1、橢圓及其標準方程教學設計一、本節課教學內容的本質、地位和作用分析橢圓及其標準方程是人教A版選修1-1第二章第一節第一課時，講解橢圓的定義及其標準方程。本節內容是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有了一定了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上，進一步學習用坐標法研究曲線。 橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎. 因此這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點內容之一.二、學生學情分析該班學生是高二文科生，數學基礎整體較差，雖然在此之前學生已學過坐標法解決幾何問題，學過圓的定義與標準方程，但掌握不夠；從研究圓到研究橢圓，跨度較大，學生思維上存在障礙；在

2、求橢圓標準方程時，會遇到比較復雜的根式化簡問題，而這些在目前初中代數中都沒有詳細介紹，初中代數不能完全滿足學習本節的需要.三、教學目標確定 根據本節內容在教材中的地位和作用及學情分析，特制定以下教學目標：知識與技能目標：掌握隨圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用定義法，待定系統法求橢圓的標準方程.過程與方法目標：通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；通過對橢圓標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標解決幾何問題的能力.情感態度與價值觀目標：通過讓學生大膽探索橢圓的定

3、義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識. 4.教學重點、難點及處理辦法教學重點：橢圓的標準方程；坐標法的基本思想.教學難點：橢圓標準方程的推導與化簡；坐標法的應用.突出重點、突破難點的方法：通過生活中的例子引入課題，讓學生對橢圓的形狀有直觀的認識，激發學習興趣；通過老師在紙板上畫橢圓，學生自己畫橢圓以及老師在電腦上演示橢圓的生成過程，讓學生感受橢圓的生成過程并總結橢圓的定義，從而得到橢圓的概念；采用開放式教學讓學生參與到課堂，通過習題及時鞏固橢圓定義，從而實現了本節課重點的突出、難點的突破.四、教法與學法分析 教學方法：創設情境，引導歸納。學法指導：活動探究，合作

4、交流 本節課的主要內容是橢圓的概念及橢圓標準方程的推導，對橢圓概念的理解和接受是重點，因此我將采用創設情境、引導歸納的方法進行教學.指導學生采用自主體驗、合作交流和探究歸納的學習方法.五、教學過程(一) 創設情景，引出課題向學生展示桌面上的一杯水，然后傾斜水杯；問題 水面的形狀由什么變成了什么？ ppt圖片 槽罐車，豐田汽車標志，紅旗轎車標志，中央電視臺臺標；問題 這些生活中的實物都什么形狀？ppt圖片 太空中行星照片，神州飛船問題 太空中的行星和神州飛船的運行軌道是什么？ (二) 動手實驗，親身體會探究活動一取一條定長的細繩，把它的兩端固定在平面內的同一點F上,用鉛筆尖把繩子拉緊, 使筆尖在

5、平面內慢慢移動,問筆尖畫出的圖形是什么？探究活動二若將細繩兩端分開,并且固定在平面內的F1 、F2兩點.當繩長大于F1 和F2的距離時,用鉛筆尖把繩子拉緊,使筆尖在平面內慢慢移動,問筆尖畫出的圖形又是什么呢?讓學生拿出課前準備好的一段細繩和紙張，兩枚圖釘，按課本上介紹的方法，同桌間相互磋商、動手繪圖，教師巡視，并展示畫的好的學生的橢圓，使學生嘗試到成功的喜悅.幾何畫板演示橢圓的生成過程問題 橢圓的定義是什么？教師引導學生討論，得出“到兩個定點的距離的和等于常數的點的軌跡是橢圓”思考 1. 在紙板上作圖說明了什么？2. 在繩長 (設為 2 a ）不變的條件下，（1）當兩個圖釘重合在一點時，畫出的

6、圖形是什么？（2）改變兩個圖釘之間的距離，畫出的圖形是什么？ （3）當兩個圖釘之間的距離等于繩長時，畫出的圖形是什么？ （4）當兩圖釘固定，繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？能畫出圖形嗎？ 3學生自己概括橢圓定義. 定義 平面內與兩個定點F1 、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.在歸納定義時，再次強調定義要滿足三個條件：平面內（這是大前提）；任意一點到兩個定點的距離的和等于常數；常數大于|F1F2|.練習 定義鞏固（1）已知平面內兩定點B（-3,0），C（3,0）且滿足|AB|+|AC|+|BC|=16，則點A的軌跡

