-9,3；1，2；b=6;3;Aeq=3,1；beq

6、=3；lb=0；0；x，fval = linprog（f,A，b,Aeq,beq，lb)輸出結果:Optimization terminated.x = 0。6000 1.2000fval = 3。6000（2)大M法引入松弛變量x4,x5，x6，x7構造新問題。單純形表計算略；當所有非基變量為負數,人工變量=0.5，所以原問題無可行解.請同學們自己求解。Matlab調用代碼：f=-10;15;-12;A=5，3，1；-5，6,15;2，1，-1;b=9；15；-5;lb=0;0;0;x = linprog(f,A,b，lb）輸出結果：原題無可行解。5、用內點法和Matlab軟件求解下列線性規

7、劃問題： 解:用內點法的過程自己書寫，參考答案：最優解；最優值5 Matlab調用代碼：f=2；1；1；Aeq=1,2，2;2，1，0;beq=6;5；lb=0；0；0；x，fval = linprog(f，,Aeq,beq，lb）輸出結果：Optimization terminated.x = 1.3333 2。3333 0.0000fval = 5.00006、用分支定界法求解下列問題： （1) ； (2）解：（1）調用matlab編譯程序bbmethodf=5； 8;G=1 1;5 9；h=6; 45x,y=bbmethod(f，G,h,，0;0，1;1,1)x = 3 3y = 39最

8、優解3 3；最優值39(2）調用matlab編譯程序bbmethodf=-7； -9;G=-1 3; 7 1；h=6; 35x,y=bbmethod(f，G，h，,，0；0,，1；0，1）x = 5 0y = -35最優解5 0；最優值357、用隱枚舉法和Matlab軟件求解下列問題：(1)；（2）解： 隱枚舉法：（1）將(0,0,0）（0，0，1）(0,1,0)(1，0，0）（0，1，1）（1，0，1）(1,1，0）（1，1，1）分別帶入到約束條件中，可以得到：原問題的最優解是（0，0,1），目標函數最優值2.（2）將(0，0，0，0，0）（0，0，0，0，1)（0,0，0，1,0)（0，0

9、,1，0，0）。 （1，1,1,1，1）分別帶入到約束條件中，可以得到：原問題的最優解是（1,1，0，0，0），目標函數最優值5。Matlab軟件求解：(1)調用代碼：f=4; 3;2； 價值向量fA=2,5，3； -4，-1,3；0,-1，-1; 不等式約束系數矩陣A， 中的分號“；"% 為行分隔符b=4； 3；-1; 不等式約束右端常數向量bx， fval=bintprog(f, A, b， , )；%調用函數bintprog。注意兩個空數組的占位作用。輸出結果 x=001fval=2(2）調用代碼：f=-3; -2；5;2；3; 價值向量fA=1,1,1,2,1; 7，0，3,

10、4,3；11， 6,0,3， 3; 不等式約束系數矩陣A, 中的分號“；"% 為行分隔符b=4; 8；1； 不等式約束右端常數向量bx, fval=bintprog(f, A， b, ， ）；%調用函數bintprog。注意兩個空數組的占位作用。輸出結果 x=11000fval=-5最優值5。8、某地區有A、B、C三個化肥廠，供應本地甲、乙、丙、丁四個產糧區。已知各化肥廠可供應化肥的數量和各產糧區對化肥的需要量，以及各廠到各區每噸化肥的運價如表2-28所示.試制定一個使總運費最少的化肥調撥方案。表2- 1運價/ 產糧 (元/噸) 區化肥廠甲乙丙丁各廠供應量/萬噸A158737A249

11、1078A384293各區需要量/萬噸6633解：設A、B、C三個化肥廠為A1、A2、A3，甲、乙、丙、丁四個產糧區為B1、B2、B3、B4；cij為由Ai運化肥至Bj的運價，單位是元/噸;xij為由Ai運往Bj的化肥數量（i=1，2,3;j=1,2，3，4）單位是噸;z表示總運費，單位為元，依題意問題的數學模型為：該題可以用單純形法或matlab自帶工具箱命令（linprog）求解。 *9、求解下列不平衡運輸問題（各數據表中，方框內的數字為單位價格，框外右側的一列數為各發點的供應量，框底下一行數是各收點的需求量）:（1) 5 1 7 10 要求收點3的需求必須正好滿足。 6 4 6 80 3

