1、Petri網的一類禁止狀態問題的混合型監控器算法設計*國家自然科學基金(60503027),福建省自然科學基金計劃資助項目(A0710010)和福建省青年人才項目(2006F3087)資助羅繼亮(華僑大學信息學院, 泉州 362021， E-mail: ljlng77)摘要：針對廣義互斥約束下Petri網的不可控影響子網為狀態機的一類禁止狀態問題，給出了觀測器的設計方法，并基于觀測器得到了求解最大允許控制策略的算法。利用觀測器將廣義互斥約束簡化為單禁止庫所約束，并將存在不可控變遷的問題簡化為相當于變遷全部可控的問題，這有效地解決了不可控變遷帶來的計算復雜性問題。最后，利用一個地鐵交通調度示例驗

2、證和說明該監控器設計方法。關鍵詞：Petri網，離散事件系統，監控，禁止狀態，混合型監控器Combined Supervisor Synthesis for a Class of Forbidden State Problems in Petri NetsLUO Ji-liang(Huaqiao University, Quanzhou, 362021, P. R. China. Email:ljlng77)Abstract: A class of forbidden state problems in which the influence uncontrollable subnets ar

3、e state machines for the given general mutual exclusion constraint (GMEC) on plant Petri nets is addressed. A method of designing the observers is proposed, and an algorithm of synthesizing the optimal supervisors is obtained based on the observers. It makes it possible to transform a GMEC with mult

4、i forbidden places into that with only one forbidden place and to reduce the control problem with uncontrolled transitions into that without any uncontrolled transition. The computational complexity of the supervisor synthesis is then efficiently reduced. A metro line supervisory example illustrates

5、 the theoretic results.Keywords: Petri nets, Discrete Event System, Supervisory Control, Forbidden States, Combined Supervisor1.引言為了描述離散事件系統中多進程共享資源有限而導致的沖突問題，文獻1以Petri網為模型引入了一類稱為廣義互斥約束的禁止狀態控制規范。需要指出的是，當存在不可控變遷時，需要進行多步的可達性分析，即要列舉長度為的變遷多重集合序列，文獻2指出并發引起的變遷序列的交錯將導致系統的狀態空間爆炸，因此存在不可控變遷的禁止狀態問題一直是離散事件系統監控的

6、難點。從監控器的實現形式的角度，目前為止已經形成了三種類型的監控器：第一類是結構型監控器，通過在對象網內添加庫所來禁止某些可控變遷的激發，從而避免系統演化到禁止狀態3-4；第二類是邏輯型監控器，以受控Petri網為模型，監控器是狀態的函數，它實時地為各控制庫所的標識賦值，從而禁止某些可控變遷的激發5-7；第三類是混合型監控器，以受控Petri網為模型，首先設計觀測器庫所，其次根據觀測器庫所的標識計算各控制庫所標識的賦值函數8-10。文獻11指出與邏輯型監控器相比結構型監控器具有下列優點：在線計算迅速，采用相同的規則構建的監控器子網和對象網有利于采用統一的Petri算法實現。但是在某些情況下不存

7、在最優的結構型監控器12。文獻8指出，混合型監控器在設計和計算上具有結構型觀測器的優點，而在監控器的給出形式上具有邏輯型監控器的優點。本文給出了一類滿足下列條件的禁止狀態問題的最優混合型監控器的設計方法：1）控制規范為廣義互斥約束；2）不可控影響子網為狀態機。根據狀態機的特性，我們設計了稱為觀測器的不影響對象網演變的庫所，它具有兩個性質：一是其標識不大于某一上界是判定當前標識為允許標識的充要條件；二是其輸入變遷均為可控變遷。第一條性質將多禁止庫所的約束簡化為單禁止庫所的約束；第二條性質則使得我們在設計監控器時不必考慮不可控變遷。因此利用觀測器就可以將原來存在不可控變遷的監控問題簡化為相當于變遷

