1、歸納函數極限的計算方法摘 要 ：本文總結出了求極限的幾種方法，比如用定義、公式、定理、性質求極限.關鍵詞 ：函數極限；計算方法；洛必達法則; 四則運算The sum of the Method of Computing Function LimitAbstract：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.Key Words：Function Limit；Computing

2、method；LHospital rules; Four fundamental rules前言 極限的概念是高等數學中一個最基本、最重要的概念，極限理論是研究連續、導數、積分、級數等的基本工具，因此正確理解和運用極限的概念、掌握極限的求法，對學好數學分析是十分重要的.求極限的方法很多且非常靈活，本文歸納了函數極限計算的一些常見方法和技巧.1. 預備知識1.1函數極限的定義設函數在點的某個空心鄰域內有定義，為定數，若對任給的，存在正數，使得當時有，則稱函數當趨于時以為極限，記作或.2.求函數極限的方法總結極限是描述函數的變化趨勢，以基于圖形或直觀結合定義可以求出一些簡單的函數的極限；但是結構較

3、為復雜的函數的圖形不易畫出，基于直觀也就無法得出極限，本著化繁為簡的思想，產生了極限的四則運算法則；由“數列的單調有界準則”和“迫斂準則”產生了兩個重要極限和無窮小量的性質有界函數與無窮小量的積仍是無窮小量；由中值定理得出了羅必達法則.以上也是我們求極限的理論依據，但在個依據下求極限又有各自的技巧.2.1依據函數極限的迫斂性求極限函數極限的迫斂性 設，且在某內有，則.例1求極限解：當時，有而,由函數迫斂性可得同理可得時,，即 注：依據函數極限的迫斂性求極限時，需判斷該函數的上下范圍，這時通常用到以下不等式：2.2 依據極限的四則運算求極限依據極限的四則運算法則求極限的題目，除了直接使用極限的四

4、則運算法則外，往往還有以下幾種類型：分母極限為0:可先采用“約簡分式”或“分子、分母有理化”進行恒等變形，將分母極限化為非零，然后再運用法則：例2 求極限（和都是正整數）解：原式= =等未定型：因“”不是一個數，故該類型的題目不能直接使用運算法則，但可以利用“無窮大量的導數”、“分式有理化”或“通分”等方法，將其轉化為極限存在后，再運用法則計算. 例3求極限解：原式= 2.3 依據兩個重要極限求極限兩個重要的極限:，.函數經過一定變形，若能出現以下情況：時，也可采用重要極限來求.例4 求極限解：原式=例5 求極限解：原式=2.4依據等價無窮小替換求極限求函數極限，若能恰當采用等價無窮小的代換，

5、可以起到變難為易，化繁為簡的作用.需要記住一些常見的等價無窮小, 如當時: 例6 求極限解:原式 注:用等價無窮小替換求極限時，應注意只能用分子、分母整個部分去代換，或是把函數化成積的形式實行無窮小代換，對極限式的相加相減部分不能隨意替代.2.5 依據洛必達法則求極限洛必達法則:型不定式極限 若函數和滿足:(i);(ii)在點的某空心鄰域內兩者都可導, 且(iii)(可為實數, 也可為或), 則型不定式極限 若函數和滿足:(i);(ii)在點的某右鄰域內兩者都可導, 且(iii)(可為實數, 也可為或), 則因此函數為型，通?？刹捎么朔ǎ缦拢豪?計算極限解：原式注：“洛必達法則”是求函數極限

6、的有力工具，但在運用中，由于積、商、復合函數的求導會使分子、分母的項數增加, 導致求極限過程繁瑣，因此用法則求型的極限是不夠的，需綜合運用其它方法才能發揮作用.2.6 依據麥克勞林展開式求極限一般常見函數的麥克勞林公式:利用洛必達法則求型極限時，其結果是化成某階導數的比，而麥克勞林展開式的各項系數正分別含著各階導數的值，因此對型函數極限也可采用此法.例8 求極限解：原式=注：若本題采用洛必達法則去做，會導致計算過程繁雜.2.7 運用函數的連續性求極限函數的連續性定義: 設函數在某內有定義, 若,則稱在點連續. 若函數在區間上的每一點都連續, 則稱為上的連續函數.例9 計算極限思路：為連續函數,

7、 為的定義區間上的一點，則.解：原式=2.8 運用導數的定義求極限導數的定義: 設函數在點的某鄰域內有定義, 若極限存在, 則稱函數在點處可導, 并稱該極限值為函數在點處的導數, 記作. 若函數在區間上的每一點都可導(對區間端點, 僅考慮相應的單側導數), 則稱為上的可導函數.例10 計算思路：對具有或形式的極限，可由導數的定義來進行計算.解：原式=2.9運用定積分的定義求極限定積分的定義: 設是定義在上的一個函數, 是一個確定的實數.若對任意給的正數, 總存在某一正數, 使得對的任何分割, 以及在其上任意選取的點集, 只要, 就有則稱函數在區間上可積或黎曼可積;數稱為在區間上的定積分或黎曼積分, 記作例11 計算思路：和式極限，利用定積分定義求得極限.解：原式 2.10 運用微分中值定理求極限拉格朗日中值定理: 若函數滿足如下條件：（i）在閉區間上連續；（ii）在開區間內可導，則在內至少存在一點，使得.例12：計算思路：對函數在區間上運用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式 （其中在區間內）綜上所述，求極限時，在不同的函數類型下，所采用的技巧是各不相同的，對同一題也可能有多種求法，有難有易，有時甚至需要結合上述各種方法，才能簡單有效的求出，因此學會判斷極限的類型和對以上的