1、第一講 極限、無窮小與連續性 一、知識網絡圖 二、重點考核點 這部分的重點是： 掌握求極限的各種方法 掌握無窮小階的比較及確定無窮小階的方法判斷函數是否連續及確定間斷點的類型（本質上是求極限）復合函數、分段函數及函數記號的運算1 極限的重要性質 1不等式性質 設，且AB，則存在自然數N，使得當nN時有xnyn 設，且存在自然數N，當nN時有xnyn，則AB 作為上述性質的推論，有如下的保號性質：設，且A0，則存在自然數N，使得當nN時有xn0設，且存在自然數N，當nN時有xn0，則A0 對各種函數極限有類似的性質例如：設，且AB，則存在0，使得當有f（x）g（x）設，且存在0，使得當0xx0時

2、f（x）g（x），則AB 2有界或局部有界性性質 設，則數列xn有界，即存在M0，使得xnM（n = 1，2，3，） 設則函數f（x）在x = x0的某空心鄰域中有界，即存在0和M0，使得當0xx0時有f（x）M對其他類型的函數極限也有類似的結論2 求極限的方法 1極限的四則運算法則及其推廣 設，則 只要設存在或是無窮大量，上面的四則運算法則可以推廣到除“”，“”，“0”，“”四種未定式以外的各種情形即： 1設，則.（）又B0，則2設，當xx0時局部有界，（即，使得時），則 設，當xx0時g（x）局部有正下界，（即$0，b0使得0x x0時g（x）b0），則 3設，則，又$0使得0x x0時f

3、（x）g（x）0，則 4設，xx0時g（x）局部有界，則（無窮小量與有界變量之積為無窮小） 2冪指函數的極限及其推廣 設 只要設存在或是無窮大量,上面的結果可以推廣到除“1”，“00”及“0”三種未定式以外的各種情形這是因為僅在這三個情況下是“0”型未定式 1設 = 0（0x時f（x）0），則 2設 = A0，A1， = + ，則 3設 = + ，則 【例1】 設【分析】 【例2】設an，bn，cn均為非負數列，且則必有 （A）anbn對任意n成立 （B）bncn對任意n成立（C）極限不存在 （D）不存在 用相消法求或型極限 【例1】求 【解】作恒等變形，分子、分母同乘【例2】求 【解】作恒等

4、變形，分子、分母同除得 利用洛必達法則求極限 【例1】設f（x）在x = 0有連續導數，又求【例2】求【例3】求【例4】求【例5】若，則【例6】求 【例7】設a0，b0為常數且，則（a，b） = _【分析】型極限 因此（a，b） = 分別求左、右極限的情形，分別求的情形 【例1】設，求【例2】求 利用函數極限求數列極限【例1】求【例2】求 【解1】 轉化為求 【解2】用求指數型極限的一般方法 轉化為求（等價無窮小因子替換），余下同前3 無窮小和它的階 1無窮小、極限、無窮大及其聯系 （1）無窮小與無窮大的定義 （2）極限與無窮小，無窮小與無窮大的關系其中o（1）表示無窮小量 在同一個極限過程中

5、，u是無窮小量（u0）是無窮大量反之若u是無窮大量，則是無窮小量 2無窮小階的概念 （1）定義 同一極限過程中，a（x），b（x）為無窮小， 設 定義 設在同一極限過程中a（x），b（x）均為無窮小，a（x）為基本無窮小，若存在正數k與常數使得 稱b（x）是a（x）的k階無窮小，特別有，稱xx0時b（x）是（xx0）的k階無窮小 （2）重要的等價無窮小x0時 sinx x，tanx x，（1 + x） x，ex1 x； ax1 xlna，arcsinx x，arctanx x；（1 + x）a1 ax，1cosx （3）等價無窮小的重要性質 在同一個極限過程中 1若a b，b ga g 2 a

6、 ba = b + o（b） 3在求“”型與“0”型極限過程中等價無窮小因子可以替換 【例1】 求【例2】設【分析】 由已知條件及又在x = 0某空心鄰域f（x）0，又3x1 xln3于是 【例3】 設x a時a（x），b（x）分別是x a的n階與m階無窮小，又，則x a時 （1）a（x）h（x）是x a的_階無窮小 （2）a（x）b（x）是x a的_階無窮小 （3）nm時，a（x）b（x）是x a的_階無窮小 （4）nm時是x a的_階無窮小 （5）k是正整數時，ak是x a的_階無窮小以上結論容易按定義證明。例如，已知， f（x）g（x）是x a的n + m階無窮小 【例4】設f（x）連續

