1、精選優質文檔-傾情為你奉上六種方法求二面角的大小 河北省武邑縣職教中心 李鳳迎 李洪濤 求二面角的大小是高考立體幾何題中的重要題型，它幾乎涉及到了立體幾何中的所有知識點，考查到了所有思想和方法，具有很強的綜合性.我們要根據題目環境條件的不同靈活地采用適當的方法.下面總結一下二面角的常見求法，以供大家學習和參考.一、定義法例1. 在三棱錐中，求二面角的大小. 分析 因為和是有公共邊的等腰三角形，此時宜采用“定義法”.解答 取的中點，連接、，因為、分別為等腰和的中線，所以，則即為所求二面角的平面角.設，則，在中，因為，即，所以，所以二面角大小為.說明 當二面角的兩個面是有公共邊的等腰三角形和矩形的

2、組合時，可采用“定義法”；當二面角的兩個面是關于公共邊對稱的兩個全等三角形時，同時取公共邊上的高，由定義可作出二面角的平面角.變式訓練1 （2008年高考題）在四棱錐中，底面為矩形，側面底面，, ,. 設側面為等邊三角形，求二面角的大小.二、三垂線定理法例2. 在三棱錐中，面面.（1）求證：；（2）求二面角的大小.分析 由（1）中可知，此時宜采用“三垂線定理法”作出二面角的平面角.只需過作于，過作于，連接，則即為所求.解答 （1）略. （2）過作于，過作于，連接.因為，所以，則為斜線在面內的射影.又因為，所以（三垂線定理），則即為所求.設，則.在中，在中，由得，所以，又因為，所以，則在中，所以

3、，即二面角的大小為.說明 當題目中有一條從一個半平面內的一點到另一個半平面的垂線段時，可采用“三垂線定理法”.垂線段可由題目中的線面垂直、面面垂直等條件作出.變式訓練2 如圖，三棱柱，底面是邊長為的正三角形，點在底面上的射影恰是的中點.若側棱和底面所成的角為時，求二面角的正切值.三、垂面法例3. 已知為二面角內一點，于，于，且，若，則二面角的度數為_.分析 由已知得.設，連接，則，則即為二面角的平面角，且.要想求，只需由的面積公式求出即可.解答 因為，所以，所以或，又因為，從而或.說明 可作為結論使用.若給出的三邊，則可通過余弦定理求出的度數.變式訓練3 已知為二面角內一點，于，于，且，則二面

4、角的度數為_. 四、面積射影法例4. 在三棱錐中，分別為、的重心，若，則二面角的大小為_.分析 易證，則，則的射影為，此時宜采用“面積射影法”.解答 設二面角為，因為分別為、的重心，則可得，所以.又因為，所以.因為，所以.說明 當題目中涉及斜面三角形面積和相應射影三角形面積時，可采用“面積射影法”求二面角的大小. 變式訓練4 若一正四棱錐的表面積與其底面積滿足關系式，則其側面與底面所成的二面角的范圍是_.五、三正弦定理法例5. （2012年全國新課標卷）在直三棱柱中，是棱的中點，.（1）證明：；（2）求二面角的大小.分析 考察面內的直線，易求，即；取的中點，則，則即為直線與所成的角，且，即，最

5、后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因為和均為等腰直角三角形，所以.又因為，所以，從而，即；取的中點，連接，則.又因為，所以，則即為直線與所成的角.設，則，因為，即.由得，又據題意知所求二面角為銳二面角，所以.說明 當其中一個半平面內的一條直線與另一個半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出時，可采用“三正弦定理法”.變式訓練5 如圖，平面角為銳角的二面角，若，若與所成的角為，則該二面角的大小為_.六、向量法例6. 題目同例5.分析 由（1）可證，則，所以兩兩互相垂直，此時可以采用“向量法”求二面角的大小. 解答 (1) 略. （2）建立如圖所示的空間直角坐標系.設所求二面角為，平面的法向量為，又因為，則，即，取，則，所以；同理設平面的法向量為，取的中點，則可知，所以取，又因為，由題意知所求二面角為銳二面角，所以.說明 向量法又俗稱“萬能法”.當題目中出現三條線段具有或可以證明存在兩兩互相垂直的位置關系時，可采用“向量法”.但計算時一定要認真，并且要根據所求二面角是銳二面角