12、 2 5 15 75 20 50（2) 5 1 0 20 要求收點1的需求必須由發點4供應。 3 2 4 10 7 5 2 15 9 6 0 15 5 10 15解答略。10、一公司經理要分派4位推銷員去4個地區推銷某種商品.推銷員各有不同的經驗和能力，因而他們在不同地區能獲得的利潤不同,其獲利估計值如表2-29所示。公司經理應怎樣分派才使總利潤最大？表2 Error! Bookmark not defined. 地區推銷員1234135272837228342940335243233424322528解：用求極大值的“匈牙利法”求解。效率矩陣表示為:行約簡MCijM=40 標號列約簡 所畫（

13、)0元素少于n(n4）,未得到最優解，需要繼續變換矩陣（求能覆蓋所有0元素的最少數直線集合）：未被直線覆蓋的最小元素為cij=2，在未被直線覆蓋處減去2，在直線交叉處加上2.標號 得最優解：使總利潤為最大的分配任務方案為：11，24，33，42此時總利潤W=35+40+32+32=139練習題三1、用0。618法求解問題的近似最優解,已知的單谷區間為,要求最后區間精度。答：t=0.8115；最小值0。0886。（調用golds。m函數) 2、求無約束非線性規劃問題min =的最優解解一：由極值存在的必要條件求出穩定點：，則由得,， 再用充分條件進行檢驗:，即為正定矩陣得極小點為，最優值為1.解

14、二：目標函數改寫成 min =易知最優解為(1，0，0），最優值為-1。3、用最速下降法求解無約束非線性規劃問題.其中,給定初始點。解一：目標函數的梯度令搜索方向再從出發，沿方向作一維尋優,令步長變量為,最優步長為，則有故令可得 求出點之后，與上類似地，進行第二次迭代： 令令步長變量為，最優步長為,則有故令可得 此時所達到的精度本題最優解,解二：利用matlab程序求解首先建立目標函數及其梯度函數的M文件function f=fun（x)f=x（1）-x（2)+2x（1）*x(1)+2*x(1)x(2）+x（2)x（2）;function g=gfun（x）g=1+4*x（1）+2x（2），-

15、1+2*x（1） +2* x（2) ；調用grad.m文件x0=0，0;x,val，k=grad（fun，'gfun，x0）結果x= -1.0000 ,1。5000val= 1.2500k=33即迭代33次的到最優解x= -1.0000 ，1。5000;最優值val= -1.2500。4、試用Newton法求解第3題。解一：計算目標函數的梯度和Hesse陣目標函數的梯度,其逆矩陣為計算。本題最優解，解二：除了第3題建立兩個M文件外,還需建立Hesse矩陣的M文件利用matlab程序求解首先建立目標函數及其梯度函數的M文件function f=fun（x）f=x（1）x(2）+2x(1)

16、x（1）+2x(1)x（2)+x(2）x（2)；function g=gfun(x）g=1+4x(1)+2*x（2)，-1+2x(1) +2 x（2） ；function h=hess(x）g=4 2；2 2 ；調用newton。m文件x0=0，0;x,val,k=newton(fun'，gfun,'hess,x0）結果x= 1.0000 ，1.5000val= -1。2500k=15、用FletcherReeves法求解問題其中，要求選取初始點。解一： ，第一次迭代:令，即，第二次迭代:，第三次迭代：(建議同學們自己做下去,注意判別)解二：利用matlab程序求解首先建立目標

17、函數及其梯度函數的M文件function f=fun(x）f=x（1)2+25* x(2）*x（2)；function g=gfun（x）g=2*x（1), 50* x(2) ；調用frcg。m文件x0=2，2;epsilon=1e-6;x,val，k=frcg(fun','gfun，x0， epsilon)結果x = 1。0e006 0。2651， 0.0088val =7。2182e014k = 616、試用外點法（二次罰函數方法）求解非線性規劃問題其中解：設計罰函數 采用Matlab編程計算,結果x=1 0；最優結果為1。（調用waidianfa.m）7、用內點法（內點障

