1、編輯ppt9.3 曲面及其方程 編輯ppt定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :已知動點按照某種規律運動, 求運動(2) 坐標滿足方程的點都在曲面 S 上,軌跡所產生的曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何圖形( 必要時需作圖 ). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt故所求方程為例例1

2、. 求動點到定點),(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解解: 設軌跡上動點為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、球面及其方程一、球面及其方程編輯ppt例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(

3、222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯pptxyz二、柱面二、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間222Ryx過此點作柱面柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oC在圓C上任取一點 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點其上所有點的坐標都滿足此方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt

4、xyzxyzol定義定義2. 平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzoo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯pptxzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線

5、表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyz1l編輯ppt定義定義3. . 一條平面曲線三、旋轉面三、旋轉面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉面旋轉面.該定直線稱為旋轉旋轉軸，曲線成為旋轉面的母線軸，曲線成為旋轉面的母線例如例如 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM122

6、1,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點轉到0),(zyfozyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt思考：思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt例例3. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯pptxy例例4. 求坐標面 xoz 上的雙曲線12222czax分

7、別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉122222czyax繞 z 軸旋轉122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt總結總結(1) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉所形成的旋轉面方程均為Oxy( , )0f x y Oxz( , )0f x z x22( ,)0f xyz(2) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉所形成的旋轉面方程均為Oxz( , )0f x z Oyz( , )0f y z z22(, )0fxyz(3) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉所

8、形成的旋轉面方程均為Oyz( , )0f z y Oxy( , )0f x y y22(, )0fxzy編輯ppt四、空間曲線的一般方程四、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線 C

9、的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯pptzyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯pptzxyo1C又如又如, ,所圍的立體在 xoy 面上的投影區域為:上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122z

10、yx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt 9.4 二次曲面 編輯ppt二次曲面二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數不全為 0 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯pptzyx1 1. 橢球面橢球

11、面),(1222222為正數cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbca機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 z編輯ppt2. 橢圓錐面橢圓錐面( (二次錐面二次錐面) ),(22222為正數bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x

12、0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 雙曲線: 編輯ppt虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy

13、zxyzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 相交直線: 雙曲線: 0編輯ppt(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt4. 拋物面拋物面(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.( p , q 同號)zyx機動 目錄 上頁 下頁 返

14、回 結束 zqypx2222編輯ppt總結. 二次曲面三元二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt5. 化簡二次方程判斷曲面類型設三元二次方程的一般形式為2221122331213231232220a xa ya za xya xza yzb xb yb zc 令3 3123(),( , , ) ,( ,)TTTijAAaux y zbb b b則上面方程可寫為0TTu Aub uc因為A是實對稱矩陣，所以存在正交陣Q，使得123(,)TQ AQdiag 作正交變換u=Qv，則123(,)0TTv diagvb Qvc 編輯ppt即2221