8、全部可控的監控問題。最后我們給出了利用觀測器設計最優監控器的算法。需要指出的是，本文對文獻10作了如下拓展：1）將控制規范從兩個禁止庫所的特殊約束推廣到一般的廣義互斥約束；2）將禁止狀態問題從要求整個對象網為狀態機推廣到僅要求不可控影響子網為狀態機；3）大量地減小了觀測器的個數，文獻10要求一個禁止庫所對應一個觀測器，而本文僅要求為一個廣義互斥約束設計一個觀測器。2 基本概念受控Petri網是一個五元組，記為， P是狀態庫所集；T是變遷集；是一個變遷和庫所或庫所和變遷組成的二元組的集合； C是控制庫所集；是控制庫所和變遷組成的二元組的集合。可控變遷集表示為，不可控變遷的集合表示為。一個狀態庫所

9、p的輸入變遷集和輸出變遷集分別表示為和，一個變遷t的輸入和輸出庫所集分別表示為和。標識是托肯在狀態庫所中的一個分布，表示為一個函數（列向量），其中第i維上的分量，表示狀態庫所含有的托肯數，。控制是托肯在控制庫所中的一個分布，表示為一個函數（列向量），其中第i維上的分量，表示控制庫所含有的托肯數，。，。一個受控Petri網也可以表示為一個有向圖，其中不可控變遷、可控變遷、庫所、控制庫所和托肯分別表示為杠、圓圈、方框和圓點。如果，那么t在標識m下是狀態使能的。不可控變遷都是控制使能的。給定一個可控變遷t，如果它的輸入控制庫所在u下被標識，那么它在控制u下是控制使能的。在當前標識和控制下，如果一個變

10、遷既是狀態使能的又是控制使能的，那么它是使能的。在受控Petri網內，只有使能的變遷可以激發，并且一個變遷激發后將從它的每個輸入狀態庫所中去掉一個托肯，同時在它的每個輸出庫所中添加一個托肯，但并不改變它的輸入控制庫所內的托肯。控制庫所的托肯是由外部添加的，也由外部剔除的。本文中Petri網的演變是基于并發的。一個變遷的多重集合表示為一個函數（列向量），其第i維上的分量表示相應的變遷在該多重集合中出現的次數，。在標識m和控制u下，的變遷能夠同時激發記做；激發將導致標識演變為記做。表示在控制u下從m開始連續激發不多于k個變遷多重集合到達的標識的集合，k為非負整數。也稱為在u下從m開始k步可達的標識

11、的集合。指系統從m開始k步不可控可達的標識的集合。指系統從m不可控可達的標識的集合。如果，那么對于任意自然數k, 。定義113：給定一個偏序集，如果，那么是X的下向集。為X的下向集的集合。狀態反饋控制策略是從標識集到控制集合的全部下向集的集合的映射，記做，其中表示系統的所有標識的集合，表示全體控制的集合。本文將沿用文獻14中關于允許性的偏序關系：，那么；如果，并且，那么。令k為任意自然數，表示在U下從m開始k步可達的標識的集合。如果，那么對于任意自然數k, 16。廣義互斥約束是一個二元組，其中是狀態庫所的權值函數（向量），是標識加權和的上界。禁止庫所集表示為。禁止標識集表示為。合法標識集表示為

12、。允許標識集是無法不可控地到達任意禁止標識的標識的集合，表示為。為了敘述方便，本文考慮的控制規范默認為上述定義的廣義互斥約束。如果，那么u是m的一個允許控制。如果u是m的一個允許控制，并且，那么u是m的一個最大允許的控制。如果，那么U是m的一個允許的狀態反饋控制策略。如果U是m的一個允許狀態反饋控制策略，并且，那么U是m的一個最大允許的狀態反饋控制策略。引理114 ：給定Petri網系統和廣義互斥約束，當且僅當時，存在最大允許的禁止狀態監控器。從到的路徑是一個庫所的序列，其中：并且，：。我們稱是的一條路徑。如果每相鄰的兩個庫所之間都有一個不可控變遷從前一個庫所連向后一個庫所，那么該路徑叫做不可

