1、新人教A版必修第一冊【新教材】3.1.1函數的概念(人教A版)教材分析函數在高中數學中占有很重要的比重，因而作為函數的第一節內容，主要從三個實例出發，引出函數的概念.從而就函數概念的分析判斷函數，求定義域和函數值，再結合三要素判斷函數相等.教學目標與核心素養課程目標1 .理解函數的定義、函數的定義域、值域及對應法則。2 .掌握判定函數和函數相等的方法。3 .學會求函數的定義域與函數值。數學學科素養1 .數學抽象：通過教材中四個實例總結函數定義；2 .邏輯推理：相等函數的判斷；3 .數學運算：求函數定義域和求函數值；4 .數據分析：運用分離常數法和換元法求值域；5 .數學建模：通過從實際問題中抽

2、象概括出函數概念的活動，培養學生從“特殊到一般”的分析問題 的能力，提高學生的抽象概括能力。教學重難點重點：函數的概念，函數的三要素。難點：函數概念及符號y=f(x)的理解。課前準備教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。教學過程一、情景導入初中已經學過：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等，那么在初中函數是怎樣定義的?高中又是怎樣定義？要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.預習課本，引入新課閱讀課本60-65頁，思考并完成以下問題1 .在集合的觀點下函數是如何定義？函數有哪三要素？2 .如何用區間表示數集？3 .相等函數是指

3、什么樣的函數？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1 .函數的概念(1)函數的定義：設A, B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合 A中的任何一個屬x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱 f: A- B為從集合A到集合B的一個函數，記作 y=f(x)x .(2)函數的定義域與值域：函數y = f(x)中，x叫做自變量,x的取值范圍叫做函數的定義域,與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合 叫做函數的值域.顯然，值域是集合B的子集.2.區間概念(a, b為實數，且avb)定義名稱符號數軸表示x|aw x<

4、b閉區間a, bab xx|av xv b開區間(a, b)a6 xx|a< x< b半開半閉區間ab)a£%x|a< x< b半開半閉區間(a, ba6 x3.其它區間的表示定Rx|x>ax|x>ax|x< ax|x< a乂符(號10° 一 ; QQ )a -kQQ )(a +oo)( OQ a(一OP a)四、典例分析、舉一反三題型一函數的定義例1解題技巧：(判斷是否為函數)1.(圖形判斷)y是x的函數，則函數圖象與垂直于x軸的直線至多有個交點.若有兩個或兩個以上的交點則不符合函數的定義，所對應圖象不是函數圖象2.(對應關

5、系判斷)對應關系是“一對或“多對一”的是函數關系；“一對多”的不是函數關系 跟蹤訓練1.集合A=x|0 WxW4,B=y|0 WyW2,下列不表示從 A到B的函數的是()C_v題型二相等函數例2試判斷以下各組函數是否表示同一函數f(x)=(一) ,g(x尸一；(2)y=x 與 y=1(xw0);y=2x+1(x C Z)與 y=2x-1(x C Z).【答案】見解析【解析】：(1)因為函數f(x)=( 一)2的定義域為x|x >0,而g(x)=一的定義域為x|x CR,它們的定義域不同，所以它們不表示同一函數.(2)因為y=x要求xw。,且當xwo時,y=x =1,故y=x與y=1(x

6、w0)的定義域和對應關系都相同，所以 它們表示同一函數.y=2x+1(x CZ)與y=2x-1(x C Z)兩個函數的定義域相同，但對應關系不相同，故它們不表示同一函數 解題技巧：(判斷函數相等的方法)定義域優先原則1 .先看定義域，若定義域不同，則函數不相等2 .若定義域相同，則化簡函數解析式，看對應關系是否相等跟蹤訓練二-1.試判斷以下各組函數是否表不同一函數：f(x)= ,g(x)=x-1;f(x)= 一,g(x尸-;f(x)=) ,g(x)=x+3; f(x)=x+1,g(x)=x+x;汽車勻速運動時，路程與時間的函數關系f(t)=80t(0<t<5)與一次函數g(x)=8

7、0x(0 < x<5).其中表示相等函數的是 (填上所有正確的序號).【答案】【解析】f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數；f(x)與g(x)的解析式不同，不是同一函數；f(x)=|x+3|, 與g(x)的解析式不同，不是同一函數；f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數；f(x)與g(x)的定義域、值域、對應關系皆相同，是同一函數.題型三 區間例3已知集合A=x|5-x >0,集合B=x|x|- 3W0,則AA B用區間可表示為 .【答案】(-8,-3) U (-3,3) U (3,5【解析】A=x|5-x > 0, . A=x|x < 5.B=x|