18、礙罰函數法）求解非線性規劃問題:解：容易看出此問題最優解為x=1 0;最優值為8。給出罰函數為 令；從而當時，(建議同學自己編程序計算）8、用乘子法求解下列問題解：建立乘子法的增廣目標函數:令：解上述關于x的二元一次方程組得到穩定點當乘子取2時，或發參數趨于無窮時，得到即最優解。(建議同學自己編程序計算）練習題四1、石油輸送管道鋪設最優方案的選擇問題：考察網絡圖46,設A為出發地，F為目的地，B，C,D，E分別為四個必須建立油泵加壓站的地區。圖中的線段表示管道可鋪設的位置，線段旁的數字表示鋪設這些管線所需的費用。問如何鋪設管道才能使總費用最小？圖4 1解: 第五階段:E1F 4;E2

19、F 3;第四階段:D1E1 -F  7；D2E2F   5；D3E1F   5；第三階段：C1-D1E1 F   12；C2D2E2F   10；C3D2E2F   8;C4-D3E1F   9；第二階段：B1C2D2E2F    13； B2C3D2E2F   15；  第一階段：AB1-C2D2-E2F   17;最優解：AB1C2-D2-E2F

20、0;   最優值：172、 用動態規劃方法求解非線性規劃解:，最優值為9。3、用動態規劃方法求解非線性規劃解：用順序算法階段:分成兩個階段，且階段1 、2 分別對應。決策變量：狀態變量：分別為第j 階段第一、第二約束條件可供分配的右段數值。 由于,可解的，最優值為702。92。4、設四個城市之間的公路網如圖47。兩點連線旁的數字表示兩地間的距離。使用迭代法求各地到城市4的最短路線及相應的最短距離。圖4 2 城市公路網解：城市1到城市4路線-1-34 距離10;城市2到城市4路線2-4 距離8；城市3到城市4路線3-4 距離4.5、某公司打算在3個不同的地區設置4個

21、銷售點，根據市場部門估計，在不同地區設置不同數量的銷售點每月可得到的利潤如表4-19所示。試問在各地區如何設置銷售點可使每月總利潤最大。 表4- 1解:將問題分為3個階段,k=1，2，3；決策變量xk表示分配給第k個地區的銷售點數;狀態變量為sk表示分配給第k個至第3個地區的銷售點總數；狀態轉移方程：sk+1=skxk,其中s1=4;允許決策集合：Dk（sk）=xk0xksk階段指標函數：gk（xk）表示xk個銷售點分配給第k個地區所獲得的利潤;最優指標函數fk（sk)表示將數量為sk的銷售點分配給第k個至第3個地區所得到的最大利潤,動態規劃基本方程為:k=3時，k=2時，k=1時，最優解為：

22、x1*=2，x2=1，x3=1，f1（4）=47，即在第1個地區設置2個銷售點，第2個地區設置1個銷售點，第3個地區設置1個銷售點，每月可獲利潤47。 6、設某廠計劃全年生產某種產品A。其四個季度的訂貨量分別為600公斤,700公斤，500公斤和1200公斤。已知生產產品A的生產費用與產品的平方成正比,系數為0。005。廠內有倉庫可存放產品，存儲費為每公斤每季度1元。求最佳的生產安排使年總成本最小。解：四個季度為四個階段，采用階段編號與季度順序一致。 設 sk 為第k季初的庫存量，則邊界條件為 s1=s5=0 設 xk 為第k季的生產量，設 yk 為第k季的訂貨量；sk ,xk ,yk 都取實

23、數，狀態轉移方程為 sk+1=sk+xk yk 仍采用反向遞推，但注意階段編號是正向的目標函數為：第一步：（第四季度） 總效果 f4（s4,x4)=0.005 x42+s4 由邊界條件有： s5= s4 + x4 y4=0，解得：x4=1200 s4 將x4*代入 f4(s4，x4）得： f4(s4）=0.005（1200 s4)2+s4=7200 11 s4+0.005 s42第二步：（第三、四季度） 總效果 f3（s3，x3)=0.005 x32+s3+ f4（s4） 將 s4= s3 + x3 500 代入 f3(s3,x3） 得:第三步：(第二、三、四季度) 總效果 f2（s2,x2)