7、，x a時f（x）是x a的n階無窮小，求證：是x a的n + 1階無窮小 【例5】x 0時，是x的_階無窮小；是x的_階無窮小；是x的_階無窮小，是x的_階無窮小 【例6】x 0時，下列無窮小中（ ）比其他三個的階高， （A）x2 （B）1cosx （C） （D）x tanx 【例7】當x 0時，與比較是（ ）的無窮小 （A）等價 （B）同階非等價（C）高階 （D）低階4 連續性及其判斷 1連續性概念 （1）連續的定義： 函數f（x）滿足，則稱f（x）在點x = x0處連續；f（x）滿足（或，則稱f（x）在x = x0處右（或左）連續 若f（x）在（a，b）內每一點連續，則稱f（x）在（a，

8、b）內連續；若f（x）在（a，b）內連續，且在x = a處右連續，在點x = b處左連續，則稱f（x）在a，b上連續（2）單雙側連續性 f（x）在x = x0處連續 f（x）在x = x0處既左連續，又右連續 （3）間斷點的分類： 設f（x）在點x = x0的某一空心鄰域內有定義，且x0是f（x）的間斷點 若f（x）在點x = x0處的左、右極限f（x00）與f（x0 + 0）存在并相等，但不等于函數值f（x0）或f（x）在x0無定義，則稱點x0是可去間斷點；若f（x）在點x = x0處的左、右極限f（x00）與f（x0 + 0）存在但不等，則稱點x0是跳躍間斷點：它們統稱為第一類間斷點 若f

9、（x）在點x = x0處的左、右極限f（x00）與f（x0 + 0）至少有一個不存在，則稱點x0為第二類間斷點 2函數連續性與間斷點類型的判斷： 若f（x）為初等函數，則f（x）在其定義域區間D上連續，即當開區間（a，b） D，則f（x）在（a，b）內連續；當閉區間c，d D，則f（x）在c，d上連續若f（x）是非初等函數或不清楚它是否為初等函數，則用連續的定義和連續性運算法則（四則運算，反函數運算與復合運算）來判斷當f（x）為分段函數時，在其分界點處則需按定義或分別判斷左、右連續性 判斷f（x）的間斷點的類型，就是求極限 3有界閉區間a，b上連續函數的性質： 最大值和最小值定理：設f（x）在

10、閉區間a，b上連續，則存在和a，b，使得 f（）f（x）f（），（axb） 有界性定理：設f（x）在閉區間a，b上連續，則存在M0，使得 f（x）M，（axb） 介值定理：設函數f（x）在閉區間a，b上連續，且f（a）f（b），則對f（a）與f（b）之間的任意一個數c，在（a，b）內至少存在一點，使得 f（） = c 推論1（零值定理）：設f（x）在閉區間a，b上連續，且f（a）f（b）0，則在（a，b）內至少存在一點，使得 f（） = 0 推論2：設f（x）在閉區間a，b上連續，且m和M分別是f（x）在a，b上最小值和最大值，若mM，則f（x）在a，b上的值域為m，M 【例1】 函數在下列哪

11、個區間內有界 （A）（1，0） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，3） 【分析一】這里有界只須考察，g(x）是初等函數，它在定義域（x1，x2）上連續，有界閉區間上連續函數有界，1，0 定義域，g(x）在1，0有界，選（A） 【分析二】設h(x）定義在（a，b）上，若或，則h(x）在（a，b）無界因， 在（0，1），（1，2），（2，3）均無界選（A） 【例2】設，討論y = f（g（x）的連續性，若有間斷點并指出類型 【分析與解法1】先求f（g（x）的表達式 在（，1），（1，2），（2，5），（5， +），f（g(x）分別與初等函數相同，故連續x = 2或5時可添加等號，左、

12、右連接起來，即左連續又右連續 f（g(x）在x = 2或5連續x = 1時 x = 1是f（g（x）的第一類間斷點（跳躍間斷點） 【分析與解法2】 不必求出f（g（x）的表達式 g(x）的表達式中，x = 2或5處可添加等號，左、右連接起來g(x）在（， +）處處連續 ，u1時連續 u = g（x） = 1x = 1 因此，x1時由連續函數的復合函數是連續的f（g（x）連續.x = 1時 x = 1是f（g（x）的第一類間斷點第二講 一元函數微分學的概念、計算及簡單應用 一、知識網絡圖 二、重點考核點 這部分的重點是 導數與微分的定義、幾何意義，討論函數的可導性及導函數的連續性，特別是分段函數

