1、第四章微分中值定理與導數應用第一節微分中值定理教學目的：理解并會用羅爾定理、 拉格朗日中值定理， 了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教學重點： 羅爾定理、拉格朗日中值定理。教學難點： 羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用。教學內容：一、羅爾定理1. 羅爾定理幾何意義 ：對于在 a,b 上每一點都有不垂直于x 軸的切線，且兩端點的連線與x 軸平行的不間斷的曲線f (x) 來說，至少存在一點C，使得其切線平行于x 軸。yCyf ( x)ABoa12bx從圖中可以看出： 符合條件的點出現在最大值和最小值點，由此得到啟發證明羅爾定理。為應用方便，先介紹費馬（Fermat）引理費馬引理設函數f (x) 在點x

2、0 的某鄰域 U ( x0) 內有定義并且在x0 處可導如果對任意 x U(x0 )有0(或 f (x) f (x0 ) )那么 f ' (x0 )0f (x) f (x )證明：不妨設x U(x0 )時， f ( x)f (x0 ) （若 f (x)f ( x0 ) ，可以類似地證明）.于是對于 x0xU (x0 ) ,有 f (x0x)f (x0) , 從而當x0 時 ,f (x0x) f (x0)x0 時 ,f ( x0x)f ( x0 )x0;而當x0;根據函數 f (x) 在 x0處可導及極限的保號性的得''(x0 )f (x0x)f (x0)f (x0 )f

3、limx0x0f ' (x0)f '( x0 )lim f (x0x)f (x0) 0x0x所以f'(0) 0,證畢 .x定義導數等于零的點稱為函數的駐點(或穩定點，臨界點).羅爾定理如果函數 f(x)滿足：（ 1）在閉區間 a,b 上連續（ 2）在開區間( a, b) 內可導 （ 3）在區間端點處的函數值相等，即 f (a)f (b)使得函數f (x) 在該點的導數等于零，即f ' ( )0那么在 (a,b) 內至少在一點(ab)證明： 由于 f (x) 在 a,b上連續，因此必有最大值M 和最小值 m ，于是有兩種可能的情形：（1）M，此時f ( x)在 a

4、,b 上必然取相同的數值M ，即 f (x) M .m由此得 f ( x)0.因此，任取(a, b) ，有 f () 0.（2）M，由于f (a)f (b)，所以 M 和 m 至少與一個不等于f (x)在區間 a,b端點處m的函數值 .不妨設 Mf (a)(若 m f (a) ,可類似證明 ),則必定在 (a,b) 有一點使 f ( )M . 因此任取 xa,b 有 f (x)f ( ),從而由費馬引理有f () 0.證畢例 1 驗證羅爾定理對f()x223在區間 1,3上的正確性xx解 顯然f ( x)x22x3( x3)( x 1)在 1,3 上連續，在(1,3) 上可導，且f ( 1)f

5、 (3)0 , 又 f ( x)2( x1) , 取1, (1( 1,3) ,有 f ( )0 .說明： 1若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足, 其結論可能不成立 ;2使得定理成立的可能多于一個，也可能只有一個 .例如yx , x2,2 在 2,2上除 f (0) 不存在外，滿足羅爾定理的一切條件，但在區間 2,2 內找不到一點能使f( x)0 .例如y1x, x(0,1除了 x0 點不連續外，在 0,1上滿足羅爾定理的一切條0,x0件，但在區間 0,1上不存在使得f( )0 的點例如 yx, x0,1.除了 f (0)f (1) 外，在 0,1 上滿足羅爾定理的一切條件，但在區間 0,1上不

6、存在使得f( )0 的點又例如 ycos x,x, 3 滿足定理的一切條件， 而0,222羅爾定理的應用羅爾定理1）可用于討論方程只有一個根；2）可用于證明等式 .例 2 證明方程 x55 x 10 有且僅有一個小于1 的正實根 .證明：設( )551, 則f (x)在0,1上連續，且f (0) 1, f (1) 3.f xxx由介值定理存在x0(0,1)使 f (x0 )0 , 即 x0 為方程的小于1 的正實根 .設另有x1(0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 )0.因為f (x) 在 x0 , x1 之間滿足羅爾定理的條件 , 所以至少存在一個（在 x0 ,x1之間）使得 f