24、=0.005 x22+s2+ f3*（s3） 將 s3= s2 + x2 -700 代入 f2(s2，x2) 得：第四步：(第一、二、三、四季度) 總效果 f1（s1，x1)=0。005 x12+s1+ f2*(s2） 將 s2= s1 + x1 600= x1 600 代入 f1（s1，x1） 得:由此回溯：得最優生產庫存方案 x1=600，s2=0； x2*=700，s3*=0； x3*=800,s4*=300； x4*=900。7、某種機器可在高低兩種不同的負荷下進行生產.設機器在高負荷下生產的產量函數為g=8u1，其中u1為投入生產的機器數量，年完好率a=0。7；在低負荷下生產的產量函

25、數為h=5y，其中y為投入生產的機器數量，年完好率為b=0。9。假定開始生產時完好機器的數量s1=1000。試問每年如何安排機器在高、低負荷下的生產，使在5年內生產的產品總產量最高.解：構造這個問題的動態規劃模型：設階段序數k表示年度。狀態變量sk為第k年度初擁有的完好機器數量，同時也是第k1年度末時的完好機器數量。決策變量uk為第k年度中分配高負荷下生產的機器數量，于是skuk為該年度中分配在低負荷下生產的機器數量。這里sk和uk均取連續變量,它們的非整數值可以這樣理解，如sk=0。6，就表示一臺機器在k年度中正常工作時間只占6/10；uk=0。3,就表示一臺機器在該年度只有3/10的時間能

26、在高負荷下工作。狀態轉移方程為：k段允許決策集合為：設為第k年度的產量,則故指標函數為：令最優值函數fk（sk）表示由資源量sk出發，從第k年開始到第5年結束時所生產的產品的總產量最大值.因而有逆推關系式：從第5年度開始,向前逆推計算。當k=5時，有：因f5是u5的線性單調增函數，故得最大解u5*,相應的有：當k=4時,有:故得最大解，u4*=s4，相應的有依此類推,可求得因s1=1000,故：計算結果表明:最優策略為即前兩年應把年初全部完好機器投入低負荷生產,后三年應把年初全部完好機器投入高負荷生產。這樣所得的產量最高，其最高產量為23700臺.在得到整個問題的最優指標函數值和最優策略后，還

27、需反過來確定每年年初的狀態，即從始端向終端遞推計算出每年年初完好機器數.已知s1=1000臺,于是可得：8、有一輛最大貨運量為10t 的卡車，用以裝載3種貨物，每種貨物的單位重量及相應單位價值如表4-20所示.應如何裝載可使總價值最大?表4 Error! Bookmark not defined.貨物編號i123單位重量（t）345單位價值 ci456解：利用動態規劃的逆序解法求此問題. 狀態轉移方程為: 該題是三階段決策過程，故可假想存在第四個階段，而，于是動態規劃的基本方程為：計算最終結果為，最大價值為13 .9、設有 A，B,C 三部機器串聯生產某種產品，由于工藝技術問題，產品常出現次品

28、。統計結果表明，機器 A，B,C產生次品的概率分別為 pA=30， PB=40, PC=20, 而產品必須經過三部機器順序加工才能完成。為了降低產品的次品率，決定撥款 5 萬元進行技術改造，以便最大限度地提高產品的成品率指標.現提出如下四種改進方案：方案1：不撥款，機器保持原狀;方案2：加裝監視設備，每部機器需款 1 萬元;方案3：加裝設備,每部機器需款 2 萬元；方案4：同時加裝監視及控制設備，每部機器需款 3 萬元;采用各方案后，各部機器的次品率如表421。表4 2ABC不撥款3040%20%撥款 1 萬元20%30%10撥款 2 萬元1020%10撥款 3 萬元510%6%問如何配置撥款

29、才能使串聯系統的可靠性最大？解：為三臺機器分配改造撥款，設撥款順序為A, B, C，階段序號反向編號為 k，即第一階段計算給機器 C 撥款的效果。 設 sk 為第 k 階段剩余款，則邊界條件為 s3=5； 設 xk 為第 k 階段的撥款額； 狀態轉移方程為 sk-1=sk-xk; 目標函數為 max R=（1PA)（1PB)（1PC) 仍采用反向遞推第一階段 ：對機器 C 撥款的效果 R1(s1,x1）=d1(s1，x1）´ R0(s0，x0)= d1(s1,x1)x1 s1 0123x1*R1(s1, x1)00.800.810.80。910。920.80。90.91， 20.93