13、，可導與連續的關系 按定義或微分法則求各種類型函數的一、二階導數或微分（包括：初等函數，冪指數函數，反函數，隱函數，變限積分函數，參數式，分段函數及帶抽象函數記號的復合函數），求n階導數表達式 求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率 導數在經濟領域的應用如“彈性”，“邊際”等（只對數三，數四）1 一元函數微分學中的基本概念及其聯系 1可導與可微的定義及其聯系2幾何意義與力學意義是曲線y = f（x）在點（x0，f(x0）處切線的斜率 是相應于Dx該切線上縱坐標的增量 質點作直線運動，t時刻質點的坐標為x = x(t），是t = t0時刻的速度 3單側導數與雙側導數 f（x）在x = x

14、0可導均存在且相等 此時 【例1】 說明下列事實的幾何意義（1）（2）f(x)，g(x)在x= x0處有連續二階導數，（3）f(x）在x = x0處存在，但.（4）y = f(x）在x = x0處連續且【例2】 ，d0為某常數設均存在且.求證： 【例3】請回答下列問題： （1）設y = f（x）在x = x0可導，相應于Dx有Dy = f（x0 + Dx）f（x0）， Dx0時它們均是無窮小試比較下列無窮小： Dy是Dx的_無窮小；Dydy是Dx的_無窮小； 時Dy與dy是_無窮小（2）du與Du是否相等？ 【例4】設f（x）連續，試討論的存在性與的存在性之間的關系 （1）考察下列兩個函數圖形

15、，由導數的幾何意義來分析存在與存在之間的關系 （2）f（x0）0時，求證：存在存在 【證明】 因0，由連續性，$d0，使得當xx0d時有f（x）0或f（x）0，于是在x0該鄰域內必有f（x）= f(x）或f（x）= f(x）之一成立，故在點x = x0處兩個函數的可導性是等價的 （3）f（x0） = 0時，求證：存在 【證明】 設f（x0） = 0 存在 綜合可得，題目中結論（2）和（3）成立也可以概括為：點x = x0是可導函數的絕對值函數的不可導點的充分必要條件是它使得f（x0）= 0但 【評注】 論證中用到顯然的事實： 【例5】 設函數f(x）連續，且，則存在d 0，使得 （A）在（0，

16、d）內單調增加 （B）在（d，0）內單調減少（C）對任意的x（0，d）有f（0）（D）對任意的x（d，0）有f（0）2 一元函數求導法 反函數求導法： 設f（x）在區間Ix可導，值域區間為Iy，則它的反函數x =j（y）在Iy可導且 【例】 設y =y（x）滿足，求它的反函數的二階導數 【解】 變限積分求導法： 設函數f（x）在a，b上連續，則在a，b上可導，且 ，（axb） 設在c，d上連續，當x a，b時函數u（x），v（x）可導，且的值域不超出c，d，則在a，b上可導，且 ，（axb） 【例1】 設f（x）在（，+ ）連續且，求 【例2】設f（x）在（，+）連續，又，求 【例3】設，求

17、【例4】設f（x）為連續函數，則等于 （A）2f（2） （B）f（2） （C）f（2） （D）0 【分析一】先用分部積分法將F（t）化為定積分選（B） 【分析二】轉化為可以用變限積分求導公式的情形 選（B）【分析三】交換積分順序化為定積分 【分析四】特殊選取法取f（x）= 1（滿足條件）選（B） 隱函數求導法：【例1】y = y（x）由所確定，則 【例2】y = y（x）由下列方程確定，求 （1）x + arctany = y； 【解】對x求導， 解出再對x求導得 （2），其中 【解】對x求導得 利用方程化簡得再將的方程對x求導得 解出，并代入表達式 若先取對數得lnx + f（y）=y 然后

