1、實用文案2010高考數學備考之放縮技巧證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛 能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數其放縮技巧主要有以下幾種:列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮;一、裂項放縮例 1.(1)n o 求5 2 的值;(2)y4k2 -1n求證：-1j5<3解析：(1)因為_2 4n2L,所以(2n -1)(2n 1) 2n -1 2n 12二1 -77:4k -12n 12n2n 1(2) 因為1n21&l

2、t;2n1一44n2一 二212n -11所以，1記：:：1 k工k11-23 52n -1 2n -1奇巧積累:(1)424n4：4n2 .12n1Cn 1C2(n - 1)n(n -1)n(n -1) n(n - 1)Tr 1 =Cn!r!(n -r)!r -n r! r(r -1)11k”-2)(1 -)nn一, < n(n -1)2(6)2n(2n)2n1 2n2(<n * <'n) <： <2(；n 7n 1) (8)(9)11(10)k(n - 1 -k) n _ 1n 1 - k1(nF)! n !(n 1)!(11)2n _2nn(11)(

3、2n -1)2(2n1n -2 - n12n1_二_, k n 1 , n(n 1k) k 1 n n 1 k2n(2n ：1) 2n- -3) 2n21n - - n2:)(2n)"(2n -1)(2n -2) -(2n _1)(2n-1) -2n±-1 2n _1(n _2)(12)1 1 . 11n3n n2n(n -1)(n -1)n(n -1)n(n -1n , 1 一1n -112 n2n 1 =2 2n =(3 -1), n -1n 丁1(13)2n .3= 3(2n -1) 2= 2n -12n -12n(14)(15)k! (k 1)! (k 2)!(k

4、-1) ! (k 2)!1n(n - 1):二 n -：；n T(n _2)(15) 2. 2i-J(i -j)( i2 1 - j2 1)i2 1 - j2 1：:1例2.(1)求證：+1+1 *+11 _2_ 2_235(2n -1)1(n -2) 2(2n -1)求證：1 .工.一4 16364n21<214n標準文檔求證：1 .11 .1A± .1 3 5 - <2n-1):二 2n 1 -1246- 2n求證111 一 2( n -1 _1) ：-1 一 一 -. 2( 2n 1 _1)23n '解析：(1)因為 111,11 )所以(2n)2(2n _

5、1)(2n 1) =2 2n J -211, 1 ,11 、 , 1/1i(2i)2 '2 3 -2a-1-2 312n-J1111 一 ,一 24 16 364n4d先運用分式放縮法證明出13 57Y2n_1）1,再結合進行裂項，最后就可以得到答案2 4 6- 2n ： 2n 1：:? n - n（4） 首先工 y（、百下一.不）=2,所以容易經過裂項得到-yn ''''<n -1 , n1112( n 1 -1) ：-1 一 一 一,23n再證1 . ,2(. 2n 1 _ 2n _1) n而由2 22- 2n 1 . 2n _1 -11n -

6、 - n _2-2均值不等式知道這是顯然成立的111- 1 -： 2( 2n 1 -1)23 n例 3.求證： 6n . .1 .1, 15(n 1)(2n 不 ,1 4 9 芾：3解析：一方面：因為141 11',所以n2 （n24n2 1 'gn-2n 中）一4另一方面 :1 J J . 1 J . 1. 1.11= n4 9 n22 3 3 4 n(n 1) n 1 n 1n6nn 1 (n 1)(2n 1)當n =1時,6n1 11 ,二1 一 一, (n 1)(2n 1)4 9n當n=2時，6n "1*1*-*1,所以綜上有(n 1)(2n 1) "

7、;4 9 n26n(n 1)(2n 1)例4.（2008 年全國一卷）設函數f (x) =x xln X.數列an滿足 0<A 4 an+=f (an).設 bW (a,1)，整數 k> 亙士 .證 a1 In b明: ak 1-b解析：由數學歸納法可以證明a 是遞增數列，故存在正整數m郎，使am登b，則ak + >A批，否則若am <b(m Ek)，則由 0Mam <b <1 知am |n am a1|n am <a1 ln b <0，ak +=ak ak In ak =a1 g am In am，因為 Z am In am <k(a11