30、0。80。90.90。9430.9440。80.90.90。9430。9450.80。90。90.9430。94第二階段 ：對機器 B， C 撥款的效果 由于機器 A 最多只需 3 萬元，故 s2 ³ 2 遞推公式： R2(s2,x2）=d2(s2,x2）´ R1（s1，x1*） 例：R2（3，2）=d2（3,2）´ R1(1，1）=（1-0。2） ´0。9=0。72 得第二階段最優決策表x1 s1 x1R1（s1， x1)000。8110。921， 20.9330。94430.94530.94x2 s2 0123x2*R2(s2, x2*）20.540

31、.630。6420。6430.5640.630。720.722,30。7240。5640.6580.720。8130。8150。5640.6580.7520。8130。81第三階段 :對機器 A， B， C 撥款的效果 邊界條件:s3 = 5 遞推公式： R3(s3，x3)=d3（s3,x3)´ R2(s2，x2) 例:R3(5,3)=d3(5,3)´ R2(2,2)=(10.05） ´0。64=0.608得第三階段最優決策表x2 s2 x2R2（s2, x2）220。6432,30。72430.81530.81s3 x30123x3*R3（s3， x3*)50.

32、5670.6480。6480。6081，20.648回溯 ：有多組最優解. I：x3=1, x2=3， x1=1， R3=0。8 ´0。9 ´0.9=0.648 II：x3=2, x2=2， x1=1, R3= 0。9´0。8´0。9=0.648III: x3=2, x2=3, x1=0， R3= 0.9´0.9´0.8=0。648練習題五1、考察多目標規劃問題其中，試畫出個目標函數的圖形，并求出，這里是的最優解集.解：2、用線性加權法中的法求解下述多目標規劃問題。解:最優解為；最優解為；利用法得線性方程組：解得唯一加權系數原多目標規

33、劃加權后解得加權后的最優解為:，最優值為1。23123、用線性加權求和法求解下述多目標規劃問題，取。解：將問題轉化為一個新的單目標規劃問題。 約束條件同上，該問題轉化為線性規劃問題，可用單純形法求解，也可用Matlab命令求解（求解過程略）。解得加權后的最優解為：，最優值為-1.4。4、用平方和加權法求解多目標規劃問題： 其中 ，。解:不難看出兩個目標函數下界均為0，得平方和加權法后的新目標規劃問題：利用matlab程序求解首先建立目標函數及其梯度函數的M文件function f=fun（x)f=1/3*x(1）2+2/3 x（2)*x(2）；x,fval=fmincon（f,0 0，1 1；

34、1 1，4；8,，0 0）解得最優解為：,最優值為0。5、用極小極大法和Matlab軟件求解下述多目標規劃問題.解:取評價函數為，再求Matlab軟件求解:編制M文件function f=mnmax(x)f(1)=（x（1)-3)2+x（2)2；f（2）=x（1）2+(x(2）-2）2設初值x0=0;0;調用函數x，fval=fminimax（mnmax，x0,1 1，2）結果:x = 1.30000。7000fval = 3.3800 3.3800可得；對應從而為原問題的解。附習題中用過的Matlab程序1、bbmethodfunction x，y=bbmethod(f,G,h，Geq，he

35、q,lb，ub,x,id，options) 整數線性規劃分支定界法，可求解純整數規劃和混合整數規劃。 y=minf*x s。t。 Gx=h Geqx=heq x為全整數或混合整數列向量 用法 %x，y=bbmethod（f,G,h,Geq,heq，lb，ub，x，id,options） 參數說明 %lb：解的下界列向量（Default:int） %ub:解的上界列向量（Default:int） %x：迭代初值列向量 id：整數變量指標列向量，1-整數，0-實數（Default:1） global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options; if nargin&

36、lt;10,options=optimset(）；options.Display='off； options。LargeScale='off；end if nargin9，id=ones（size(f）)；end if nargin8,x=;end if nargin<7 isempty(ub)，ub=inf*ones（size(f)；end if nargin6 |isempty(lb),lb=zeros（size(f）；end if nargin<5，heq=；end if nargin<4,Geq=；end upper=inf;c=f；A=G； b=h;