18、再求導，可簡化計算 【例3】設y = y（x）由方程yxey = 1確定，求的值 【解】原方程中令x = 0 y（0）=1將方程對x求導得 令將上述方程兩邊再對x求導得 分段函數求導法：【例1】設f（x）= x2x，則使處處存在的最高階數n為_ 【例2】設 （A）不連續 （B）連續，但不可導 （C）可導但導函數不連續 （D）可導且導函數連續 【分析】先按定義討論f（x）在x = 0的可導性問題進一步考察在x = 0的連續性 當x0時，由此可知， 在x = 0不連續 因此，選（C） 【例3】求常數a，b使函數處處可導，并求出導數 【分析與求解】對常數a，b，x3時f（x）均可導現要確定a，b使存

19、在f（x）在x = 3必須連續且，由這兩個條件求出a與b由 f（x）在x = 3連續，a，b滿足 f（3 + 0）= f（30）= f（3）即 3a + b =9在此條件下，即a = 6 代入3a + b = 9 b = 9 因此，僅當a = 6，b = 9時 f（x）處處可導且 【評注】求解此類問題常犯以下錯誤 1沒說明對常數a，b，x3時f（x）均可導 2先由x = 3處可導求出a值，再由連續性求出b值請看以下錯誤表達： “因 由得a = 6再由連續性 f（3 + 0） = f（30）即 9 = 3a + b，b=9” 錯誤在于當3a + b9時不存在，也不可能有 f（3 + 0）= f（

20、30）不能保證f（x）在x = 3連續僅當f（3 + 0） = f（30）= f（3）時才能保證x = 3連續 必須先由連續性定出3a + b = 9，在此條件下就可得 高階導數與n階導數的求法 常見的五個函數的n階導數公式：3 一元函數導數（微分）概念的簡單應用【例1】 設,在點處的切線與軸的交點為，則 【例2】若周期為4的函數f（x）可導且則曲線y = f（x）在點（5，f（5）處的切線斜率k = _ 【例3】設y = f（x）由方程e2x+ycos（xy）= e1所確定，則曲線y = f（x）在點（0，1）處的法線方程為_ 【例4】已知曲線的極坐標方程為 = 2sin，點M0的極坐標為（

21、1，），則點M0處的切線的直角坐標方程為_【分析一】（數學一，二）點M0在上，直角坐標為： 的參數方程為， 在M0點處的切線的斜率： 在M0處的切線方程 【分析二】的方程可化為r2 = ，于是的隱式方程為x2 + y2 = 2y由隱函數求導法，得 ，于是切線方程為第三講 一元函數積分學 一、知識網絡圖 二、重點考核點 這部分的重點是： 不定積分、原函數及定積分概念，特別是定積分的主要性質 兩個基本公式：牛頓萊布尼茲公式，變限積分及其導數公式 熟記基本積分表，掌握分項積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計算各類積分 反常積分斂散性概念與計算 定積分的應用1 一元函數積分學的基本概念與基本定

22、理 1原函數與不定積分的概念及性質： （1）定義 若F（x）的導函數在某區間上成立，則稱F（x）是f（x）在該區間上的一個原函數：f（x）的全體原函數稱為f（x）的不定積分，記為 （2）原函數與不定積分的關系 若已知F（x）是f（x）的一個原函數，則 其中C是任意常數 （3）求不定積分與求導是互為逆運算的關系，即 其中C也是任意常數 （4）不定積分的基本性質： 2定積分的概念與性質： （1）定義設，若對任何存在，則稱f（x）在a，b上可積，并稱此極限值為f（x）在a，b上的定積分，記為 定積分的值與積分變量的名稱無關，即把積分變量x換為t或u等其他字母時，有 另外，約定 （2）可積性條件 可積

23、的必要條件：若f（x）在a，b上可積，則f（x）在a，b上有界 可積函數類（可積的充分但非必要的條件）： 1f（x）在a，b上連續，則f（x）在a，b上可積； 2f（x）在a，b上有界且僅有有限個間斷點，則f（x）在a，b上可積 （3）定積分的幾何意義： 設f（x）在a，b上連續，則表示界于x軸、曲線y = f（x）以及直線x = a，x =b 之間的平面圖形面積的代數和，其中在x軸上方部分取正號，在x軸下方部分取負號 特別，若f（x）在a，b上連續且非負，則表示x軸，曲線y=f（x）以及直線x = a，x = b圍成的曲邊梯形的面積 （4）定積分有以下性質： 1線性性質：若f（x），g（x）