7、( ) 0.但f( )5(4 1)0, ( x(0,1) ,矛盾,所以x0為方程的唯一實根 .xx拉格朗日中值定理的證明就是羅爾定理證明等式的一個例子（見后面） .二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在實際應用中，由于羅爾定理的條件（3）有時不能滿足，使得其應用受到一定限制。如果將條件（ 3）去掉，就是下面要介紹的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數f (x)滿足（1）在閉區間 a,b 上連續 （ 2）在開區間 (a,b)內可導 那么在 ( a, b) 內至少有一點(ab)使得等式f (b) f ( a)f ' ()(ba)成立幾何意義上述等式可變形為 f

8、 ( )f (b)f (a) ，等式右端為弦 AB 的斜率 , 于是在區間 a, b 上ba不間斷且其上每一點都有不垂直于x軸切線的曲線上，至少存在一點C，使得過 C 點的切線平行于弦 AB. 當 f (a)f (b) 時，羅爾定理變為拉格朗日中值定理，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，下面用羅爾定理證明拉格朗日中值定理 .yf (b)f (a)( xa). 曲線f (x) 減去弦分析與證明： 弦 AB 的方程為f ( a)abAB ，所得曲線 AB 兩端點的函數值相等 . 作輔助函數F (x) f ( x) f (a)f (b)f (a) ( x a)

9、ba于是 F (x) 滿足羅爾定理的條件，則在(a, b) 內至少存在一點，使得F() 0 .又 F (x) f ( x)f (b )f ( a) , 所以 f ( )f (b )f ( a)baba即在 (a, b) 內至少有一點(ab)，使得( )f(a)f'( )() 證畢f bb a .說明 : 1.f (b)f (a)f ' ( )(ba) 又稱為拉格朗日中值公式（簡稱拉氏公式）, 此公式對于 b a 也成立 ;2拉氏公式精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關系；當設 f (x) 在 a,b 上連續 , 在 ( a,b)內可導時 , 若

10、x0 , x0x ( a, b) , 則有 f ( x0x) f ( x0 ) f (x0x) x (01)當 yf (x)時 , 也可寫成yf (x0x)x(01).試與微分 dyf (x)x比較dyf (x)x是函數增量y 的近似表達式而yf ( x0x)x(01) 是函數增量y 的精確表達式所以拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式, 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.推論若函數 f (x) 在區間 I 上導數恒為零，則f (x) 在區間 I 上是一個常數 .2. 拉格朗日中值定理的應用拉格朗日中值定理1）可用于證明等式；2）可用于證明不等式.例 3 證明 arcsin x arccosx(

11、1x1)2證明： 設 f ( x) arcsin xarccosx,x1,11(1) 0,所以 f (x) C, x 1,1由于 f ( x)2211 xx又 f (0) arcsin0 arccos0 0, 即 C.222故 arcsin x arccosx.2例 4 證明當 x0xln(1x) x時 ,x1證明 :設 f ( x)ln( 1 x), 則 f (x) 在 0, x 上滿足拉氏定理的條件于是 f (x)f (0)f( )(x0), (0x)又 f (0)0, f (x)1, 于是 ln(1x)x1x1而 0x, 所以 1 11 x , 故 1111x 1從而xxx , 即xln

12、(1 x)xx 1x11三、柯西中值定理柯西中值定理如果函數f (x) 及 F(x) 在閉區間 a,b 上連續 ,在開區間(a,b) 內可導 , 且F' (x) 在 (a,b) 內 每一 點處 均不為 零， 那 末 在 (a,b) 內至 少 有一 點(ab) , 使等 式f (b)f (a)f ' ( ) 成立F(b)F (a)F ' ()幾何解釋 :設曲線弧 C 由參數方程XF (x) ( a xb )表示 其中 x 為參數 如果曲線 CYf ( x)上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線C 上必有一點 x使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB 曲線 C

13、 上點 x處的切線的 斜 率 為 dYf ()弦 AB的斜率為f (b)f (a)于 是dXF ()F (b)F (a)f (b)f (a)f ( )F (b)F (a)F ( ), 即在曲線弧AB上至少有一點C(F ( ), f ( ) ,在該點處的切線平行于弦AB.CyXF ( x )Yf ( x )MBNoF( ) F ( x)F (b) x1AF(a)F( 2)證明 : 作輔助函數(x)f ( x)f (a)f (b)f (a) F ( x)F (a)F (b)F (a)則(x) 滿足羅爾定理的條件，于是在 (a, b) 內至少存在一點，使得() 0,即f( )f (b)f (a) F