13、控路徑。庫所p的影響域是p的全部不可控路徑組成的集合。p的不可控影響子網為其全部不可控路徑組成的子網。在設計廣義互斥約束的狀態反饋的監控器時，只需考慮禁止庫所的不可控影響子網。3 不可控影響子網為狀態機的Petri網上的可達性分析允許標識的判據是解決禁止狀態控制問題的關鍵，它可以通過對Petri網的可達性分析得到。本節將給出可以應用于可達性分析的網性質，從而為監控器綜合奠定基礎。引理2： 給定一個Petri網N，設它的一個庫所p的不可控影響子網是狀態機，如果庫所在p的不可控影響子網內，那么中的一個托肯可以導致p不可控地得到的托肯的最大個數是1。證明：根據不可控影響子網的定義，內任何變遷都無法導

14、致p不可控得到的托肯。因為在p的不可控影響子網，所以必然有一條不可控路徑是從到p的，我們設該路徑為，因為是狀態機，所以連接內相鄰的庫所的不可控變遷均只有一個輸入庫所和一個輸出庫所，所以中的一個托肯可以使得中的變遷組成的序列激發，從而導致p得到1個托肯。因為狀態機上的變遷均只有一個輸入和輸出庫所，且弧上的權值都是1，因此由中的1個托肯引起的任意變遷序列的激發不會使得不可控影響子網內增加新的托肯。縱上所述，中的一個托肯可以導致p不可控地得到的托肯的最大個數是1。 ¢引理3： 給定一個Petri網N，設其中和分別對應的不可控影響子網和均為狀態機，如果一個庫所同時包含在和各自的不可控影響子網

15、內，那么中的一個托肯無法導致和同時被標識。證明：因為狀態機上的變遷均只有一個輸入和輸出庫所，且弧上的權值都是1，因此由中的1個托肯引起的任意變遷序列的激發不會使得狀態機中增加新的托肯。因此根據引理2，中的一個托肯只能保證和中的一個同時被標識。 ¢定義2： 給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，庫所關系函數（行列矩陣）是從到非負整數集合的映射，記做，定義如下：其中是禁止庫所集，P為Petri網的庫所集。 定義3： 給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，危險權值函數（維向量）是從庫所集到非負整數的映射，記做，

16、定義如下：其中是禁止庫所集，P為Petri網的庫所集，R是庫所關系函數。定理1： 給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，那么下式成立：其中是危險權值函數，是Petri網的狀態空間，是從m不可控可達的全部標識的集合。證明：根據引理2和定義2可知，庫所關系函數表示中的一個托肯將不可控地導致的最大增量。因此根據引理3和定義3可知，危險權值函數表示p中的一個托肯將不可控地導致加權標識和的最大增量。因此在中標識加權和的最大值等于。 ¢注釋1： 在從任意標識m不可控可達的標識集合中，定理1給出了標識加權和的最大值，記做，顯然如果，那么當前標識m是允許標識。

17、3 觀測器本節將利用上節中給出的網性質在對象網中添加觀測器，從而將Petri網禁止標識可達性分析計算融合為網結構。定義4：給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，變遷的增益函數（維向量）是從變遷集到整數集的映射，記做，定義如下： 其中T是Petri網的變遷集，是危險權值函數。定義5：給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，按照下列規則添加到網內的庫所O稱為觀測器：1） 給定一個變遷，如果，添加一條從O到t的有向弧，弧上的權值是；如果，t和O之間無有向弧；如果，添加一條從t到O的有向弧，弧上的權值是。2） ，其中是危險權