8、n b)，m±m 王于是 ak 1 也 'k | at In b| _a1 (b -a1) =b例 5.已知 n,mN+xA = ,Sm=1m+2m +3m+一+nm，求證:nm+<(m+1)Sn<(n+1)m + -1.解析：首先可以證明：(1 +x)n耳+nxnm#=nm + -(n -1)m+*n-1)"y-2嚴卡T1m+w=£km+YkT)m所以要證k的nm + <(m+1)Sn <(n+1)m+1 只要證:故只要證nnVkm1 .(k .1)m1 Mm 1尸 kmk 1_kJ.立(k+1)m+.k*,即等價于 k 1nnn

9、Vkm1_(k_1)m1:二(m 1尸 km：(n1)m 1 _1 =(n1)m1_nm 1 - nm 1_(n_1)m 1,+卜2m1_1m1(k1)m1 -km Jk 1_k J_k J_km + _(k,)m+<(m+1)km<(k+1)m + _km，即等價于 1+m+1>1 +2)m+1 _m+1(1_2)m +kk ，一 kk而正是成立的,所以原命題成立.例6.已知anncn=4 -2 , Tn =2n, 求證: T1 +T2 +T3 +一 +Tn <|.解析：T _4i n "：u42 ：43 - - 44n_(21 22 - - -2n)4(1

10、 4n)2(1 2n)(4n1 _41 .23_1) 2(1 _2n)所以Tn2n2n3 2n2n4(4n)2(1 2) £ J 2 山 £ .2 /n1. -T=2 -2 33 -3332 (2n)2 _3 2n：；132n311=2 (2 2n _1)(2n _1) 7 2T j 一h1例 7.已知 x =1, n(n =2k -1,k E Z),求證： 1 -xnn -1(n =2k,k 三Z)111 一 _- ：.- 2( n 1 -1)(n - N*)4 x2 x34 x4 X54 x2nx2n 1證明：11111 力9，因為4 X2nX2n1-4(2|"

11、;1_1)(2n - 1)-44n2.144n2一 2 n -2 n2詬 <訪, 所以 1>立=V2(<K414 X2nX2n 12 nIn ； In 1所以 1.14 X2 X34 X4 X51 - : , 2( n 1 -1)( n 二 N*),.”X2nX2n 1-二、函數放縮例 8.求證：ln2 +ln3 +ln4 平一十帖 3n m3n _5n +6N * ) .2343n"6解析:先構造函數有八心也.，從而"連記 x - x234因為1 1 .2二二'-;1 1 -1一- A2 33n2 34 5 6 7 8 92n 2n，13n53

12、3 2.2.3二.32 =5n66 918 272 323n 6所以 ln2 ln3 . ln4 . ln 3nn 5n n 5n 63 1 3 2343n66例9.求證:(1)ln 2 - ln 3 - . ln n _ 2n2 - n -1, 2 :3：n? ：" 2(n 1)(n -2)解析：構造函數lnx,得到lnnSnn2,再進行裂項lnn2廣 1 M 1，求和后可以得到答案f(x)二一一-2- -1 ；1 xn_ n2nn n(n 1)2 , n 1=In1 n+ln n十一十ln 2 n -1函數構造形式ln x :-x, ln x 1 _2 x當然本題的證明還可以運用

13、積分放縮如圖，取函數1, f (X) x首先：S ；1,從而,SABCF :二 nixn 1,x =lnI ix in i =ln n _ln( n _i)取 i =1 有，1 n jn(n),n函數構造形式：ln x <x _1 , innot<na(a ±2)例10.求證：1十1十。十_ <in(n +1) <1 +1中。1-2 3 n 12 n解析：提示：ln(n+i)=inn_ll JLn n -1所以有,n2, 1 <|n3n2, n<|nnn(n一1),去<|n(n*)nn，相加后可以得到:招iy小+1)另一方面QSABDE7，從