14、 ( ) 0f (b)f (a)f (), 所以F( a)F (.證畢baF (b)特別地 當 F(x)x時 , F (b)F (a) ba, F ( x)1由 f ( b)f (a)f ()f (b)f (a)有af (F ( b)F (a)F ()b即 f (b)f ( a)f()(b a) ,故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.例 5設函數 f (x) 在 0,1 上連續 ,在 (0,1) 內可導 ,證明 :至少存在一點(0,1) ，使f ( )2 f (1)f (0)證明與分析 :結論可變形為f (1)f (0)f () f ( x)102(

15、 x 2 )x設 g(x)x2，則 f ( x), g(x) 在 0,1 上滿足柯西中值定理的條件于是至少存在一點所以至少存在一點(0,1)(0,1)，使 f (1)f (0)f ()102，使 f (1)f (0)f ()102即 f ( )2 f (1)f (0)四、小結羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.注意中值定理成立的條件.五、作業P24P27第二節洛必達法則教學目的 ：理解洛必達法則，掌握用洛必達法則求0型和型以及0 ,型0未定式的極限的方法 ; 了解 00 ,1 ,0

16、型極限的求法 .教學重點： 洛必達法則 .教學難點： 理解洛必達法則失效的情況,0,型的極限的求法.教學內容：一0型和型未定式的解：法洛必達法則0定義：若當 xa（或 x）時，函數 f (x) 和 F (x) 都趨于零 (或無窮大 )，則極限limf (x)F (x)xa( x)可能存在、也可能不存在，通常稱為0 型和 型未定式 .0例如 limtan x , (0 型);lim ln sin ax , (型 ).x0x0x 0 ln sin bx定理： 設 (1)當 x0時, 函數 f (x) 和 F ( x) 都趨于零 ;(2)在 a點的某去心鄰域內 , f (x) 和 F (x) 都存在

17、且 F ( x) 0 ;(3) lim f ( x) 存在 (或無窮大 ),x a F ( x)(x則 limf ( x)limf ( x)x a F ( x)x a F ( x)定義： 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為 洛必達法則證明 :定義輔助函數f1 ( x)f ( x),xa, F1( x)F (x),xa0,xa0,xa在 U ( a,) 內任取一點 x , 在以 a 和 x 為端點的區間上函數f1 ( x) 和 F1 (x) 滿足柯西中值定理的條件 , 則有f ( x)f ( x)f ( a)f ( ) , (在 a 與 x 之間 )F ( x

18、)F ( x)F (a)F ( )當 x0 時,有a , 所以當 lim f ( x)A , 有 limf( )Axa F ( x)aF ( )故 limf ( x)lim f()A. 證畢xaF (x)a F ()說明 : 1.如果 limf ( x) 仍屬于0型 ,且 f (x) 和 F(x) 滿足洛必達法則的條件, 可繼續使用洛xa F (x)0必達法則 ,即 lim f (x)limf (x)limf(x);xa F (x)x a F (x)x a F (x)2.當 x時 ,該法則仍然成立 , 有 limf ( x)limf ( x) ;xF (x)xF ( x)3.對 xa （或 x

19、）時的未定式，也有相應的洛必達法則;4. 洛必達法則是充分條件 ;5. 如果數列極限也屬于未定式的極限問題，需先將其轉換為函數極限，然后使用洛必達法則，從而求出數列極限.例 1 求 lim tan x , ( 0 型 )x0x0解 原式 = lim (tan x)= lim sec2 x1x 0( x)x 01例2求 limx33x20型 )x2x 1 x3x 1 , ( 0236 x3解原式=lim3x=lim2x 13 x 2 x 1x 1 6 x 2 2例 3求lim 2arctanx,(0型)1x0x1x 2解原式=lim1x2= lim2=11x1xxx2例 4求 lim ln si

20、nax , (型 ).x 0 ln sinbx解 原式 = lima cos ax sin bx =limcosbx =1x0b cos bx sin axx 0cosax例 5求 limtan x , ( 型 )x tan 3x2解 原式 = lim2216 cos 3x sin 3 xsecx=1 lim cos 3x =limx3 sec23x3 xcos2 x3 x2 cos x sin x222= lim sin 6x=lim6 cos6x3xsin 2xx2 cos2x22注意： 洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.例 6求 lim tan x

21、xx0x2 tan x解原式=tan xxlimsec2 x11limtan 2 x1lim3=3x2=3x2=x0xx 0x 03二 0,00,1 ,0 型未定式的求法關鍵 :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型1 0型未定式的求法步驟： 01, 或 0010例 7求 limx 2 ex.( 0) 型xxxex解 原式 = lime2 = lim elim.xxx2xx22.型步驟：110000.0 0例 8求 lim (11).() 型x 0sin xx0型和型.0解 原式 = lim xsin xx 0 x sin x3. 00,1 , 0型00步驟：取對數101cosxlim0.