24、在a，b上可積，且A、B為兩個常數，則Af（x）+ Bg（x）也在a，b上可積，且 2對積分區間的可加性：若f（x）在由a、b、c三數構成的最大區間上可積，則 3改變有限個點上的函數值不改變可積性與積分值 4比較性質：若f（x），g（x）在a，b上可積，且f（x）g（x）在a，b上成立，則 進一步又有：若f（x），g（x）在a，b上連續，且f（x）g（x），f（x）g（x）在a，b上成立，則 若f（x）在a，b可積，則f（x）|在a，b可積且 5積分中值定理：若f（x）在a，b上連續，則存在（a，b），使得 3變限積分，原函數存在定理，牛頓萊布尼茲公式： （1）變限積分的連續性：若函數f（x）

25、在a，b上可積，則函數在a，b上連續 （2）變限積分的可導性，原函數存在定理：若函數f（x）在a，b上連續，則函數就是f（x）在a，b上的一個原函數，即xa，b （3）不定積分與變限積分的關系由原函數存在定理可得若f（x）在a，b上連續，則不定積分 ，其中x0a，b為一個定值，C為任意常數 （4）牛頓萊布尼茲公式：設在上連續，是在上的任一原函數，則這個公式又稱微積分基本公式 推廣形式：設函數f（x）在a，b上連續，F（x）是f（x）在（a，b）內的一個原函數，又極限F（a + 0）和F（b0）存在，則 （5）初等函數的原函數 4周期函數與奇偶函數的積分性質： （1）周期函數的積分性質： 設f（

26、x）在（，+ ）連續，以T為周期，則1（a為任意實數） 2 3（即f（x）的全體原函數）為T周期的【證明】1 證法1 證法2 ，其中 代入上式得。 （此種證法不必假定f（x）連續，只須假定f（x）在0，T）可積) 2 3只須注意 例（08，數三，數四）設f（x）是周期為2的連續函數. （）證明對任意的實數t，有； （）證明G（x） = 是周期為2的周期函數。 【分析與證明】 （）（它是結論1的特例，a = 2，見證明1） （）由題（）的結論， G（x） = 由于對x， G（x + 2）G（x）= G（x）是周期為2的周期函數 （2）奇偶函數的積分性質： 設f（x）在a，a連續，且為奇函數或偶函

27、數 1 2令 3若f（x）為奇函數，則在a，a上f（x）的全體原函數為偶函數 若f（x）為偶函數，則在a，a上f（x）只有惟一的一個原函數為奇函數 【證明】2設f（x）為奇函數 證法1考察 a，a F（x）=F（x）（xa，a），即F（x）為偶函數 證法2xa，a），即F（x）為偶函數（此種證法只須假設f（x）在a，a可積） 3只須注意2的結論 【例1】 【例2】，且f（1） = 0，則f（x） = _ 【例3】設f（x）的導數是sinx，則f（x）的原函數是_ 【例4】設f（x）連續，f（x） = x + 2，則f（x） = _ 【例5】下列命題中有一個正確的是_ （A）設f（x）在a，b可

28、積，f（x）0， 0，則0 （B）設f（x）在a，b可積， a，b，則 （C）設在a，b可積，則f（x）在a，b可積 （D）設f(x）在a，b可積，g(x）在a，b不可積，則f(x）+ g(x）在a，b不可積 【分析1】f（x）在a，b可積，g(x）在a，b不可積 f(x）+ g(x）在a，b不可積反證法若不然，則f(x）+ g(x）在a，b可積，由線性性質 g（x）f（x）+ g（x）f（x）在a，b可積，得矛盾，選（D）【分析2】舉例說明（A），（B），（C）不正確 由（A）的條件只能得0如，x0（a，b） f（x）0， 0（xa，b），但 = 0（A）不正確 關于（B），請看右圖，由定積

29、分的幾何意義知 0，0，（B）不正確 這里， a，b，但 關于（C），是f（x）與的可積性的關系 f（x）在a，b可積 在a，b可積 如 = 1在a，b可積，但f（x）在a，b不可積，（C）不正確，因此選（D） 【例】判斷積分值的大小： 【例7】把積分值 按大小排序，其中f（x）在a，b上滿足：0，0，0 【例8】設則（x）（A）為正數 （B）為負數 （C）為0 （D）不為常數 【例9】設g（x） = 則g(x）在區間（0，2）內 （A）無界 （B）遞減 （C）不連續 （D）連續 【分析】這是討論變限積分的性質已知結論可以用：若f（x）在a，b可積，則g(x）在a，b連續，這里f（x）在0，2