14、而有> 一n-i xn 1> f =ln x |n i =ln n ln( n i) n±x取i =1有,>ln n -ln(n1) n -1所以有ln(n+1)4J+/,所以綜上有2 n2+3»+高加ey+2十七例11.求證:(TkFJW，(16-解析：構造函數后即可證明例 12.求證：(1 十儼2) (1 +2父3) ：一 1+n(n+1) Ae2心解析：3，疊加之后就可以得到答案1nm 1)1 2nnin函數構造形式：31所(1七)3(加強命題)1n(x H) 2 , .1(x 0)：= x x 1(x 0)例 13.證明：ln 2 4ln 3/n

15、4 卡十. n 345 n 1n(n /)4 (n 二N*, n .1)解析：構造函數f (x) =ln(x -1) (x -1) +1(x >1) ,求導，可以得到：一2一,令 f '(x) >0有 1 <x <2 ,令 f '(x) <0有 x >2, x y所以 f (x) <f (2) =0，所以 ln(x -1) Ex 2，令 x =n2 +1 有，ln n2 <n2 -1所以lnn 上，所以 ln2 +ln3 fn 4 中,-345ln n n(n 7)n1 ：4 (n-N*，n 1)例14.已知 i j 1 、 a1

16、 =1,an 1 41)ann n1證明解析:1111an 1. zz(1 -)an ：'(1 - )ann 1 n(n 1) n 2n n(n 1) 2n n然后兩邊取自然對數，可以得到11ln a ln(1 - -) -ln ann 1 n(n 1)2nn然后運用ln(1以)小和裂項可以得到答案)放縮思路：1111.an'jR：" n 丁問二 ln an 1n(1 'n2 n '2n) -lnan = .,11。于是11 ,Eman .L ,下ln an 1 -n <n-n N彳 J、n1n 1.n 1.11 11 /)一 11. (lnai

17、 1. nai)-Ji2 i -2i)=nan Jna1- -1ni 1i 1 "In 11114二二一 2即 lnan _lna1 ：2=.an :二e2.注：題目所給條件 爪1取)登(X>0)為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論2n >n(n)(n之2)來放縮：.1.1 一一an 1. _(1 -；T)an-an 1 1 <(1 . _)(an 1)_.n(n -1)n(n -1)n 1 - n(n J) n 11n="11)ln(an 1 -1) _ln(an 1) <ln(1 ).=、小3 1月1) _小3

18、-1):八-ln(an 1) _ln(a2 - 1) :1：1n(n _1)n(n _J)、-2T2 i(i -1) ', n ,即 ln(an 1)：二1 ln 3=. an ：3e1 ：e2.例15.(2008年廈門市質檢)已知函數f (X)是在(0,g 上處處可導的函數，若Xf(X)>f(X)在x>0上恒成立.(I) 求證：函數 f(X) 上是增函數;g(X) _LL在(0,比(II) 當 X1 >0, x2 >00寸,證明：f (X1) +f ( x2) <f (X1 +x2)；(III) 已知不等式小(1也)<x在x且x加時怛成立，求證:1

19、2121212A二ln22 ,ln32 31ln42 :一，_L_ ln(n 1)2n尹 孑 7(n 1)22(n： ；1)(n：:;2)*(n 5N ).解析：(I)f'(x)x _f (x),所以函數 g1(x)=一丁一 0g(x)47上是增函數 X(II) 因為f(X)上是增函數，所以g(x) 在(0,二)Xf (xj f(x. X,) 一X<2 hf(X1)f(X1X2)X1X1X2X1 X2f (X2)f(X1 X2)X2：- - f(X2):二 f(X1 x2)X2Xi X2X X2兩式相加后可以得到f(x1) -f(x2) ：: f (X1 - x2)f (X1)f