18、值函數。下面的定理將給出觀測器的性質，這些性質是本文監控器設計的基礎。定理2：給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，庫所O是觀測器，那么下列結論成立：1） ，當且僅當時，m是允許標識；2） 觀測器的輸入變遷均為可控變遷，即 ；3） 當且僅當時，監控器存在；4） 觀測器不影響對象網中任何變遷的激發。證明：1）給定任意變遷t和任意標識m，如果t的激發導致系統標識從m到，即，那么根據觀測器的定義可知：其中是變遷的增益函數。根據變遷的增益函數的定義可知：根據式和式，可知：其中是危險權值函數。根據式和觀測器的定義可知：根據式可知，當且僅當時，m是允許標識。因此根據

19、式，當且僅當時，m是允許標識。 2） 根據定理1可知，因為，因此下式成立：根據式和式，可知：根據式和式可知：。因此觀測器的輸入變遷只能是可控變遷，即。 3）根據該引理的第1項可知，當且僅當時，初始標識是允許標識。根據引理1可知，當且僅當時，監控器存在。4）假設觀測器將影響對象網的運行，那么存在一個標識，在m下存在一個使能的變遷多重集合，它的激發將導致系統標識變為，且。根據式(8)可知，因為且，所以，而這和假設相矛盾，因此假設是錯誤的，觀測器不會影響對象網的演變。 ¢注釋2：定理2給出了觀測器的性質：第一條給出了允許標識的判據，即當且僅當觀測器的標識不大于k（廣義互斥約束中標識加權和的

20、上界）時，當前標識是允許標識，也就是說，只要保證觀測器的標識不超過k就相當于在對象網上實現了該廣義互斥約束。顯然我們利用觀測器將多禁止庫所廣義互斥約束問題簡化成了單禁止庫所約束問題。第二條說明只有可控變遷的激發才能夠使得觀測器的標識增加。第三條給出了監控器存在的充要條件。第四條說明觀測器并不影響對象網的狀態演變，即觀測器只起到了觀測的作用，而沒有控制的作用。4. 監控器算法 根據觀測器的性質，本節首先給出了監控器存在的充要條件，其次設計了最大允許的狀態反饋監控器算法。給定任意標識m和一個控制u，根據定理2，當且僅當時，u是m的一個允許的控制；也就是說，當且僅當在中觀測器的最大標識不大于k時，那

21、么u是m的一個允許的控制，因此在判斷u是不是m的允許的控制時，我們只需考慮觀測器的輸入變遷，根據定理2可知，因此在計算最大允許狀態反饋控制策略時，我們只需要考慮對象網中可控變遷，這實質上是把存在不可控變遷的問題簡化成了變遷全部可控的問題。定理3：給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，庫所O是觀測器。對于標識和控制u，u是m的一個允許的控制的充要條件是：其中是變遷增益函數，是控制使能的可控變遷集，。證明：根據定理2可知，觀測器的輸入變遷都是可控變遷，及，因此只有可控變遷的激發才可以使得觀測器的標識增加。中的庫所是觀測器的輸入變遷的輸入庫所，根據不可控影響子

22、網的定義，中的庫所都在不可控影響子網內，而不可控影響子網是狀態機，因此如果，那么，t最多可以激發次。根據觀測器的定義，變遷增益函數表示觀測器與變遷之間有向弧上的權值，縱上所述可知：根據式和定理2可知，當且僅當式成立時，中的標識均是允許標識，及當且僅當式成立時，u是m的允許的控制。 ¢給定Petri網和一個廣義互斥約束，設每一個禁止庫所的不可控影響子網是狀態機，下面給出最大允許狀態反饋監控器算法。算法1：最大允許狀態反饋監控器算法輸入：受控Petri網和廣義互斥約束1） 確定每一個禁止庫所的不可控影響子網。2） 如果某個禁止庫所的不可控影響子網不是狀態機，算法退出。3） 計算庫所關系函