37、Aeq=Geq；beq=heq;x0=x；ID=id; ftemp=IntLP（lb（：)，ub(:）)； x=opt；y=upper; %下面是子函數 function ftemp=IntLP(vlb，vub) global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options; x，ftemp，how=linprog（c，A,b,Aeq,beq,vlb，vub，x0,options）; if how =0 return; end; if ftempupper>0.00005 %in order to avoid error return； end; if max

38、(abs（x.*IDround(x.*ID）)<0。00005 if upperftemp0。00005 in order to avoid error opt=x'upper=ftemp; return; else opt=opt；x' return； end; end； notintx=find(abs(xround（x)>=0。00005）； %in order to avoid error intx=fix(x）;tempvlb=vlb；tempvub=vub； if vub(notintx（1，1)，1)>=intx（notintx(1,1),1)+

39、1; tempvlb(notintx（1，1),1)=intx(notintx(1,1),1）+1； ftemp=IntLP(tempvlb,vub）； end； if vlb(notintx(1，1)，1)<=intx（notintx(1,1)，1) tempvub(notintx（1，1）,1)=intx（notintx(1，1),1)； ftemp=IntLP（vlb,tempvub）; end;2、golds.mfunction s，phis，k，G，E=golds（phi，a,b,delta,epsilon)功能: 0.618法精確線搜索%輸入： phi是目標函數, a， b

40、是搜索區間的兩個端點% delta， epsilon分別是自變量和函數值的容許誤差%輸出: s， phis分別是近似極小點和極小值， G是nx4矩陣,% 其第k行分別是a,p，q，b的第k次迭代值ak，pk,qk，bk， E=ds,dphi, 分別是s和phis的誤差限.%t=(sqrt（5)-1)/2； h=ba； phia=feval(phi，a)； phib=feval(phi，b）;p=a+（1-t)h; q=a+t*h; phip=feval(phi,p); phiq=feval(phi,q）;k=1; G（k,:）=a, p, q, b； while（abs（phibphia)ep

41、silon）|（h>delta) if(phipphiq） b=q； phib=phiq； q=p; phiq=phip； h=b-a; p=a+(1-t)*h; phip=feval(phi，p); else a=p； phia=phip; p=q； phip=phiq； h=ba； q=a+t*h； phiq=feval（phi,q）； end k=k+1; G（k,:)=a, p， q， b; endds=abs(b-a)； dphi=abs(phib-phia);if（phip=phiq) s=p； phis=phip;else s=q; phis=phiq;endE=ds,dp

42、hi;3、grad.mfunction x，val，k=grad(fun，gfun,x0) 功能: 用最速下降法求解無約束問題: min f（x）輸入： x0是初始點， fun, gfun分別是目標函數和梯度輸出： x， val分別是近似最優點和最優值， k是迭代次數.maxk=5000； %最大迭代次數rho=0.5;sigma=0.4;k=0； epsilon=1e-5;while（k<maxk) g=feval(gfun,x0)； 計算梯度 d=g； 計算搜索方向 if（norm(d)<epsilon）， break； end m=0； mk=0; while(m<20

43、) %Armijo搜索 if（feval(fun,x0+rhom*d）feval(fun,x0）+sigmarhomg'd) mk=m； break; end m=m+1; end x0=x0+rhomkd; k=k+1；endx=x0；val=feval（fun，x0）；4、newton。mfunction x，val,k=newton(fun，gfun,Hess,x0）功能: 用尼牛頓法求解無約束問題: min f(x)%輸入： x0是初始點, fun， gfun， Hess 分別是求% 目標函數，梯度，Hesse 陣的函數%輸出： x, val分別是近似最優點和最優值， k是迭代次數。maxk=100; 給出最大迭代次數sigma=0.4；k=0; epsilon=1e-5；while(k<maxk） gk=feval(gfun,x0)； %計算梯度 Gk=feval（Hess，x0）; 計算Hesse陣 dk=Gkgk; %解方程組Gkdk=gk， 計算搜索方向 if(norm(gk)<epsilon）, break； end %檢驗終止準則 x0=x0+dk' k=k+1;endx=x0；val=feval（fun，x)；5、frcg.mf