1、學案3.1 導數的概念及運算自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】1平均變化率一般地，已知函數yf(x)，x0，x1是其定義域內不同的兩點，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當x0時，商，稱作函數yf(x)在區間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率2函數yf(x)在xx0處的導數(1)定義稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)，即f(x0) .(2)幾何意義函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點 處的切線的斜率相應地，切線方程為 3函數f(x)的導函數如果f(x)在開

2、區間(a，b)內每一點x都是可導的，則稱f(x)在區間 這樣，對開區間(a，b)內每個值x，都對應一個確定的導數f(x)于是，在區間(a，b)內，f(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數yf(x)的導函數，記為 或y 4基本初等函數的導數公式yf(x)yf(x)ycy yxn(nN)y ，n為正整數yxu(x>0，u0且uQ)y ，u為有理數yax(a>0，a1)y ylogax(a>0，a1，x>0)y ysin xy ycos xy 5.導數的四則運算法則設f(x)，g(x)是可導的，則(1)f(x)±g(x) ；(2)f(x)g(x) ；(3)(

3、g(x)0)【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同( )(2)求f(x0)時，可先求f(x0)再求f(x0)( )(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點( )(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線( )(5)函數f(x)sin(x)的導數是f(x)cos x( )考點探究案 典例剖析 考點突破考點一 導數的運算【例1】求下列函數的導數：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y. 變式訓練：(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x

4、0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)若函數f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2C2 D0 考點二 導數的幾何意義【例2】命題點1已知切點的切線方程問題例2(1)函數f(x)的圖象在點(1，2)處的切線方程為()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)已知函數yf(x)及其導函數yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P處的切線方程是_ 命題點2未知切點的切線方程問題例3(1)與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10(2)已知函數f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與

5、曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10 命題點3和切線有關的參數問題例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于()A1 B3 C4 D2 命題點4導數與函數圖象的關系例5如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，過點E作OB的垂線l.記AOB在直線l左側部分的面積為S，則函數Sf(x)的圖象為圖中的() 變式訓練：(1)已知函數f(x)x33x，若過點A(0,16)且與曲線yf(x)相切的直線方程為yax16，則實數a的值是

6、_(2)若直線y2xm是曲線yxln x的切線，則實數m的值為_ 【當堂達標】1(教材改編)f(x)是函數f(x)x32x1的導函數，則f(1)的值為()A0 B3 C4 D 2如圖所示為函數yf(x)，yg(x)的導函數的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是() 3設函數f(x)的導數為f(x)，且f(x)f()sin xcos x，則f()_. 4已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_ 5(2015·陜西)設曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_ 鞏固提高案 日積月累 提高自我1已知函數f(x)的導函

7、數為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln x，則f(1)等于()Ae B1C1 De 2已知曲線yln x的切線過原點，則此切線的斜率為()Ae Be C. D 3已知函數f(x)的導數為f(x)，且滿足關系式f(x)x23xf(2)ln x，則f(2)的值等于()A2 B2 C D. 4(2014·課標全國)設曲線yaxln(x1)在點(0,0)處的切線方程為y2x，則a等于()A0 B1C2 D3 5已知a為常數，若曲線yax23xln x存在與直線xy10垂直的切線，則實數a的取值范圍是()A. B.C1，) D(，1 6設函數f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，則f(

8、0)6，則k_. 7在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數)過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_ 8(2015·課標全國)已知曲線yxln x在點(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_. 9已知曲線yx3x2在點P0處的切線l1平行于直線4xy10，且點P0在第三象限(1)求P0的坐標；(2)若直線ll1，且l也過切點P0，求直線l的方程 10設函數f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線y

9、x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值 學案3.1 導數的概念及運算自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】1平均變化率一般地，已知函數yf(x)，x0，x1是其定義域內不同的兩點，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當x0時，商，稱作函數yf(x)在區間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率2函數yf(x)在xx0處的導數(1)定義稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)，即f(x0) .(2)幾何意義函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處的切線的斜率

10、相應地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3函數f(x)的導函數如果f(x)在開區間(a，b)內每一點x都是可導的，則稱f(x)在區間(a，b)可導這樣，對開區間(a，b)內每個值x，都對應一個確定的導數f(x)于是，在區間(a，b)內，f(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數yf(x)的導函數，記為f(x)或y(或yx)4基本初等函數的導數公式yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1，n為正整數yxu(x>0，u0且uQ)yuxu1，u為有理數yax(a>0，a1)yaxln aylogax(a>0，a1，x>0)yysin xycos x

11、ycos xysin x5.導數的四則運算法則設f(x)，g(x)是可導的，則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同(×)(2)求f(x0)時，可先求f(x0)再求f(x0)(×)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點()(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線(×)(5)函數f(x)sin(x)的導數是f(x)cos x(×)考

12、點探究案 典例剖析 考點突破考點一 導數的運算【例1】求下列函數的導數：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y.解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.(4)y. 變式訓練：(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x0等于()Ae2 B1Cln