30、可積（有界，只有一個間斷點），則在0，2連續選（D） 5利用定積分求某些n項和式的極限 【例10】2 基本積分表與積分計算法則3 積分計算技巧 【例1】求 【例2】 求（ba）【例3】 求，n為自然數 【例4】對實數，求 【解】 【例5】求 【解】4 反常(廣義)積分1基本概念 （1）若，稱收斂，并記 否則稱發散 若，稱收斂，并記 否則稱發散 若，均收斂，稱收斂 且 =+否則稱發散 （2）設f（x）在（a，b內閉子區間可積，在a點右鄰域無界，若極限，稱收斂，并記 =, 否則稱發散這里x=a稱為瑕點 若b為瑕點，類似定義 設f（x）在a，c）（c，b內閉子區間可積，在x = c鄰域無界 若，均收

31、斂，稱收斂且 =+ 否則稱發散 （3）幾個重要的反常積分 1a0， 2a1， 3 45，均發散 【例1】反常積分（ ）發散 （A） （B） （C） （D） 【例2】下列命題中正確的有_個 （1）設f（x）在（，）連續為奇函數，則0 （2）設f（x）在（，）連續，存在，則收斂 （3）若與均發散，則不能確定是否收斂 （4）若均發散，則不能確定是否收斂 【分析】要逐一分析 （1）f（x）在（，）連續，收斂例如f（x）=sinx在（，）連續，為奇函數，但發散（1）是錯的 （2）f（x）在（，）連續， 收斂存在 如f（x）=sinx，=0，但發散 故（2）是錯誤的 （3）正如兩個函數的極限均不存在，但它

32、們相加后的極限可能存在，也可能不存在一樣，若，均發散，則不能確定是否收斂如f（x）=，均發散，但收斂 若取g（x）=發散因此（3）是正確的 （4）按斂散性的定義，僅當，均收斂時，才是收斂的，否則為發散因此，均發散時是發散的（4）也不正確 共有1個是正確的 2廣義積分的計算【例3】(1)求(2)求(3)求 (4)求5 一元函數積分學的應用 1一元函數積分學的幾何應用 【例1】曲線1y=1x2（0x1），x軸和y軸所圍區域被L2y=ax2（a0）分成面積相等的兩部分，確定a的值 【解】先求1與2的交點（x0，y0）：被分成的兩部分面積分別記為. 由 【例2】求由x2+y22x與yx確定的平面圖形繞

33、直線x = 2旋轉而成的旋轉體的體積 【解一】該平面圖形可表示為 ， 在此平面圖形繞直線x = 2旋轉而成的旋轉體中縱坐標滿足的一層形狀為圓環形薄片，其外半徑為，內半徑為，從而，這個圓環形薄片的體積為 故旋轉體的體積為 【解二】該平面圖形可表為作垂直分割，相應的小豎條繞直線x = 2旋轉而成的體積微元 y x 于是，整個旋轉體的體積【例3】求曲線的全長（a0）（只對數一，數二）【解】以6p為周期在0，6p中，r00，3p，于是，曲線的全長 曲線C是光滑，選定一端點作為度量弧S的基點。曲線C上每一點M對應有弧長S，點M 第 136 頁處切線的傾角為，稱K = 為平面曲線C在點M的曲率，為C點M的

34、曲率半徑，過點M作曲線C的法線，在曲線凹的一側，在法線上取一點D，便，以D為圓心，為半徑作一個圓，稱它為曲線C在點M處的曲率圓，圓心D稱為曲率中心。設曲線C的直角坐標方程為y = y（x），y（x）二階可導，則曲率 K = 曲線C上點的曲率中心（a，b）是 a = x b = y + 2.一元函數積分學的物理應用（數一，數二）【例4】設在很大的池中放有兩種液體，上層是油，比重1，厚度為h1，下層是水，厚度為h2（2R），現有半徑為R，比重（1）的球沉入池底，如將球從液體中取出需作多少功？（設移動過程中兩種液體厚度均不變）（只對數一，數二） 【解】設球心為坐標原點，x軸正向垂直向上，建立坐標系如

