1、第1講 向量代數和空間解析幾何一. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數量積和向量積、向量的混合積1 向量(矢量):既有大小又有方向的量,如速度、位移等,常表示為等.向量通常用有向線段表示:有向線段的長度表示向量的大小(又稱為向量的模,記為),有向線段的方向表示向量的方向.2 向量的線性運算加（減）法:三角形法則平行四連形法則數乘: 3 向量的數量積(點積、內積)數量積(點積、內積)：，向量的模向量與向量的夾角滿足：4 向量的向量積(叉積、外積)向量積的模,方向垂直于和,且,符合右手法則.幾何意義:(1) 的模是以和為鄰邊的平等四邊形面積;(2) 與一切既平行于又平行于的平面垂直.5 向量的混

2、合積混合積 為與的夾角幾何意義:平行六面體的體積向量共面6 向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數與方向余弦向量運算的坐標表示設,為實數,則有加（減）法：數乘：兩個非零向量與平行的充要條件是(當分母為零時,分子也為零)向量的模: 單位向量：方向角:非零向量與三個坐標軸正方向的夾角,記為.方向余弦:, ,且滿足例 已知兩點,求向量的三個方向角的方向余弦.設, 數量積： 向量積：混合積：二 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程曲面方程在空間直角坐標系中,如果曲面和三元方程滿足下列條件:(1)曲面上任一點的坐標都滿足(2)不在上的點的坐標都不滿足,即滿足的點都在上,稱是曲面的方程,曲

3、面是方程的圖形.曲線的方程空間曲面,空間曲線的一般方程為: 特別地,曲面與三個坐標面的交線方程為,例如: 表示球心在原點,半徑為2的球面與平面的交線,是一個在平面上的圓.1 平面法線:垂直于平面的直線法向量:垂直于平面的任一非零向量平面的點法式方程設平面經過點,是它的一個法向量,是平面上任一點,則有即 例1 已知平面過兩點和,求經過點且與直線垂直的平面方程.解: 平面的法向量平面的方程為即:例2 已知不共線的三點,和,求過這三點的平面方程.解法1: ,平面的法向量:平面方程為即:解法2:設為平面上的任一點,則共面,即 ,即從而得平面的三點式方程過已知三點,和的平面方程為平面的一般方程 在平面的

4、點法式方程中,記,則得平面的一般方程: 平面的法向量為 (1)若,方程為,表示過原點的平面.(2)若,方程為,表示平行于軸的平面. 若,方程為,表示平行于軸的平面. 若,方程為,表示平行于軸的平面.(3)若,方程為,表示過軸的平面. 若,方程為,表示過軸的平面. 若,方程為,表示過軸的平面.(4)若,方程為,表示平行于坐標面的平面. 其它類似.例3 求經過軸及點的平面方程.解:設所求平面方程為,代入點,整理得.例4 設平面方程為,求過原點且與該平面平行的平面方程.解:所求平面法向量為且過點 所求平面方程為:平面的截距式方程例5 設平面與軸,軸,軸分別交于三點,和,其中均不為零,求該平面的方程.

5、解:設平面的一般方程為,代入三點得,所求方程為稱之為平面的截距式方程. 稱為平面在軸上的截距.2 直線直線的一般方程,其中和不成比例.直線的參數方程及點向式方程(或對稱式方程)設直線過點且平行于非零向量稱為的方向向量,稱為的方向數,設為直線上的任一點,則,即,整理得參數方程;點向式方程若分母為零,則分子也為零.直線的兩點式方程例1 求過點和的直線方程.解: 所求直線的方程為例2 已知直線的一般方程為,求其點向式方程和參數方程.解:兩平面的法向量為, 取直線上一點 點向式方程:即 參數方程:5 點、平面、直線的位置關系點到平面的距離 是空間一點,平面方程 點到平面的距離為例1 求兩個平行平面與之

6、間的距離.解:在平面上任取一點,則點到直線的距離 直線方程為,為空間一點,則在直線上且直線的方向向量過作向量,使,則例2 求點到直線的距離.解: ,兩平面的夾角設兩平面,則其法向量的夾角(不取鈍角)即為兩平面的夾角 例3 設平面過原點及點,且與平面相互垂直,求此平面方程.解:設所求平面的方程為 因為平面與相互垂直,所以 又平面過原點及點,所以 解得,代入整理得.兩直線的夾角設直線與的方向向量為與,兩直線的夾角即其方向向量的夾角(不取鈍角).例4 兩條直線的參數方程為,驗證與是異面直線(不平行,不相交),并求與的夾角.解: ,顯然與不平行.若與相交,則必有,但此方程組無解,故與不相交,所以與是異

7、面直線.平面與直線的夾角即平面的法向量與直線的方向向量的夾角直線與平面垂直直線與平面平行設直線與平面的夾角為,平面的法向量與直線的方向向量的夾角為,則例5 已知直線和平面,求與的夾角.解: 平面的法向量 平面束 平面束:過空間直線的無窮多個平面. 設直線的方程為 過的平面束方程為 即例6 求過平面和的交線,且在軸,軸上有相同截距的平面方程.解:設過此交線的平面束方程為即化為截距式:由題意,解得,代入得所求平面方程為例7 設直線,試求在平面上的投影直線的方程.3 球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形（1）球面 求以點為球心,以為半徑的球面方程.

8、解:設為球面上任意一點，由題意有兩邊平方得:該方程即為所求的球面方程.特別當球心在原點時，即，球面方程為是球面的上半部分方程.是球面的下半部分方程.練習:方程表示怎樣的曲面?（2）柱面 設為確定的直線,為確定的曲線,動直線與相交但不重合, 始終平行于沿曲線運動形成的曲面,稱為柱面. 稱為母線, 稱為準線. 母線平行于軸的柱面:,準線: 母線平行于軸的柱面:,準線: 母線平行于軸的柱面:,準線: 如:圓柱面:;橢圓柱面: ;拋物柱面: （3）旋轉曲面 平面上曲線繞定直線旋轉而成的曲面稱為旋轉曲面. 稱為對稱軸, 稱為母線. 旋轉橢球面: 平面圖形或繞軸旋轉而得 旋轉拋物面:, 平面圖形或繞軸旋轉而得例：寫出空間曲線繞軸旋轉而成的曲面方程。（4）錐面 為空間曲線,為外一點,由與上所有點的連線形成的曲面,稱為錐面. 橢圓錐面: 圓錐面:7空間曲線的參數方程、一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程 空間曲線的參數方程:例 一動點開始位于面的點,它以角速度繞軸旋轉,并始終與軸的距離為,同時又以線速率沿軸正方向上升,試建立其軌跡曲線的方程.解: ,令,得,稱為螺旋線.三.二次曲面(截痕法)1.橢球面: 叫做橢球面的半軸.2.拋物面: 橢圓拋物面.四空間幾何圖形 設為一空間曲線，為一平面，稱以為準線，垂直于的柱面為曲線對平面的投影柱面。 投影柱面與的交線為在