1、第14講 解析幾何問題的題型與方法一、知識整合高考中解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題)，共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數方程和極坐標系中的基礎知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網絡，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點值得強化。1. 能正確導出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發推導出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據已知條件，熟練地選擇

2、恰當的方程形式寫出直線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉化，能利用直線的方程來研究與直線有關的問題了.2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區域，知道線性規劃的意義，知道線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規劃方法在數學方面的應用；會用線性規劃方法解決一些實際問題.3 理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.4掌握圓的標準方程：（r0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求

3、出圓心坐標和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化，能根據條件，用待定系數法求出圓的方程，理解圓的參數方程（為參數），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關系的判定方法.5正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關系及相應的幾何意

4、義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數方程，并掌握它的應用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關系的判定方法.二、近幾年高考試題知識點分析2004年高考，各地試題中解析幾何內容在全卷的平均分值為27.1分，占181；2001年以來，解析幾何內容在全卷的平均分值為29.3分，占19.5因此，占全卷近1/5的分值的解析幾何內容，值得我們在二輪復習中引起足夠的重視高考試題中對解析幾何內容的考查幾乎囊括了該部分的所有內容，對直線、線性規劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等內容都有涉及1選擇、填空題11 大多數選擇、填空題以對

5、基礎知識、基本技能的考查為主，難度以容易題和中檔題為主（1）對直線、圓的基本概念及性質的考查例1 （04江蘇）以點(1，2)為圓心，與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_（2）對圓錐曲線的定義、性質的考查例2（04遼寧）已知點、，動點P滿足. 當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是（A）（B）（C）（D）212 部分小題體現一定的能力要求能力，注意到對學生解題方法的考查例3（04天津文）若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內的部分有交點，則的取值范圍是（A） （B）（C） （D）2解答題解析幾何的解答題主要考查求軌跡方程以及圓錐曲線的性質以中等難度題為主，通常設置兩問，在問題的設置上

6、有一定的梯度，第一問相對比較簡單例4(04江蘇）已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F（-m,0）(m是大于0的常數). （）求橢圓的方程； （）設Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線與y軸交于點M. 若，求直線l的斜率本題第一問求橢圓的方程，是比較容易的，對大多數同學而言，是應該得分的；而第二問，需要進行分類討論，則有一定的難度，得分率不高解：（I）設所求橢圓方程是由已知，得 所以.故所求的橢圓方程是（II）設Q（），直線當由定比分點坐標公式，得.于是 故直線l的斜率是0，.例5（04全國文科）設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：（II）設直線l

7、與y軸的交點為P，且求a的值.解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組 有兩個不同的實數解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 雙曲線的離心率（II）設由于x1，x2都是方程的根，且1a20，例6（04全國文科）給定拋物線C：F是C的焦點，過點F的直線與C相交于A、B兩點.（）設的斜率為1，求夾角的大小；（）設，求在軸上截距的變化范圍.解：（）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為將代入方程，并整理得 設則有 所以夾角的大小為（）由題設 得 即由得， 聯立、解得，依題意有又F（1，0），得直線l方程為 當時，l在方程y軸上的截距為由 可知在4，9上是

8、遞減的， 直線l在y軸上截距的變化范圍為從以上3道題我們不難發現，對解答題而言，橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線都有考查的可能，而且在歷年的高考試題中往往是交替出現的，以江蘇為例，01年考的是拋物線，02年考的是雙曲線，03年考的是求軌跡方程（橢圓），04年考的是橢圓三、熱點分析與2005年高考預測1重視與向量的綜合在04年高考文科12個省市新課程卷中，有6個省市的解析幾何大題與向量綜合，主要涉及到向量的點乘積（以及用向量的點乘積求夾角）和定比分點等，因此，與向量綜合，仍是解析幾何的熱點問題，預計在05年的高考試題中，這一現狀依然會持續下去例7（02年新課程卷）平面直角坐標系中，O為坐標原點

9、，已知兩點A（3，1），B（1，3），若點C滿足，其中a、bR，且ab=1，則點C的軌跡方程為（A）（x1）2（y2）2=5（B）3x2y11=0（C）2xy=0（D）x2y5=0例8（04遼寧）已知點、，動點，則點P的軌跡是（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線 2考查直線與圓錐曲線的位置關系幾率較高在04年的15個省市文科試題（含新、舊課程卷）中，全都“不約而同”地考查了直線和圓錐曲線的位置關系，因此，可以斷言，在05年高考試題中，解析幾何的解答題考查直線與圓錐曲線的位置關系的概率依然會很大3與數列相綜合在04年的高考試題中，上海、湖北、浙江解析幾何大題與數列相綜合，此外，03年的江蘇

10、卷也曾出現過此類試題，所以，在05年的試題中依然會出現類似的問題例9（04年浙江卷）如圖，OBC的在個頂點坐標分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設P為線段BC的中點,P2為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標為(xn,yn), （）求及;（）證明（）若記證明是等比數列.解：()因為，所以，又由題意可知，= 為常數列.()將等式兩邊除以2，得又，（） 又是公比為的等比數列.4與導數相綜合近幾年的新課程卷也十分注意與導數的綜合，如03年的天津文科試題、04年的湖南文理科試題，都分別與向量綜合例10（04年湖南文理科試題）