23、數，根據庫所關系函數確定危險權值函數。4） 根據危險權值函數計算變遷增益函數，根據變遷增益函數構建觀測器。5） 如果，那么監控器不存在，算法退出；否則執行下一步。6） 那么給定任意可達標識，它的最大允許狀態反饋控制策略U由下式給出：其中是變遷增益函數，是控制使能的可控變遷集，。輸出：狀態反饋控制策略U.注釋3：第14步是離線的，其中第4步（監控器存在性的判斷）的依據是定理2。算法中只有第5步是在線的，它的依據是定理3。一旦得到式(14)，我們就可以利用它來計算任意允許標識的最大允許狀態反饋控制策略。需要指出的是本文給出的最大允許控制策略與文獻5一樣都是不確定性的，即最大允許控制策略給出的是控制

24、的集合，在線控制時可以從該集合中隨機地或利用其它的控制目標來選擇一個允許的控制。4 應用舉例圖1. 一條地鐵線路相鄰幾個區段的Petri網模型文獻15討論了地鐵安全調度的問題，給出了一條地鐵線路交通系統的Petri網模型，如圖1所示。地鐵線路交通系統是由一條地鐵線路和單向行駛的多列車組成的系統，當相鄰后一列車超速或者前一相鄰列車減速（比如故障停車）時，兩相鄰列車就會相撞，從而造成嚴重的安全事故，甚至導致整條地鐵線路交通混亂，經濟損失巨大。安全調度就是通過對各地鐵運行狀態的監控避免列車相撞，基本的安全調度策略是：將一條地鐵線路分為多個區段，限制地鐵線路的每一區段只能出現1列車，從而避免列車相撞。

25、對應于地鐵線路交通系統的Petri網模型，安全調度問題可以描述為Petri網標識的線性不等式約束。圖1的實線部分是一條地鐵線路4個相鄰區段的Petri網模型，它們分別是地鐵線路的第k-2、k-1、k和k+1區段，其中每一個區段用其對應一列庫所來描述：區段k-2對應的庫所是、和；區段k-1對應的庫所是、和；區段k是一個車站，其對應的庫所是和；區段k+1對應的庫所是和。網內的1個托肯表示1列車。所有的庫所排列成4行， 每行庫所代表了列車在區段內的行車模式，第一行庫所的行車模式：在區段的起點啟動，在區段的終點停止；第二行庫所的行車模式：從區段的起點啟動，然后勻速駛過該區段；第三行庫所的行車模式：從區

26、段起始點開始一直勻速行駛，最后停止在該區段終點；第四行庫所的行車模式：列車勻速駛過整個區段。例如中有一個托肯的意義是：一列車在k-2區段內行駛，它從起點開始勻速行駛，最后停在終點。變遷的激發具有兩個含義：1）列車離開其輸入庫所對應的區段，并駛入其輸出庫所對應的區段；2）列車的行車模式切換為該變遷的輸出庫所對應的行駛模式。網內存在不可控變遷，例如中含有一個托肯，那么1列車按照第二行庫所對應的行車模式在區段k-2（對應于）內行駛，它在區段終點時速度不為0，它進入k-1區段后起始速度不為0，因此中的托肯只能進入或，即導致或激發，我們可以禁止其在k-1區段終點的速度不為0，因此是可控的；而我們不能禁止

27、其在k-1區段終點的速度為0，因此是不可控的。地鐵安全調度是要求地鐵線路的每個區段最多出現1列車，其對應的Petri網控制目標是一組廣義互斥約束：要求每列庫所的標識之和不超過1。下面以k列庫所（車站）對應的安全調度問題為例給出安全調度的控制策略：為了避免車站發生列車相撞，需要確保網的標識滿足約束，即要求車站最多出現1列車。根據算法1計算最大允許的控制策略：1）確定庫所和的不可控影響子網和，僅包括庫所，包括庫所、和與它們相連的不可控變遷，顯然和均為狀態機，因此可以采用算法1來設計控制策略；2）根據定義2計算庫所關系函數：如果，那么，否則；如果i等于6、8或10時，否則。3）根據定義3利用庫所關系

