1、橢圓標準方程典型例題例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標準方程，由，根據關系可求出的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，求橢圓的標準方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據題設條件，運用待定系數法，求出參數和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程解：當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，聯立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求

2、解（2）由的軌跡方程、坐標的關系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標系設點坐標為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）例4 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結合余弦定理及定義求角的兩

3、鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關鍵是根據題意，列出點P滿足的關系式解：如圖所示，設動圓和定圓內切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行

4、弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當然，此題除了設弦端坐標的方法，還可用其它方法解決

5、例8 已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，根據弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數的關系），可大大簡化運算過程例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？并求出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓

6、的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關于直線的對稱點的坐標為（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示橢圓例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據已知條件確定的三角函數的大小關系再根據三角函數的單調性，求出的取值范圍解：方程

7、可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標準方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應注意題目中的條件例12求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經過和兩點的橢圓方程分析：由題設條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程解：設所求橢圓方程為(，)由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題這種題目一般利用中間變量(相關點)求軌跡方程或軌跡解：設點的坐標為，點

8、的坐標為，則，因為在圓上，所以將，代入方程得所以點的軌跡是一個橢圓說明：此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的坐標為，設已知軌跡上的點的坐標為，然后根據題目要求，使，與，建立等式關系，從而由這些等式關系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點

9、在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯立得：設，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標再根據焦半徑，從而求出例15橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標原點）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A說明：(1)橢圓定義：平面內與兩定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點必定適合橢

10、圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱分析：若設橢圓上，兩點關于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設橢圓上，兩點關于直線對稱，直線與交于點的斜率，設直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內部，解得(法3)設，是橢圓上關于對稱的兩點，直線與的交點的坐標為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在

11、直線上，。由，得點的坐標為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關于直線恒對稱，求有關參數的取值范圍問題，可以采用列參數滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數方程(2)利用弦的中點在橢圓內部，滿足，將，利用參數表示，建立參數不等式例17 在面積為1的中，建立適當的坐標系，求出以、為焦點且過點的橢圓方程解：以的中點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，設則即得所求橢圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關系問題通常將直線方程與橢圓方程聯立消去(或)，得到關于

12、(或)的一元二次方程，再由根與系數的關系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經常采用的解：方法一：設所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設直線與橢圓的交點為，則、是的兩根，為中點，所求直線方程為方法二：設直線與橢圓交點，為中點，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：設所求直線與橢圓的一個交點為，另一個交點、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關系是重點考查的解析幾何問題，“設而不求”的方法是處理此類問題的有效方法若已知焦點是、的橢圓截直線所得弦中點的橫坐標是

13、4，則如何求橢圓方程？20.已知橢圓的焦點是,直線是橢圓的一條準線. 求橢圓的方程; 設點P在橢圓上,且,求.簡解: . 設則 又 , 21.已知曲線按向量平移后得到曲線C. (1)求曲線C的方程;(2)過點D(0, 2)的直線與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間,設,求實數的取值范圍.解：（1） 由已知設點P(滿足,點P的對應點Q( 則 .（2）當直線的斜率不存在時,此時; 當直線的斜率存在時,設:代入橢圓方程得: 得設,則 , 又 則 . .又由 ,得,即即,又綜上:22求中心在原點,一個焦點為且被直線截得的弦中點橫坐標為的橢圓方程.(目標：能夠用設而不解的方法解決中點弦問題)

14、【解析】 設橢圓方程 ,弦AB, 中點,則,，又， 典型例題一例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當為長軸端點時，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，橢圓的標準方程為：；說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可典型例題三例3 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直

15、線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設橢圓方程為，由，得，為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數法；（2）直線與曲線的綜合問題，經常要借用根與系數的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題典型例題四例4橢圓上不同三點，與焦點的距離成等差數列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為 又點在軸上，設其坐標為，代入上式，得 又點，都在橢圓上， 將此式代入，并利用的結論得 典型例題五例5 已知橢圓，、為兩焦點