22、x 0 sin xx cos x0 ln 0ln 10.0 ln例 9 求 lim xx.x 0解 原式 = lim ex ln xx01例 10 求 lim x1 x .x 1(00)型limln xlim1lim xln xx0x 0xex 0ee(1)型1x1x 2e0 1.11ln xlimxln xlime 1 .解 原式 = lim e1 xex11xex 11x 110 ) 型例 11 求 lim (cot x) lnx .(x 011ln(cot x )解 由于 (cot x)ln xeln x11而 lim1limcot xsin 2xlimxln(cot x)11x 0ln

23、 xx 0x 0cos x sin xx所以 原式 = e 1.注意： 洛必達法則的使用條件例 12 求 lim x cos x .xx解 原式 = lim 1 sin xlim (1sin x). 極限不存在x1x（洛必達法條件不滿足的情況）正確解法為原式 = lim (111.cos x)xx例 13 求 limtan n (2 )n4n解 設 f ( x)tan x (2) ，則 f ( n)tan n (2)4x4 n因為 limf (x)exp lim x ln tan(2)xx4xln tan(2)sec2 (22)(2 )= exp lim4xexp lim4 xx = e4x1

24、x12xx 2tan(4x)從而 原式 = limf ( n)limf (x)e4nx三小結1 洛必達法則是求0型和型未定式極限的有效方法，但是非未定式極限卻不能使0用。因此在實際運算時，每使用一次洛必達法，必須判斷一次條件。2 將等價無窮小代換等求極限的方法與洛必達法則結合起來使用，可簡化計算。3 洛必達法則是充分條件，當條件不滿足時，未定式的極限需要用其他方法求，但不能說此未定式的極限不存在。4 如果數列極限也屬于未定式的極限問題，需先將其轉換為函數極限，然后使用洛必達法則，從而求出數列極限 .四作業P28P30第三節函數的單調性與曲線的凹凸性教學目的：理解函數的單調性和曲線的凹凸性的判定

25、定理， 會求函數的單調區間和曲線的凹凸區間。教學重點：掌握用一階導數判斷函數的單調性和利用二階導數判斷曲線的凹凸性的方法。教學難點：導數不存在的連續點、 也可能是單調區間和曲線的凹凸區間的分界點。教學內容：一、函數單調性的判定法如果函數 yf ( x) 在 a, b 上單調增加（單調減少）那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線這時曲線的各點處的切線斜率是非負的（是非正的）即y f (x) 0 ( 或 yf (x) 0) 由此可見 函數的單調性與導數的符號有著密切的關系反過來能否用導數的符號來判定函數的單調性呢？定理 1 (函數單調性的判定法)設函數 yf (x)在 a,b上連續 在

26、(a,b) 內可導(1) 如果在 (a,b) 內 f ( x)0那么函數yf ( x ) 在 a,b 上單調增加(2) 如果在 (a,b) 內 f (x)0那么函數yf ( x ) 在 a,b 上單調減少證明只證 (1) （2）可類似證得）在 a,b 上任取兩點x1 , x2 (x1x2 ) 應用拉格朗日中值定理得到f ( x2 ) f (x1 )f ( ) ( x2x1 ) (x1x2 )由于在上式中 x2x1 0 因此如果在 (a, b) 內導數 f (x) 保持正號即 f ( x)0那么也有f ( )0 , 于是f ( x2 ) f ( x1 )f ( ) ( x2x1 ) 0從而 f

27、( x1 ) f( x2 ) ，因此函數y f (x ) 在 a, b 上單調增加證畢注判定法中的閉區間可換成其他各種區間例 1判定函數yxsin x在 0,2 上的單調性解因為在 (0,2) 內 y1cosx0所以由判定法可知函數yxsin x 在 0,2 上單調增加例 2討論函數 yexx1的單調性解由于 yex1 且函數 y exx1的定義域為 (,)令 y0 ,得 x0,因為在(,0) 內 y0所以函數 yexx 1在 ( ,0上單調減少又在 (0,) 內 y0所以函數 yexx1在 0,) 上單調增加例 3討論函數 y 3 x2的單調性解顯然函數的定義域為( , ), 而函數的導數為