7、是（ ）（A）橢圓 （B）直線 （C）圓 （D）線段（2）已知F1 ，F2 是定點，且|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則點M的軌跡是（ ）（A）橢圓 （B）直線 （C）圓 （D）線段(三) 師生互動，導出方程 給出橢圓的定義后，教師即可指出：由橢圓定義，知道了它的基本幾何特征，這只是一種“定性”的描述，但是對于這種曲線還具有哪些性質，尚需進一步研究. 根據解析幾何的基本思想方法，我們需要利用坐標法先建立橢圓的方程“定量”的描述，然后通過對橢圓的方程的討論，來研究其幾何性質.問題怎樣建立坐標系，才能使求出的橢圓方程最為簡單？通過前面知識的回憶，學生思考、相互交流，很容易選

8、定下列建立坐標系的方案.1. 建系：以兩定點F1 、F2 的連線為 x 軸，以線段 F1 F2 的垂直平分線 為y軸，建立坐標系，如圖12. 設點：設M(x,y)為橢圓上任意一點，|F1F2| = 2c(c>0) ，則有F1（c, 0）、F2(c，0).又設 M與F1 和F2的距離的和等于常數 2a(a>0).3.列出方程到此為止，學生以為橢圓的方程已求出，此時教師可以指出：為了更進一步利用方程探討橢圓的其他性質，需要盡量簡化方程形式，使數量關系更加明朗化.4.化簡方程：學生對含有兩個根式之和的等式進行化簡有一定困難，采用以下方法突破難點：首先讓學生明確，含根號的等式化簡的目的就是

9、要去掉根號，變無理式為有理式；啟發學生，化簡含兩個根式之和的等式，只要將兩個根式分別放在等號兩邊，其中一邊只含一個根式，平方一次后即可轉化為只含一個根式的化簡問題. 教師引導學生化簡，得到，指出：此方程形式還不夠簡捷，還有變形的必要，需再簡化.教師引導學生觀察，當點M運動到橢圓和Y軸上半軸的交點位置時，哪一段長是a, 哪一段長是c, 哪一段長是從而引出b.指出：方程（a>b>0）叫做橢圓的標準方程，此時，橢圓的焦點在x軸上，F1(-c,0)F2(c,0),這里，c2=a2-b2問題 如果焦點F1 、F2 在y軸上，并且點O 與線段F1F2 的中點重合，a、b、c 的意義同上，橢圓的

10、方程形式又如何呢？ 學生互相討論，交流，合情猜想，動手驗證可得 （a>b>0）指出：（a>b>0）叫做橢圓的標準方程，此時，橢圓的焦點在y軸上，F1(0,-c)，F2(0,c),這里，c2=a2-b2練習 大顯身手下列方程哪些表示橢圓？若是橢圓請判定其焦點的位置，并寫出焦點坐標.（1） （2）（3） （4） (四) 初步運用，強化理解例 題 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2,0），（2,0）并且經過點求橢圓的標準方程.例題考察橢圓定義，也可以用待定系數法求解，師生共同完成. (五) 自我評價，成果反饋求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=4,b=1，焦點在x軸上（2）a=4,c=1，焦點在y軸上； （3）b=1,c=，焦點在坐標軸上； 學生分組比賽，每組抽2位同學的作業用幻燈演示，教師訂正. (六) 知識整理，形成系統小結 (由學生歸納，教師完善)定義不同點圖形標準方程焦點坐標相同點a,b,c的關系焦點位置的判斷(七)布置作業，鞏固提高 1.P42 第1、2、7題2.若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍.五、課后反思本節課圍繞“層層設問 自主探索 發現規律 歸納總結”這一主線展開，對教材內容進行優化組合，在教學過程中，學生通過觀看圖片，動手實踐，自己總結出橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規律，而且提升了抽象概