16、，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：假設存在，設，由已知條件得，左準線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點不存在說明：（1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設存在，根據已知條件進行推理和運算進而根據推理得到的結果，再作判斷（3）本例也可設存在，推出矛盾結論（讀者自己完成）典型例題六例6 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程

17、為代入橢圓方程，并整理得由韋達定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為分析二：設弦兩端坐標為、，列關于、的方程組，從而求斜率：解法二：設過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”有關二次曲線問題也適用典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標準方程（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯機互相垂直

18、，且焦距為6分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1）設橢圓的標準方程為或由已知 又過點，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設方程為由已知，所以故所求方程為說明：根據條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數”關鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，應設方程或典型例題八例8 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的坐標分析：本題的關鍵是求出離心率，把轉化為到右準線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上故所以說明：

19、本題關鍵在于未知式中的“2”的處理事實上，如圖，即是到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值典型例題九例9 求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數方程，由點到直線的距離建立三角函數關系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數方程為設橢圓上的點的坐標為，則點到直線的距離為當時，說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數方程典型例題十例10 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點的距離等于的點的坐標分析：本題考查橢圓的性質、距離公式、最大值以及分析問題

20、的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值范圍此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數方程，要善于應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉換、形數結合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是，其中待定由可得，即設橢圓上的點到點的距離是，則 其中如果，則當時，（從而）有最大值由題設得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當時，（從而）有最大值由題設得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點，點到點的距離是解法二：根據題設條件，可取橢圓的參數方程是，其中，待定，為參數由可得，即設橢圓上的點到點的距離為，則 如果，即，則當時，（從而）有最大值由

21、題設得，由此得，與矛盾，因此必有成立于是當時（從而）有最大值由題設知，所求橢圓的參數方程是由，可得橢圓上的是，典型例題十一例11 設，求的最大值和最小值分析：本題的關鍵是利用形數結合，觀察方程與橢圓方程的結構一致設，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關系求得最值解：由，得 可見它表示一個橢圓，其中心在點，焦點在軸上，且過（0，0）點和（3，0）點設，則 它表示一個圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當圓過（0，0）點時，半徑最小，即，此時；當圓過（3，0）點時，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15典型例題十二例12 已知橢圓，、

22、是其長軸的兩個端點（1）過一個焦點作垂直于長軸的弦，求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個點，使，求的離心率的取值范圍分析：本題從已知條件出發，兩問都應從和的正切值出發做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手本題的第（2）問中，其關鍵是根據什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質：，根據得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式這里要求思路清楚，計算準確，一氣呵成解：（1）設， 于是，是到的角故 （2）設，則，由于對稱性，不妨設，于是是到的角， 整理得， ， ，或（舍），典型例題十三例13 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進行討論解：當橢圓的焦點在軸上時，得由，得當

23、橢圓的焦點在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必須進行討論典型例題十四例14 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準線的距離，即到左準線的距離為解法二：，為到右準線的距離，又橢圓兩準線的距離為到左準線的距離為說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性否則就會產生誤解橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運用自如一般地，如遇到動點到兩個定

24、點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義典型例題十五例15 設橢圓(為參數)上一點與軸正向所成角，求點坐標分析：利用參數與之間的關系求解解：設，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點坐標為典型例題十六例16 設是離心率為的橢圓 上的一點，到左焦點和右焦點的距離分別為和，求證：，分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點的距離轉化為點到相應準線距離解：點到橢圓的左準線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關問題時，有著廣泛的應用請寫出橢圓焦點在軸上的焦半徑公式典型

25、例題十七例17已知橢圓內有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應的點坐標；(2)求的最小值及對應的點的坐標分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數當，即代數方法二是數形結合，即幾何方法本題若按先建立目標函數，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設是橢圓上任一點，由，等號僅當時成立，此時、共線由，等號僅當時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值(2)如下圖，設是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準線距離右準線方程為到右準線距離為此時點縱坐標與點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點坐標說明：求的最小值，就是用第二定義轉化后，過向相應準線作垂線段巧用焦點半徑與點準距互化是解決有關問題的重要手段典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數方程；(2)求橢圓內接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