1、選擇題2 2 21整數 x,y,z 滿足 xy+yz+zx=1 ,則(1+x)(1+y)(1+z)可能取到的值為()A. 16900 B. 17900 C. 18900 D .前三個答案都不對2. 在不超過 99 的正整數中選出 50 個不同的正整數，已知這50 個數中任兩個的和都不等于99,也不等于100.這 50 個數的和可能等于()A. 3524 B . 3624 C. 3724D .前三個答案都不對兀23. 已知 x 0,，對任意實數 a,函數 y=cos x- 2acosx+1 的最小值記為 g(a),則當 a 取遍所有實數時,2g(a)的最大值為()A. 1 B. 2 C . 3D

2、 .前三個答案都不對4.已知1020-220是2n的整數倍，則正整數n 的最大值為()A . 21 B . 22 C . 23 D .前三個答案都不對5.在凸四邊形 ABCD 中，BC=4 , / ADC=60 , / BAD=90 ,四邊形 ABCD 的面積等于則 CD 的長(精確到小數點后1 位)為()A. 6.9 B . 7.1 C . 7.3D .前三個答案都不對二.填空題1 16.滿足等式d+y而)2015的整數x的個數是8._ 對于任意實數 x 1,5,|x2+px+q| 2,不超過 Jp2+q2的最大整數是 _2 2 2 2 2 2 2 2 2b c aa c bb a c201

3、520152015 ,9.設 x=,y=,z=，且 x+y+z=1，貝 Ux y z的值為2bc2ac2ba10.設A,A2,.,An都是 9 元集合1,2,3,9的子集，已知|A|為奇數，K i n,| A -Aj|為偶數，K U jbc,求證：這個三角形內接正方形邊長的最小值為acsin Ba csin B求證：X 的軌跡為雙曲線15. 已知ai(i=1,2,3,10)滿足：a1a2. a10=30,a1a2.a1021，求證：Tq，使得ai1 #A nswer#2 2 2 21. 1+x=xy+yz+zx+x=(x+y)(x+z)，同理 1+y=(y+z)(y+x),1+z=(z+x)(

4、z+y)2 2 2 2(1+x)(1+y)(1+z)=(x y)(y z)(z - x)，對照前三個答案，只有A 是一個完全平方數檢驗，不妨取 x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解 x=5,y=-3, z=8.選 A2. 考慮將 1,2,?,99 這 99 個正整數分成如下50 組(1,99),(2,98), ?,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若選出的 50 個不同的正整數中沒有 50，則必有 2 個數位于(1,99),(2,98), ?,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一組，不合題意.所 以這 50 個不同的正整數中必有50 ,而(1,9

5、9),(2,98), ?,(47,53),(48,52),(49,51)中，每組有且只有一個數被選中.因為 50+49=99，所以(49,51)中選 51 ;因為 51+48=99，所以(48,52)中選 52;以此類推,可得 50,51,52,?,98,99 是唯一可能的選法.經檢驗，選50,51,52,?,98,99 滿足題意，此時 50+51 + ?+98+99=3725。故選 D .h(1) = 2-2a,a3. 令 t=cosx，令 h(t)=t2- 2at+1,t 0,1 ,g(a)=h(a) =-a2+1,0 v a作圖象知最大值為1,選 Ah(0) =1,a蘭020202020

6、201010201054324.10-2=2(5-1)=2(5+1)(5-1)=2(5+1)(5+1)(5-1)(555+5+1),4322551555+5+1 是奇數，5-1=4 是2,5+仁(4+1) +1 被 4 除余數為 2，同理5+1 被 4 除余數也是 2,于是 n 的最大值為 24,選 D5. 設四邊形 ABCD 的面積為 S,直線 AC,BD 的夾角為0,貝 U111S= AC?BD?si n0乞(AB ?CD+BC ?AD ) sin00 時，(1+1)x1=(1+1)x(1 *1)(1+1)x,(1+1)i =(1 *1)2015無解xx x x x2015-nn-1x0

7、時,x 為負整數，設 x=-n, (1 + l)x4t=(1-l)4卅=(口)4= 丄丨=+是 n 的單調函xn， n In-1丿V n-1丿數(1+)x十=(1+)2015二 n-仁 2015 = x=-2016。填 1x20157.設a=(a,d),b=(b,c)，二者夾角為0,則所求為： 吐=cos，如圖l|a|b| 丿T TOA OB416 o4100 cos/AOB= COS 0,則a5a6=(a1a?巾4=孚設 q2T =t 0q -125(t1)t=5(t+1+2)5X(2jt】+2)=20, t- t等號成立當且僅1當 t= t=1 = q=2故a5 a6的最小值為2012.

8、(方法一)設 f(x)=mx+nx+t(m 工 0), a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)公比為 q(q0)f(a) = ma +n a+t=aq則f(f(a)二f(aq) =m(aq)2n(aq) t =aq2f (f (f(a) = f (aq2) =m(aq2)2+ n(aq2)+t =aq32 2-并化簡得到：ma(1-q)+n(1-q)=q(1-q),-并化簡得到：maq(1-q)+n( 1-q)=q(1-q)從而 q=1,f(a)=a、亠 亠+f(a) f(f(a) f (f(f(a)他(萬法二)由已知=，假設 f(a)zaa f(a) f (f(a)則f(f(a)f(a

9、)f(f(f(a) f(f(a)f(、B(f(、f(f(、C(f(、則=A( a,f(a),B( f(a),f(f(a),C( f(f(a),f(f(f(a)，f(a) af (f (a)-f (a)kAB=kBc=A,B,C三點共線=一條直線與拋物線交于三個點，矛盾故 f(a) =a13. 證明：設正方形的邊長為 x， ABC 外接圓半徑為 R,當內接正方形如圖所示時bcsinB-捲 花acsin BaC2RabcX1=csin B aa csin Bb2Ra bca十c 2R同理其他情況，內接正方形的邊長分別為abc2Rb acX3=abc2Rc bax1-x2=abc2Ra bcabc2Rbacabc(2Ra - bc)(2 Rb ac)(a-b)(c2R)0=x1x2,a2同理x1 1，