20、(X1 五2 十一七n)_)X1X1：" X1 "X2 一 fn iX1' X2 i fnf(X1 X2 - ' Xn)f (x2)f(x1 x2 +-：；、)X2:二12 f(x2):二2X2X1 -X2 -XnX1 -X2 - iXnf (X1X2 -xn)f (Xn) f (X1X2 ："：；Xn)_ f 人 ) , Xn f (Xn) XnX1X2, XnX1X2, Xnf(X1 X2 - ' -Xn)相加后可以得到：f (X1) - f (X2) "- f (Xn) : f (X1，X2，'，Xn)所 以X1ln

21、X1+X2lnX2+X3ln X3+xnln Xn <(X1 +X2 +"十 Xn ) l nx(+ X2+ ' ' +xn)令 1 X"一 (1 n)21212122 1n 22 - 2 ln32 - 2 1n 4222324211.1223242(.(n11)2 仆 1)一1n 11 1(n 1) 22232 (n -1)21- ln (n 1)22 113 2 (n 1)n111n I -J I n 1 2 n 2 - 2(n 1)(n 2)所以 12121212 n-ln2 - -ln 3 ln 4 ,一-2 ln(n -1)/ 甲(n 22(

22、n .1)(n .2)*(n EN ).( 方法二)ln(n y2 ln(n 中)2(n 1)2 I(n 1)(n -2) 一(n 1)(n 2)所以 1 i c21 , 21 , .21. .2.g ln22 3/ ln32 尸ln 42 4 & n，小 1)2 .ln 4ln4ln 4n4又一， 1,所以1111nln4 1-11n 22 -Lln32 -1ln42 .1 ln(n 2n (n 三N*).n 1273T42而守，2(n .1)(n .2) '例16.(2008年福州市質檢)已知函數f(x) +此x.右a gb /,證明：f(a)* *)ln2 A(a *)

23、_f(b). 解析：設函數 g(x) _f(x) +f (k _x), (k >0). f (x) -xln x,g(x) -xln x _(k _x)ln(k _x),.0 :二x 小.x.g (x) -ln x 1n(k _x) _1 Jn,k -x令g'(x),則有 x1=2、" A0=k <x<k.k _x f k _x . f 2 :函數 k )上單調遞增，在(0k上單調遞減.g(x)在2,k, , 2;g(x)的最小值為k，即總有g(x) >g(k). g(2)2，而kkkkg(k) =f(k) - f(k _) =kln k =k(lnk

24、 _ln 2) =f (k) _kln2, 2222,g(x)：_jf(k)-kln2,即f(x)- f(k-x)_f (k) -kln 2.令x =a,k =b,貝U k與也.f (a) - f (b) _f (a b) (a ' b)ln 2.,f (a) (a b) ln 2 _f (a b) _f (b).三、分式放縮姐妹不等式：>b+m(b >a >0,m >0)和 b但 >b>0,m >。)a a ma a m記憶口訣”小者小，大者大”解釋：看b,若b小，則不等號是小于號，反之.例 19.姐妹不等式：(1 書)(1 +1)(1 +1

25、)(1 4-_A_) 2n + 和1、.“1+1一. 1也可以表示成為-) (| ):6 2n 2n 12 4 6.22n.1T和 1 3 5(2n-1) 2n 11 3 5 . ' (2n )2 4 6 .一 2n1：/2n，1解析：利用假分數的一個性質b b可得(b .a .0,m .0)ra a -m2 4 6 2n 2 5 7. .2n 1 J 3 5. .2n -11 3 5 2n -12 4 6 2n 2 4 6 2n ( n=/ 4 62n y >2n 十即(17)(1 +1)(1 +1)一(1 +-)j2n +1.1 3 5 2n f35 2n -1例 20.證明

26、：0 +1)(1 +i)(1+1)一 (1>v3n+1.47 3n -2解析：運用兩次次分式放縮：2 5 8 3n/3 6 9 3n ( 力口 1) _.1 4 7 3n _22 5 8 3n .12 5 8 3n/4 7 10 3n+1 (加 2) ' '- '"" . ' '' 1 4 7 3n _2 3 6 9 3n相乘，可以彳I到：3n -23n-1(3n 1)25 83n_124 7 103n 11 4 7, 一11I.11 I14 73n_22 5 83n _1258所以有(1 .1)(1 .1)(1 .；)