13、2 De(2)若函數f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx×2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，則ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數，且f(1)2，f(1)2. 考點二 導數的幾何意義【例2】命題點1已知切點的切線方程問題例2(1)函數f(x)的圖象在點(1，2)處的切線方程為()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)已知函數yf(x)及其導函數yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P處的

14、切線方程是_答案(1)C(2)xy20解析(1)f(x)，則f(1)1，故該切線方程為y(2)x1，即xy30.(2)根據導數的幾何意義及圖象可知，曲線yf(x)在點P處的切線的斜率kf(2)1，又過點P(2,0)，所以切線方程為xy20.命題點2未知切點的切線方程問題例3(1)與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10(2)已知函數f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)D(2)B解析(1)對yx2求導得y2x.設切點坐標為(x0

15、，x)，則切線斜率為k2x0.由2x02得x01，故切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設切點為(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點為(1,0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.故選B.命題點3和切線有關的參數問題例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設直線l與

16、g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，于是解得m2.故選D.命題點4導數與函數圖象的關系例5如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，過點E作OB的垂線l.記AOB在直線l左側部分的面積為S，則函數Sf(x)的圖象為圖中的()答案D解析函數的定義域為0，)，當x0,2時，在單位長度變化量x內面積變化量S大于0且越來越大，即斜率f(x)在0,2內大于0且越來越大，因此，函數Sf(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的；當x(2,3)時，在單位長度變化量x內面積變化量S大于0且越來越小，即斜率f(x)在(2,3)內大于0且越來越小，

17、因此，函數Sf(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的；當x3，)時，在單位長度變化量x內面積變化量S為0，即斜率f(x)在3，)內為常數0，此時，函數圖象為平行于x軸的射線變式訓練：(1)已知函數f(x)x33x，若過點A(0,16)且與曲線yf(x)相切的直線方程為yax16，則實數a的值是_(2)若直線y2xm是曲線yxln x的切線，則實數m的值為_答案(1)9(2)e解析(1)先設切點為M(x0，y0)，則切點在曲線上有y0x3x0，求導數得到切線的斜率kf(x0)3x3，又切線l過A、M兩點，所以k，則3x3，聯立可解得x02，y02，從而實數a的值為ak9.(2)設切點為(x0，x0

18、ln x0)，由y(xln x)ln xx·ln x1，得切線的斜率kln x01，故切線方程為yx0ln x0(ln x01)(xx0)，整理得y(ln x01)xx0，與y2xm比較得解得x0e，故me.【當堂達標】1(教材改編)f(x)是函數f(x)x32x1的導函數，則f(1)的值為()A0 B3 C4 D答案B解析f(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2如圖所示為函數yf(x)，yg(x)的導函數的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是()答案D解析由yf(x)的圖象知yf(x)在(0，)上單調遞減，說明函數yf(x)的切線的斜率在(0，)上也單調遞減，故可

19、排除A，C.又由圖象知yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.3設函數f(x)的導數為f(x)，且f(x)f()sin xcos x，則f()_.答案解析因為f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.4已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_答案解析y，y.ex>0，ex2，當且僅當ex1，即x0時，“”成立y1,0)，

20、tan 1,0)又0，)，.5(2015·陜西)設曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_答案(1,1)解析yex，曲線yex在點(0,1)處的切線的斜率k1e01，設P(m，n)，y(x>0)的導數為y (x>0)，曲線y (x>0)在點P處的切線斜率k2 (m>0)，因為兩切線垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點P的坐標為(1,1). 鞏固提高案 日積月累 提高自我1已知函數f(x)的導函數為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln x，則f(1)等于()Ae B1C1 De答案B解析由f(x)2xf(1)l

21、n x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，則f(1)1.2已知曲線yln x的切線過原點，則此切線的斜率為()Ae Be C. D答案C解析yln x的定義域為(0，)，且y，設切點為(x0，ln x0)，則y|xx0，切線方程為yln x0(xx0)，因為切線過點(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切線的斜率為.3已知函數f(x)的導數為f(x)，且滿足關系式f(x)x23xf(2)ln x，則f(2)的值等于()A2 B2 C D.答案C解析因為f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)2×23f(2)，解得f(2).4(201

22、4·課標全國)設曲線yaxln(x1)在點(0,0)處的切線方程為y2x，則a等于()A0 B1C2 D3答案D解析令f(x)axln(x1)，則f(x)a.由導數的幾何意義可得在點(0,0)處的切線的斜率為f(0)a1.又切線方程為y2x，則有a12，a3.5已知a為常數，若曲線yax23xln x存在與直線xy10垂直的切線，則實數a的取值范圍是()A. B.C1，) D(，1答案A解析由題意知曲線上存在某點的導數為1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根當a0時，顯然滿足題意；當a<0時，需滿足0，解得a<0.綜上，a.6設函數f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，則f(0)6，則k_.答案1解析f(x)x(xk)(x2k)(x3k)x47k2x26k3x，f(x)4x314k2x6k3，f(0)6k36，解得k1.7在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數)過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2的導數為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解