28、 y2(x 0)3x3所以函數在 x0處不可導又因為 x0時 y0 所以函數在因為 x0 時y0, 所以函數在(,0 上單調減少 0,) 上單調增加說明 : 如果函數在定義區間上連續除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續那么只要用方程 f (x) 0的根及導數不存在的點來劃分函數f (x)的定義區間就能保證 f (x)在各個部分區間內保持固定的符號因而函數 f (x)在每個部分區間上單調例 4確定函數f (x)2x3 9x2 12x 3的單調區間解該函數的定義域為(,)而 f (x)6x218x 126(x 1)(x 2), 令 f ( x)0, 得 x11, x22列表x(,11,2 2,

29、)f ( x)f (x)函數 f( x)在區間 (,1 和 2,) 內單調增加在區間 1,2 上單調減少例 5討論函數yx3 的單調性解函數的定義域為 (,)函數的導數為y3x2 , 除 x0 時y0外 在其余各點處均有y0 因此函數 yx3 在區間 (,0 上單調減少因為當 x0時 y0, 所以函數在 0,)及0,) 上都是單調增加的從而在整個定義域(,) 內 yx3 是單調增加的其在 x0 處曲線有一水平切線說明 : 一般地 如果 f(x)在某區間內的有限個點處為零在其余各點處均為正（或負）時那么 f (x)在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的例 6 證明 當 x1時 2 x 31x證

30、明令 f (x)2x(31) 則 f (x)111( xx1)xxx2x2因 為 當 x1 時f( x)0 因 此 f (x) 在 1,) 上單調增加從 而 當 x1 時f (x)f (1),又由于f (1)0故 f (x)f (1)0即 2x (31) 0也就是 2x31x1)xx ,(二、曲線的凹凸與拐點1. 凹凸性的概念yyf ( x1 ) f ( x2 )f ( x1 )f(x2 )22fx1x2fx1 x222f( x1)2)f(x1)f(x2)f(xOx1x1 x2x 2xOx1x1 x2x 2x22f (x)12定義設在區間 I 上連續 如果對I 上任意兩點x , x恒有f (

31、x1 x2 )f (x1) f (x2 )22那么稱 f (x)在 I 上的圖形是 (向上 )凹的 (或凹弧 )如果恒有f ( x1 x2 )f (x1)f (x2 )22那么稱 f (x)在 I 上的圖形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定義設函數 y f (x)在區間 I 上連續如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間 I 上是凹的； 如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間I 上是凸的2.曲線凹凸性的判定定理設 f (x)在 a, b 上連續在 (a b)內具有一階和二階導數那么(1) 若在(2) 若在(a,b)(a,b)內 f (x) 0 則 f

32、(x) 在 a,b上的圖形是凹的內 f (x) 0 則 f (x) 在 a,b上的圖形是凸的證明 只證 (1)(2) 的證明類似 )設 x1 , x2 a, b , ( x1 x2 )記 x0x1 x22由拉格朗日中值公式得f ( x1) f (x0)f ( 1)(x1x0 ) f ( 1) x1 x2x11 x02f ( x2 ) f ( x0 ) f ( 2 )( x2x0 ) f ( 2 ) x2 x1x02 x22兩式相加并應用拉格朗日中值公式得f ( x ) f (x) 2 f (x ) f (2) f (1) x2 x11202f ( )(2) x2 x101212即 f ( x1

33、)2f (x2)f ( x12x2 )所以 f (x)在 a,b上的圖形是凹的拐點連續曲線 y f (x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線 yf (x)的凹凸區間和拐點的步驟(1) 確定函數 y f(x)的定義域(2) 求出在二階導數 f (x)(3) 求使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點(4) 判斷或列表判斷 確定出曲線凹凸區間和拐點注 根據具體情況（ 1）、（ 3）步有時省略例 1判斷曲線yln x 的凹凸性解y1y1xx2因為在函數yln x 的定義域 (0,) 內 y0 所以曲線 yln x 是凸的例 2判斷曲線 yx3 的凹凸性解 因為 y 3x 2y6x 令 y0 得