27、 一。.3nl_2).3 3n 1.四、分類放縮例21.求證：1工上1 n1 '2 3 '2解析:,111 、 1n ,1 、 n(n n .n) - - = (1 -n)2222222例22.(2004年全國高中數學聯賽加試改編)在平面直角坐標系xoy中，y軸正半軸上的點列 出廣曲線y _<,2x( X>0)上的點列亞W足0Ati =OBn =1，直線AnBn在x軸上的截距為an.點Bn的橫坐標為bn,nWN*.(1)證明 an>an1>4，nWN* (2)證明有n0 WN也使得對nh An,都有三且+b±<n，008. b1b2bn

28、1 bn解析:(1)依題設有:1A 0,- ,Bn 1bl, .2bn , 1bl .0OBn J 得:n,n三N*,又直線AB在X軸上的截距為an滿足-02b；=0bn_0an： 一bn2n2bn=1 w2bn2.0,bn- 2 =4-:n . n1 h 2bnn abn 1 n . 2bn12:-7-2 =-z- -=1 -2n bnn bn n bn顯然,對于1、1 f ,有an >an4>4, n W N n X 1 ,證明：設2n 1 1112n 1(n+j.227 J2") ncn 1 . bn-1, n EN* bn；2n 1 n 2)2 n 11*=n 0

29、,. Cn , n - Nn 2設Sn =C1 +c2 用I 九n,nWN*，則當 n =2k 2 A1(k N* )時,Sn12 1 一 k 1 1 k _1 o2 22234 22k =-所以，取n。=24009 _2，對./都有:1 -b2-.-H -b3- - - 1 _也bithbn4017 _1 二2008故有 b2 +b3 +一 + bn +bn+<n _2008成立。b1b2bn 1bn例23.（2007年泉州市高三質檢)已知函數f (x) =x2 +bx +c(b±1,c w R)，若f (X)的定義域為 -1, 0,值域也為 - 1,。】.若數列bn滿足bn

30、=f（n）（n三N n）,記數列bn的前n項和為Tn ,問是否存在正常數 A使得對于任意正整數 n都有Tn<A?并證明你的結論。解析：首先求出f（X） =x2 +2x，bnf (n) n2 2n 1. _1Tn =b1 , b2b3，bn1 -211十十十114 -=-，8 2+-2k .Tn - T,因此，對任何常數A,設m是不小于a的最小正整數,則當n >22m工時，必有t2m -2 d-=m故不存在常數A使T<A對所有n ±2的正整數恒成立.例24.（2008年中學教學參考）設不等式組x>0,表示的平面區域為D ,設D內整數坐標點的個數為a 設y >

31、;0,y <_nx +3nSn =工，.，'1 7n 11 .an 1, an 2a2n當n22時，求證:五、解析：容易得到a1a?an =3n,所以，要證1a1a2n11- 11a2a3361 ：（-；1a2n7n由1只要證S . =1十1+卡十>. 2362 327n+11,因為1282n J 2 (3 4) g T 1 8) (n -1)=12n1 27n+11,所以原命題得證.12迭代放縮例25.已知 xXn彳X1二,求證:當n您時，之ixw”i g1 _n_解析：通過迭代的方法得到x _2| < 1 ,然后相加就可以得到結論n 21工例26.設S1一 sin

32、 n!,求證：對任用的正整數k,右k） n怛有：| Sn+k 811V-h nsin 1! sin2!支n 2122解析：iSnk£i±sin2n 1)! sin(n-2)! 1y.】sin(n 火)-4sin(n 1)!sin( n 2)!sin(n ' k)實用文案1a4a m am 1-8標準文檔又2n =(1 +1)n C0n 4C：十一 4Cn >n六、借助數列遞推關系例 27.求證：1 J 3 J 3 5 4.j 3 5(2n/)22 12 n 2 一12 2 42 4 62 4 6 2n解析: 設 an_135(2n)則 n 2 4 6 2n2n