8、x|-3w0, B=x|x w± 3.AA B=x|x<-3 或-3<x<3 或 3<x< 5,即 An B=(- 8,-3) u (-3,3) U (3,5.解題技巧：(如何用區間表示集合)1 .正確利用區間表示集合，要特別注意區間的端點值能否取到，即“小括號”和“中括號”的區別 .2 .用區間表示兩集合的交集、并集、補集運算時，應先求出相應集合，再用區間表示.跟蹤訓練三1 .集合x|0<x<1或2WxW 11用區間表示為 .2 .若集合A=2a-1,a+2,則實數a的取值范圍用區間表示為 .【答案】(1)(0,1) U2,11(2)(-

9、8,3)【解析】(2)由區間的定義知，區間(a,b)(或a,b)成立的條件是a<b. A=2a-1,a+2,2a-1<a+2. a<3,實數a的取值范圍是(-8,3).題型四 求函數的定義域例4求下列函數的定義域：(i)y= "-;(2)f(x)= -.| 1 -【答案】(1) (- 00,-2) U (-2,0)(2) (- 00,1) U (1,4【解析】(1)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足|'即 - '解得x<0,且xw -2.| |-, I I ,故原函數的定義域為(-8,-2) U (-2,0).(2)要使函數有意義，自變量x

10、的取值必須滿足-,即 ，-,故原函數的定義域為(-8,1) U (1,4.解題方法(求函數定義域的注意事項)(1)如果函數f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R;(2)如果函數f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數組成的集合；(3)如果函數f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數組成的集合；(4)如果函數f(x)是由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成的，那么函數的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集).跟蹤訓練四1 .求函數y=-的定義域.2 .已知函數f(x)的定義域是-1,4,求函數f(2x

11、+1)的定義域.【答案】(1)-，且(2)-, 一【解析】（1）要使函數有意義，需解得-_w x<2,且XW0,所以函數y=-= -的定義域為-，且(2)已知f(x)的定義域是-1,4,即-1WxW4.故對于 f(2x+1)應有-1W2X+1W4,-2<2x<3,- 1<x< -.函數f(2x+1)的定義域是-,-.題型五求函數值(域)例 5 (1)已知 f(x)=(x C R 且 xw 1) , g(x) =x +2(x £ R),則 f(2) =f(g(2)=（2）求下列函數的值域:CD y = x+ 1；y=x -2x + 3, xC 0,3);第

12、8頁共8頁3x1 3x+3 4(分離常數法)y=O1 = x+143-x+7.y =;y=2x 1115【答案】(1) 37(2)R 2,6)y|y C R且yw3 忖，十0°J4x+ 1W0,3x1x+ 1的值域為y|y eR且yw3.(換兀法)設1 =,.反一1,則 t>0 且 x = t +1,所以 y = 2(t +1) 1=2 ' t -I"-,由 t > 0,再結合函 48數的圖象(如圖)，可得函數的值域為解題方法(求函數值(域)的方法)1 .已知f(x)的表達式時，只需用數a替換表達式中的所有 x即得f(a)的值.2 .求f(g(a)的值應

13、遵循由內到外的原則.3 .求函數值域常用的 4種方法(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到；(2)配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時，可利用配方法或二次函數圖像求其值域；(3)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；(4)換元法：即運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域.對于f(x)=ax+b+(其中a, b, c, d為常數，且a 0)型的函數常用換元法.跟蹤訓練五1.求下列函數的值域：(1)y =+1;(2)y=.【答案】(1) 1 , + ) (2)【解析】(1)因為、：2x+1>0,所以、2x+1 + 1A1,即所求函數的值域為1 , 十°°).1 -x22(2)因為 y= - 2= - 1 + - 2,2 + x1 + x又函數的定義域為 R,所以x2+1>1,所以0V7rz2rW2,則yC ( 1,1. 1十x所以所求函數的值域為( 1,1.五、課堂小結讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧六、板書設計3.1.1函數的概念1.定義例1 例2 例3 例4 例53 .區間七、作業課本67頁練習、72頁1-5就學反思本節課主要通過從實際問題中抽象概括出函數概念的活動，培養學生從“特殊到一般”的分析問題的