35、圖，可把球上的一個薄片看成一個質點，當把球從池底完全取出液體的過程中，該薄片在水中移動的距離是h2（Rx），這時外力的大小是重力減去浮力即，該薄片在油中移動的距離是h1，這時外力的大小是；該薄片在空氣中移動的距離是Rx，這時外力的大小是，故出取出該薄片的過程中需作功：從R到R積分dW，并利用奇函數在對稱區間上積分為零的性質和球體積公式可得到將球從液體中取出需作的功：平面曲線的質心（形心）公式（數一，數二）：設質量均勻分布的平面曲線，其線密度為常數，參數方程有連續的導數，則的質心: 平面圖形的質心（形心）公式（數一，數二）： 設有平面圖形：axb，g（x）yf（x），其中f（x），g（x）在a，

36、b連續，質量均勻分布，面密度為常數，則它的質心； 【例5】（數一，數二）質量均勻分布的平面光滑曲線，全長l，以A點作為計算弧長的起點，取弧長s為自變量，參數方程為x = x（s），y = y（s）（0sl） （）寫出的質心的積分表達式.（）在x軸上方，證明繞x軸旋轉一周產生的旋轉體的側面積等于曲線的質心繞x軸旋轉產生的圓周之長乘以曲線的弧長l（）求圓周繞x軸旋轉一周所生成的圓環體的側面積A【解】（）用微元法可導出的質心的表達式 （）由題（）得 等式右端即繞x軸旋轉一周產生的旋轉體的側面積，左端正是的質心繞x軸旋轉產生的圓周之長與l之積，因此結論成立 （）由題（），又質心（0，a），圓周長為，于

37、是圓環體的側面積 6 積分等式與不等式的證明 【例1】設f（x）在a，b有二階連續導數，求證明： 【證】用分部積分法 【例2】0ab，f（x）在a，b連續，并滿足：，求證： 【證】用換元積分法令，故 于是 【例3】設f（x），g（x）在a，b連續且滿足 求證： 【分析與證明】已知 要證： 因 所以將（*）式從a到b積分即得證第四講 一元函數微分學中的基本定理及其應用 一、知識網絡圖拐點 二、重點考核點 這部分的重點是： 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其應用 利用導數研究函數的性態（函數為常數，單調性與極值點，凹凸性與拐點，漸近線） 最值問題及應用題 利用微分學方法證明函數或導函數零

38、點的存在性并確定個數，證明函數不等式等1 一元函數微分學中的基本定理中值定理 費馬定理：設f（x）在x = x0取極值，存在 羅爾定理：設f（x）在a，b連續，在（a，b）可導，且 【例1】設f（x）在（a，b）可導且ax1x2b，則至少存在一點c使（ ）成立 （A） （B） （C）（D）【例2】回答問題：設f（x）在a，b有連續的一階導數且，又f（x）在（a，b）二階可導，是否存在，為什么？ 【例3】設f（x）在x = x0連續，在（）除x0點可導且，求證：2 微分中值定理的應用利用導數研究函數的變化1函數為常數的條件與函數恒等式的證明 2函數的單調性與極值點 （1）函數的單調性的充要判別法

39、 設f（x）在a，b連續，在（a，b）可導，則 f（x）在a，b單調不減（單調不增） f（x）在a，b單調增加（單調減少）， 2在（a，b）的子區間上 0 （2）函數取極值的充分判別法設f（x）在x = x0連續，在可導，當時0（0）時0（0），則x = x0是f（x）的極大（小）值點 設=0，0（0），則x=x0是f（x）的極小（大）值點 3函數的凹凸性與拐點 （1）函數的凹凸性的充要判別法 設f（x）在a，b連續，在（a，b）可導，f（x）在a，b是凸（凹）的： （曲線y = f（x）（axb）在點處的切線除該點外總在曲線的上方（下方）在（a，b）是單調減（增）函數 設f（x）在a，b連續

40、，在（a，b）二階可導，則f（x）在a，b是凸（凹）的0（0），又在（a，b）的子區間上 0 （2）拐點的充分判別法與必要條件 設f（x）在x0鄰域連續，在x = x0兩側凹凸性相反，稱（x0，f（x0）是曲線y = f（x）的拐點 充分判別法 1設f（x）在x = x0鄰域連續，在x = x0空心鄰域二階可導，且在x = x0兩側變號，則（x0，f（x0）為y = f（x）的拐點 2=0，則（x0，f（x0）為y = f（x）的拐點 必要條件 設（x0，f（x0）為y = f（x）的拐點，則 = 0或不存在 【例1】設f（x）在0，1上0，則（ ）成立 （A） （B）（C） （D） 【例2】