33、 -1an 1 二2(n -1)c/C 上，從而an =. 2(n -1)an 1 =2na” a”an =2（n +1） an + -2nan，相加后就可以得到11a1a2- fn=2(n1)%f.-2a12(n 1) . 1：<2n2) 一 12n 3'2n -2所以11 3 13 52 27 2T161 3 5(2n 1)二二(_=22n 2 ,12 4 6 2n例28.求證：1 +12/3 5 ,一/35-.一(2n/)1n2 2 4 2 4 62 4 6 2n解析：設a _1 3 5亡(2n)則n - 2 4 6 . - 2n2n 1an 1 =a12(n 1),從而n

34、 =2(n 1) 1an 1 =(2n 1同 an 1an+ =2(n+1) +1an+(2n +1)an，相加后就可以得到13a1 -a2，-an -(2n 1)an 1.-3a1 ：-(2n 1) .一 ：- 2n 1-12n 1 2例29.若a1 =1自+ an =n節，求證：1J e仆2Xn) a1 a2an 一解析：c,1an 2 an 1 =n - 2 =an an 1 1=an 2 -3nan 1所以就有1111一- -廣” .1-2d七、分類討論例30.已知數列an的前n項和Sn滿足Sn =2an +（fn,n之1.證明：對任意的整數m >4 ,有 1 41 +.+17a

35、 4 a5am 8解析：容易得到an =2 2n- （二）n1.l由于通項中含有(一1)n,很難直接放縮，考慮分項討論：當 n3且 n為奇數時 1 +1 _3( 1+ 1 ) _32n2 42dan an 1 -2(2n2：1 2n %1)2 22n 壬工一2n 二一1g2ny"=3 ( 1+1 ) (減項放縮)，于是222n22n 2.2n -1當m >4且m為偶數時 工+工+一+上=1 +(1 + 1)4+( 1 + 1a4a5ama4a5a6a(m 上a<m1117由得證。.實用文案標準文檔八、線性規劃型放縮例31.設函數f (x)_2x邛.若對一切xwr, _3

36、<af (x) +b <3，求a _b的最大值。=x2 2_解析：由1(f(x)(f(1)=2,Cx42)2(x 1)2 知2(x2 2)21即 1(f(x) _)(f(1)_1)<0_f (x) <1由此再由f(x)的單調性可以知道 f(x)的最小值為 1,最大值為1因此對一切x W R, _3 <af (x) +b <3的充要條件是,-21J 二a b三3|' 3 <a b 空即a, b滿足約束條件a 4b之且a:；b <3a -b .£3由線性規劃得,a -b的最大值為5. 九、均值不等式放縮例 32.設 s _ 1_2

37、+ 2 3 * - + n(n +1).求證 n(n 書)(n +)2n :Sn解析：此數列的通項為ak .般+%k =i,2,n.k k 1 k : k(k T)k ;2,即 n(n 7) n(n T) n (n -1)<Sn2 F注：應注意把握放縮 的“度”：上述 不等式 右邊放縮用的是均值不等式_芍，若放成、k(k+1)<k+1則得C 白山孫(n+1)(n43) (n+1)2 ,就放過“度” 了！Sn 八(k -1)=k 1227闋K染三色罕二也1ai一根據所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里an其中，n =2,3等的各式及其變式公式均可供選用。例33.已知函數

38、f=1 a 2bx4,且f(x)在0 , 1上的最小值為 f =5' '1 , 求證：f (1) - f (2) - - - f (n) .n 1 一1222解析：4x1:f (x) =1 14x 1411.2")f(n) .(2 2)11(1 -TV)(1TV=n A- 2n 12.例34.已知a, b為正數，且上t a b,試證：對每一個nWN中, (a.)n an _bn 222n 2n +解析：由1+1 =1 a b得 ab = a +b ,又(a +b)(1 +1)=2 +旦 +上之4，故 ab = a + b 之 4 ,而(a +b)n =C0an +C；