11、如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。（I）設點P分有向線段所成的比為，證明: （II）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.解：（）依題意，可設直線AB的方程為 代入拋物線方程得 設A、B兩點的坐標分別是 、x2是方程的兩根.所以 由點P（0，m）分有向線段所成的比為，得又點Q是點P關于原點的對稱點，故點Q的坐標是（0，m），從而. 所以 （）由 得點A、B的坐標分別是（6，9）、（4，4）.由 得 所以拋物線 在點A處切線的斜率為設圓C的方程

12、是則解之得 所以圓C的方程是 即 5重視應用在歷年的高考試題中，經常出現解析幾何的應用題，如01年的天津理科試題、03年的上海文理科試題、03年全國文科舊課程卷試題、03年的廣東試題及江蘇的線性規劃題等，都是有關解析幾何的應用題 例11（04年廣東試題）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上)解：如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系

13、.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨響發生在接報中心的西偏北450距中心處.（二）05年高考預測1難度：解析幾何內容是歷年來高考數學試題中能夠拉開成績差距的內容之一，該部分試題往往有一定的難度和區

14、分度，預計這一形式仍將在05年的試題中得到體現此外，從04年分省（市）命題的情況來看，在文科類15份試卷（含文理合用的試卷）中，有9分試卷（占3/5）用解析幾何大題作為最后一道壓軸題，預計這一現狀很有可能在05年試卷中繼續重現2命題內容：從今年各地的試題以及前幾年的試題來看，解答題所考查的內容基本上是橢圓、雙曲線、拋物線交替出現的，所以，今年極有可能考雙曲線的解答題此外，從命題所追求的目標來看，小題所涉及的內容一定會注意到知識的覆蓋，兼顧到對能力的要求3命題的熱點：（1）與其他知識進行綜合，在知識網絡的交匯處設計試題（如與向量綜合，與數列綜合、與函數、導數及不等式綜合等）；（2）直線與圓錐曲線

15、的位置關系，由于該部分內容體現解析幾何的基本思想方法用代數的手段研究幾何問題，因此該部分內容一直是考試的熱點，相信，在05年的考試中將繼續體現；（3）求軌跡方程（4）應用題四、二輪復習建議1根據學生的實際，有針對性地進行復習，提高復習的有效性由于解析幾何通常有23小題和1大題，約占28分左右，而小題以考查基礎為主、解答題的第一問也較容易，因此，對于全市的所有不同類型的學校，都要做好該專題的復習，千萬不能認為該部分內容較難而放棄對該部分內容的專題復習，并且根據生源狀況有針對性地進行復習，提高復習的有效性2重視通性通法，加強解題指導，提高解題能力在二輪復習中，不能僅僅復習概念和性質，還應該以典型的

16、例題和習題（可以選用04年的各地高考試題和近兩年的各地高考模擬試題）為載體，在二輪復習中強化各類問題的常規解法，使學生形成解決各種類型問題的操作范式數學學習是學生自主學習的過程，解題能力只有通過學生的自主探究才能掌握所以，在二輪復習中，教師的作用是對學生的解題方法進行引導、點撥和點評，只有這樣，才能夠實施有效復習3注意強化思維的嚴謹性，力求規范解題，盡可能少丟分在解解析幾何的大題時，有不少學生常出現因解題不夠規范而丟分的現象，因此，要通過平時的講評對易出現錯誤的相關步驟作必要的強調，減少或避免無畏的丟分例14（04全國文科）設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.（I）求雙曲線C的離心率e的取值

17、范圍：（II）設直線l與y軸的交點為P，且求a的值.解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組 有兩個不同的實數解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 雙曲線的離心率還有，在設直線方程為點斜式時，就應該注意到直線斜率不存在的情形；又如，在求軌跡方程時，還要注意到純粹性和完備性等五、參考例題例1、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實數m的取值范圍。解：直線mx+y+2=0過一定點C(0, -2)，直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, -2)的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在ABC的內部，設BC、CA這兩

18、條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應滿足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) -m或-m 即m或m說明：此例是典型的運用數形結合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應為傾角的正切，而當傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內，角的正切函數都是單調遞增的，因此當直線在ACB內部變化時，k應大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。例2、已知x、y滿足約束條件 x1， x-3y-4， 3x+5y30，求目標函數z=2x-y的最

19、大值和最小值.解：根據x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.作直線：2x-y=0，再作一組平行于的直線：2x-y=t，tR.可知，當在的右下方時，直線上的點（x，y）滿足2x-y0，即t0，而且直線往右平移時，t隨之增大.當直線平移至的位置時，直線經過可行域上的點B，此時所對應的t最大；當在的左上方時，直線上的點（x，y）滿足2x-y0，即t0，而且直線往左平移時，t隨之減小.當直線平移至的位置時，直線經過可行域上的點C，此時所對應的t最小. x-3y+4=0， 由 解得點B的坐標為（5，3）； 3x+5y-30=0， x=1， 由 解得點C的坐標為（1，）. 3x+5y-30=0，所以，=2×5-3