數列的極限習題_第1頁
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文檔簡介

1、Chap1 數列的極限1. 設及,用語言, 證明: .證 , .(1) 當時, 那么, 下證., 則存在, 當時, ., 此即.(2) 當時, , 存在, 當時, .綜上兩方面 ,即證.2. 已知, 用語言, 證明: .證 (1) 當時, 那么, , 存在, 當時, ;, 此即.(2) 當時, 因為.令, , 則對,存在, 當時,有.而.3. (算術平均收斂公式)設.令, 求證:.證法1 由施篤茲公式 .證法 2 由 , 則, 存在, 使當時, 有.令, 那么 . 存在, 使當時, 有. 再令, 故當時, 由,有.4. (幾何平均收斂公式)設. 且. 證明: .證 , .再由算術平均收斂公式可

2、知.5. 證明: , 其中.證 令 ,則, 依伯努利不等式, 有,即.要,只要.所以,有.取,則當時, 就有, 即.6. 證明: 若, 則. 當且僅當為何值時逆命題也成立.證 由題設 , 知, 當時, 皆有.從而當時總有,所以.當且僅當時,逆命題也成立.7. 設, 且,用語言, 證明: .證 當時, 有 (由二項展開式得)要使 ,只需.即若取 , 則當時, 就有,所以. 數列,是無窮小序列.8. 利用單調有界性證明: 設, , 且, . . 則.證 , 是顯然的.由 ,得 , .知單調增加 , 單調減少 , 又, ,所以,有界. 即,存在.對兩邊取極限,得.9. 證明: 數列單調增加 , 數列

3、單調減少 ,兩者收斂于同一極限.證 記,由平均值不等式 ,知 , ,即單調增加 , 單調減少, 且 .所以,單調有界,必定收斂.由,知它們有相同的極限.即.10. 證明: 若. 則數列收斂.證 由上例知 , 兩邊取對數得 , 即有不等式 .則 , 即單調減少有下界 , 所以收斂.11. 設數列滿足: , , .證明: 數列收斂, 并求.證 ,.用數學歸納法可證 .由式知即單調遞增.再由式知, 收斂.設, 則. , 兩邊取極限有: . , 又., 即.12. 設, , , .證明: 數列收斂, 并求其極限.證 先用數學歸納法證明,當時, 結論成立, 歸納假設結論對成立, 再證時, 因為, . 即式成立.單

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