41、設恒正可導且0，則當axb時有 （A） （B） （C） （D）【例3】 設f（x）在x = 0某鄰域連續且f（0） = 0，則f（x）在x = 0處（ ） （A）不可導 （B）可導且0（C）有極大值 （D）有極小值 【例4】 設f（x）有二階連續導數， = 0，則（ ）成立 （A）f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0）不是y = f（x）的拐點 （B）f（0）是f（x）的極大值 （C）f（0）是f（x）的極小值（D）（0，f（0）是y = f（x）的拐點 【例5】 設f（x）滿足且 = 0則（A）f（0）是f（x）的極大值 （B）f（0）是f（x）的極小值（C）點（0，f（0）是y = f

42、（x）的拐點 （D）f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0）也不是y = f（x）的拐點.【例6】 設f（x）在（a，b）可導，求證：在（a，b）為減函數f（x）f（x0） + （xx0），【分析與證明】（1）設在（a，b）為減函數，f（x）f（x0） + = 0（），其中由微分中值定理知，在x與x0之間，f（x）f（x0） = （2）設對，f（x）f（x0） + 現對x2, x1，x2,有 f（x1）f（x2） + , f（x2）f（x1） + 兩式相加得0，即在（a，b）為減函數 【例7】 求y = （x + 6）的單調性區間，極值點，凹凸性區間，拐點與漸近線 【解】1）定義域x0，間斷

43、點x = 0 2） 由 單調增區間：（，2，3，+ ）；單調減區間2，0），（0，3 極大值點x = 2，極小值x = 3 凹區間：（，凸區間，0），（0， + ），拐點（，） 3）只有間斷點x = 0，是垂直漸近線 還有斜漸近線y = x + 73 一元函數的最值問題 【例1】求f（x）= x + 2cos x在0，上的最大值【例2】某公園在一高為a米的雕塑，其基高為b米，試問觀賞者離基座底部多遠處，使得其視線對塑像張成的夾角最大，設觀賞者高為h米4 微分中值定理的應用證明不等式【例1】 試證：x0，x1時（x21）lnx（x1）2 【例2】設f（x）在0，1可導，f（0） = 0，01，求

44、證： 【分析與證明1】 引進輔助函數 F（x） = 要證：F（x）0（x（0，1） 由條件知，f（x）在0，1單調上升，f（x）f（0） = 0（x（0，1 ） 從而 與g（x） = 0（x（0，1）g（x）在0，1單調上升，g（x）g（0） = 0（x（0，1），0（x（0，1）F（x）F（0）=0（x（0，1）因此F（1）0，即結論成立 【分析與證明2】要證1（由條件知f（x）0，x（0，1） 令F（x） = 則由柯西中值定理 = 1（對） 【例3】 設a1，n1，證明：5 微分中值定理的應用討論函數的零點【例1】 設有方程xn + nx1 = 0，其中n為正整數，證明此方程存在惟一正根x

45、n，并求 【例2】設f（x）在a，b要導，0，求證：存在c（a，b）， 【例3】設f（x）在a，b連續，在（a，b）二階可導，并在（a，b）內曲線y = f（x）與弦相交，其中A（a，f（a），B（b，f（b），求證：存在（a，b）使得=0 【例4】設f（x）在（，+ ）可導， = A，求證：存在（，+ ）使得 = 0【例5】設f（x），g（x）在a，b連續，在（a，b）可導且g（a） = 0，f（b） = 0，x（a，b）時f（x）0，g（x）0，求證：存在（a，b）使得 【例6】設函數f（x），g（x）在a，b上連續，在（a，b）內具有二階導數且存在相等的最大值，f（a） = g（a），f（b） = g（b），證明：存在（a，b），使得 【分析與證明一】令F（x） = f（x）g（x）F（x）在a，b連續，在（a，b）可導，在題設條件下，要證存在（a，b）， = 0已知F（a） = F（b） = 0，只須由題設再證c（a，b），F（c） = 0（1） 由題設x1（a，b）M = ，若x1 = x2，取c = x1 = x2，F（c） = 0 若x1x2，不妨設x1x2，則 F（x1） = f（x1）g（x1）0，F（x2）= f（x2）g（x2）0 cx1，x2，F（c） = 0（2）由F（a） = F（c） = F（b） = 0，對F（x）分別在a，c，c，b用羅爾定理$