39、an% +C：an，r + +C：bn，令 f(n) =(a +b)n an -bn , 貝1J f (n) =C：an% +C：anHbr +Cn"abn"，因為 C： =C：，, 倒序相加得2 f (n) =C；(anab +abn 十一十Cn (anqbr +arb")+。+C尸(ab"+an%)，n而 an 七十abE=3=anr 十arbn工=abn'+an'b 至24rOF >2 42=2-則2f (n)=(cn +C： +C廠)(arbn，+abr) =(2 n 2)(ar b-+an*br)至(2n 2) 2n+,所

40、以 f(n) 2(2 n2)，2n,即對n n n2 nn. !.1母個 nwN *, (a+b) a b 之2 -2n 1例 35.求證 Cn +Cn2 +C； +-+Cn >n 2-(n>1,n N)n解析：不等式左 C1 +C： +C：+一+C： =2n -1 =1+2+22 +-* +2n->n - 2 22 l，2n= n 2- , 原結論成立.n例 36.已知 f (x) =ex+e”，求證：f (I) ,f ，f(3) :f (n)>(en + +l產：11個 ax21f(xi)于(X2)=(ex1 -) (ex2 ) =e、1 x2f£eee

41、e e en經過倒序相乘，就可以得到f(i) ,f(2)，f(3) ：，f (n) >(en+11解析：例 37.已知 f(x) =x +1 , 求證：f (i)，f (2)，f (3) ：, f (2n) >2n(n +1)n - x,2(2n 1 一 k) 211k 2n 1 _k 1(k -_)(2n -1-k -) =k(2n 1 -k) - - -k2n 工1 _k2n 1 _kk k(2n 1 _k)其中：k =1,2,3L；2n , 因為 k 2n 4k(1 _k) _2n =(k _1)(2n _k)之0= k(2n +1 _k) 22n所以(k -l)(2n 1

42、_k 1) 2n 2k2n 1 -k 一從而f (1)，f (2)，f (3) l，f (2n)2 >(2n+2)2n,所以 f (1)，f(2)，f (3) 丫 ；f (2n) >2n(n+1)n.例 38.若 k >7 ,求證：Sn J +JL +JL + - + 1 4n n n 1 n 2nk -1 2解析：2Sn = 3) (土，高)(311-川+(nk-3nk -1因為當x >Q,y >0 時，x +y >2Vxy,1 +- >-2= x y xy,所以(x +y)(1 +1)之4, 所以x y至4 ，當且僅當x yx = y時取到等號.所

43、以2Sn4n(k 口所以Snn -nk -1n 1 - nk -2 n ：!；2 nk 3n -nk _1 _ n -nk _12(k/)2(k 口1 : k - n例 39.已知 f (x) =a(xx1)(xx2)，求證: f(Q)/(1)/.16解析:2.a2: f(Q) f(1) = x1(1 -x1) x2(1 -x2) ,16.例 40.已知函數 f(x)=x2( 1)k- 2lnx(kG N*).k 是奇數，n G N*時， 求證：f' (x) n2n 1 f ' (xn)2n(2n 2).解析：由已知得f (x) =2x +2(x >Q)，x(1)當n=1

44、時,左式=(2x +2) _(2x+2) =0右式=0.，不等式成立. xxnonn -1n、2 nn -1n 2(2) n 或，£A=f (x) -2葉(x ) =(2x+ ) -2(2x + n)xx=2n(C：xn2 -C2xn4 C、令 Q C1n_2_C2n4n -2 1n -1 1S =CnX Cn XCnn_4 1 C nn2X - X -由倒序相加法得：“ c 1c1.1c2S =C：(xn 二+ n 2) 4C；(xn 土+ )十一 4Cn4 n 2 +xn-) x -x -X ->2(C； +C： +-+CT) =2(2n _2)，所以 S _(2n -2)