28、函數給出危險權值函數：如果i等于6、8、9或10時，否則。根據危險權值函數計算變遷有效增益函數4）根據定義5，利用危險權值函數設計觀測器，如圖1中虛線部分所示。5），因此監控器存在。6），。根據式(14)給出最大允許的控制策略：。顯然。文獻15在解決該監控問題時，需要在線地分析不可控影響子網內每個庫所狀態和每個變遷的狀態使能情況，然后計算最大允許控制策略。而且文獻15也指出其給出的控制器的在線計算的復雜性隨網規模呈指數級地增加。在這個例子中，利用觀測器我們將多禁止庫所廣義互斥約束簡化為不必考慮不可控變遷的單禁止庫所廣義互斥約束，從而徹底解決了不可控變遷帶來的“狀態空間爆炸”問題。因此無論網規模

29、如何增加，我們都只需在線求解一個不必考慮不可控變遷的單禁止庫所約束。5 結論本文給出了不影響對象網運行的觀測器的設計方法，從兩個方面對原來控制問題進行了簡化：一是將多禁止庫所的廣義互斥約束簡化為單禁止庫所的廣義互斥約束，這樣在監控器綜合時就從根本上避免了前向路徑問題14；二是將存在可控變遷的問題簡化為相當于變遷全部可控的問題。這樣利用觀測器技術就把原來復雜的控制問題有效地簡化為相對簡單的控制問題。參考文獻1 A. Giua, F. DiCesare, and M. Silva, Generalized mutual exclusion constraints on nets with unco

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38、tri 網理論與應用等研究. 電話 E-mail: ljlng77, jlluo. (LUO Ji-Liang，Male, He was born in 1977. Received his Ph. D. degree in Department of Control Science and Engineering from Zhejiang University in 2006. He is currently a lecturer at Huaqiao University. His research interests include discrete ev

39、ent systems supervisory and Petri net theory and application. Phone: 86 E-mail: ljlng77, jlluo.)文章背景由計算機控制的很多大型對象都可以描述為離散事件系統, 例如柔性制造系統、網絡通信系統、智能交通系統等等，甚至計算機體系本身就是一個典型的離散事件系統。由于資源有限，在離散事件系統中存在禁止狀態問題，例如鐵路交通系統中兩列火車的沖撞、數據通信系統中緩存有限導致數據包的丟失、柔性制造系統中空間有限導致裝有工件的托盤沖撞、柔性制造系統中自動導航小車在通過共用區域時的沖撞等等

40、。為了系統的安全運行，禁止狀態問題是一類急待解決的問題。由于圖形化和并行的優點，Petri已經成為離散事件系統主流的建模工具。本文是利用Petri網為離散事件系統的模型，研究了一類禁止狀態問題，在分析網結構的基礎上，得到了觀測器設計方法，并進一步利用觀測器設計的監控器的設計算法。Research BackgroundThe supervisory control theory was introduced in as a conceptual framework for studying the supervision of discrete event systems (DESs). Its

41、 objective is to synthesize a supervisor blocking some events to realize the given specified controlled behavior of the controlled system. Petri nets are a common formalism for the supervisor synthesis for DESs. And Petri nets have been successfully proposed as modeling formalism for DESs control as

42、 an alternative to controlled automata. The generalized mutual exclusion constraint (GMEC) is introduced in to express a set of forbidden states for a Petri net in which conflicts caused by restricted resource occur, such as the collisions of the trains in metro lines, the collisions of the pallets

43、in a manufacturing systems, resource conflicts, deadlocks, sequencing specification, and buffer overflow and operation rules in manufacturing systems.In this paper, we study a class of Petri net control problems to enforce a conjunction of GMECs on State Machines with uncontrollable transitions, and

44、 propose a method to design the optimal combined supervisor. For this kind of problems, there have been methods to design the structure supervisor and the mapping supervisor. For Petri nets with uncontrollable transitions, there not always is the optimal structural supervisor, and the computation co

45、mplexity of mapping supervisors is high and it is difficult to analyze the closed systems under mapping supervisors utilizing Petri net theory. For this class of control problems, the optimal combined supervisor synthesis method is proposed. The observer net is designed, and then, the optimal control policy is calculated based