45、.所以f (x)n -2n- f (xn) >2n(2n 2)成立.綜上，當k是奇數，nW N 土時，命題成立 例41. ( 2007年東北三校)已知函數f (x) =ax )(a切（1）求函數f （x）的最小值，并求最小值小于 0時的a取值范圍;,0、&1'2'n 1'S(n) .(2n /) .f'(2)q S(n) =Cnf (1) +Cn f (2)中一 4Cnf (n_1)本位(2)S(n) £：(alna/)+C：(a2lna _1)卡- 4Cn'(an'lna _1)由f '(x)與xIn a,f&#

46、39; (x)/即：axln a , ax ,又a * x >_loga In a(Cna4C；a2 中布：-11jIn a_(C1+C；卡祀：,)ln a ,同理：f (x)區,有x <oga In a,所以f (x)在(qcJogaln a)上遞減，在(_logalna,七)上遞增;1 :：|ln ln a所以 f(x)min =f(Ogalna) ln a若f(x)min <0,即1 +n lna 4,則 lnlna 工，, ln a <1 ln ae1a的取值范圍是1 <a ee(a+aB +C；(a2 +an芻 牛一十C：Tan，+a) ln a_(2n

47、 _2) n_a2(2n _2)ln a _(2n _2) n=(2n _2)(a2 lna _1) =(2n _2)f'(n),2例42. （2008年江西高考試題）已知函數11f x =.1 x ,1 a所以不等式成立。, xRQ,如C）對任思正數a,證明：1：f（x）2斛析：對任后”Me的a >0, x >0,由111f(x)1 x 1 -a 18r ax若令b=_8,則孫=8，而 ax1 14 171:;a-M b(一)、先證 f p)>1 ；因為J 1 ,11 ,11 ,1 -x 1 x 1 -a 1 -a J1 b 1 -b又由 2 +a +b +x 之2

48、v27 +2 Jbx 244/2abx =8 ，得 a+b+x 26.所以1111113 2(a b x) (ab ax bx)f x =1xa1b 1 .a =(1x)(1 a)(1 b)9 -坦 -b x)二(ab »§x "bx)一 (1 ' x)(1 a)(1 - b)1 , (a b x) , (ab , ax , bx) , abx _I(1 x)(1 a)(1 - b)（一）、再證f （x7由、式中關于x, a, b的對稱性，不妨設x冬至b .則0cbM2(i)、當a+b27 ,貝1Ja之5,所以x>a>5,因為 1,一 一.11

49、* 1十2 此時1 x 1 a 1 J(ii)、當a*<7由得,8 ,1O' ab ,x，b1 x = ab 8因為_L ；1.一1 b 1 b 4(1 b)2邛 _±2 所以-4,<1-b_®2(1 b)1 b 2(1 b)只要證ab(1 a)(1 b) ab 8二 ab ,即 ab 48 >(1+a)(1+b)，也即 a+b<7,據，此為顯然.因此得證.故由得f(x) <2 -綜上所述，對任何正數a，x，皆有 1 j(X ¥2例43.求證:- ：-2n 2 3n 1 .n-! n-2'k=2 . nl 371111

50、23 42 4-解析：一方面：1n -1(法二)111n N .3n .1 -2_1 4n 2"2 ' (3n 1)(n 1)4n 24n 2+-+ +3n(n 2) (n 1)(3n 1)1=2n 1 .2(2n 1)12 口，22：，一1：，n(2n 1) _(n_1)1_22(2n - 1) -n>(2n+1)2=1(2n 1)另一方面：1n；：；i二2，.2n-1 ；：2n-2!：23n：；1 ' n ：；1 ' n ：；1十、二項放縮2n =(1 T)n =C0 C1，, C，2n CO - C： nnn n=n0 n0122-Cn C n C nn2 -n -222n .n(n_1)(n_2)例 44.已知 & -1,an #=(1 +1n2 !；n)an解析：，xan 4(1 ln(an 1.'.1) Tn(an1) <ln(1 -.1 .)an(n 1)111)行)"n(n -1)、n(n0).二、小但 1 1) -ln(ai 1)i -2即 ln(an 1) ：:1 , In 3= an ：:3e-1 ：e2.例45.設 1 ,求證：數列a單調遞增且a <4an =(1 1”nn ,解析：