1、湖南師大附中2014-2015學年高一（下）入學數學試卷一、選擇題（共7小題，每小題5分，滿分35分）1已知集合A=x|x22x=0，B=0，1，2，則AB=（）A0B0，1C0，2D0，1，2考點：交集及其運算專題：集合分析：解出集合A，再由交的定義求出兩集合的交集解答：解：A=x|x22x=0=0，2，B=0，1，2，AB=0，2故選C點評：本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關鍵2設m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A若m，n，則mnB若m，m，則C若mn，m，則nD若m，則m考點：空間中直線與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置關系；平面與

2、平面之間的位置關系專題：空間位置關系與距離分析：用直線與平面平行的性質定理判斷A的正誤；用直線與平面平行的性質定理判斷B的正誤；用線面垂直的判定定理判斷C的正誤；通過面面垂直的判定定理進行判斷D的正誤解答：解：A、m，n，則mn，m與n可能相交也可能異面，所以A不正確；B、m，m，則，還有與可能相交，所以B不正確；C、mn，m，則n，滿足直線與平面垂直的性質定理，故C正確D、m，則m，也可能m，也可能m=A，所以D不正確；故選C點評：本題主要考查線線，線面，面面平行關系及垂直關系的轉化，考查空間想象能力能力3圓（x+2）2+y2=4與圓（x2）2+（y1）2=9的位置關系為（）A內切B相交C外

3、切D相離考點：圓與圓的位置關系及其判定專題：直線與圓分析：求出兩圓的圓心和半徑，計算兩圓的圓心距，將圓心距和兩圓的半徑之和或半徑之差作對比，判斷兩圓的位置關系解答：解：圓（x+2）2+y2=4的圓心C1（2，0），半徑r=2圓（x2）2+（y1）2=9的圓心C2（2，1），半徑R=3，兩圓的圓心距d=，R+r=5，Rr=1，R+rdRr，所以兩圓相交，故選B點評：本題考查圓與圓的位置關系及其判定的方法，關鍵是求圓心距和兩圓的半徑4設，則a，b，c的大小關系是（）AabcBcabCabcDt=15考點：指數函數的單調性與特殊點；不等關系與不等式專題：計算題分析：直接利用指數函數的單調性判斷a、b

4、的大小，通過冪函數的單調性判斷b、c的大小即可解答：解：因為y=是減函數，所以，冪函數y=是增函數，所以，abc故選：C點評：本題考查指數函數的單調性冪函數的單調性的應用，考查的比較一般利用函數的單調性5已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為24，則正視圖中a的值為（）A8B6C4D2考點：由三視圖求面積、體積專題：計算題分析：幾何體是一個四棱錐，底面是一個邊長分別是a和3的矩形，一條側棱與底面垂直，且這條側棱的長是4，根據該幾何體的體積是24，列出關于a的方程，解方程即可解答：解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，底面是一個邊長分別是a和3的矩形，一條側棱與底面垂直，且這條側棱的長是4

5、，根據該幾何體的體積是24，得到24=×a×3×4，a=6，故選B點評：本題考查由三視圖求幾何體的體積，實際上不是求幾何體的體積，而是根據體積的值和體積的計算公式，寫出關于變量的方程，利用方程思想解決問題6函數f（x）=的零點個數為（）A0B1C2D3考點：根的存在性及根的個數判斷專題：函數的性質及應用分析：先判斷函數的單調性，由于在定義域上兩個增函數的和仍為增函數，故函數f（x）為單調增函數，而f（0）0，f（）0由零點存在性定理可判斷此函數僅有一個零點解答：解：函數f（x）的定義域為上是減函數，則實數b的取值范圍是（）A（，4B（，2C上的解析式可以變為f（x

6、）=x2bx，再由二次函數的性質結合函數f（x）=|x|（xb）在上是減函數即可得到關于參數b的不等式，解不等式得到參數的取值范圍即可選出正確選項解答：解：函數f（x）=|x|（xb）在上是減函數，函數f（x）=x2bx在上是減函數，解得b4故選D點評：本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，且能根據題設條件及二次函數的性質進行等價轉化得到參數所滿足的不等式二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）8函數f（x）=（x+a）（x4）為偶函數，則實數a=4考點：函數奇偶性的性質專題：函數的性質及應用分析：根據偶函數f（x）的定義域為R，則xR，都有f（x）=f（x），建立

7、等式，解之即可解答：解：因為函數f（x）=（x+a）（x4）是偶函數，所以xR，都有f（x）=f（x）所以xR，都有（x+a）（x4）=（x+a）（x4）即x2+（4a）x4a=x2+（a4）x4a所以a=4故答案為：4點評：本題主要考查了函數奇偶性的性質，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題9已知4a=2，lgx=a，則x=考點：對數的運算性質專題：計算題分析：化指數式為對數式求得a，代入lgx=a后由對數的運算性質求得x的值解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=故答案為：點評：本題考查了指數式與對數式的互化，考查了對數的運算性質，是基礎題10已知一個正方體的所有頂點在一個球面上

8、若球的體積為，則正方體的棱長為考點：球內接多面體；球的體積和表面積專題：空間位置關系與距離；立體幾何分析：設出正方體棱長，利用正方體的體對角線就是外接球的直徑，通過球的體積求出正方體的棱長解答：解：因為正方體的體對角線就是外接球的直徑，設正方體的棱長為a，所以正方體的體對角線長為：a，正方體的外接球的半徑為：，球的體積為：，解得a=故答案為：點評：本題考查正方體與外接球的關系，注意到正方體的體對角線就是球的直徑是解題的關鍵，考查空間想象能力與計算能力11已知函數y=的圖象與函數y=kx2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是（0，1）（1，4）考點：根的存在性及根的個數判斷專題：函數的性質及

9、應用分析：先化簡函數的解析式，在同一個坐標系下畫出函數y=的圖象與函數y=kx2的圖象，結合圖象，可得實數k的取值范圍解答：解：y=函數y=kx2的圖象恒過點（0，2）在同一個坐標系下畫出函數y=的圖象與函數y=kx2的圖象結合圖象可實數k的取值范圍是（0，1）（1，4）故答案為：（0，1）（1，4）點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，同時考查了作圖能力和分類討論的數學思想，屬于基礎題三、解答題（共4小題，滿分45分）12已知直線l：xy+m=0繞其與x軸的交點逆時針旋轉90°后過點（2，3）（1）求m的值；（2）求經過點A（1，1）和B（2，2），且圓心在直線l上的圓的方

10、程考點：圓的標準方程；待定系數法求直線方程專題：直線與圓分析：（1）通過設直線l與x軸交點P（m，0），利用旋轉前后兩直線垂直即斜率乘積為1可得m=1；（2）通過中點坐標公式可得線段AB的中點C（，），利用斜率乘積為1可得直線AB的中垂線的斜率為，進而可得直線AB的中垂線的方程為：x3y3=0，利用所求圓的圓心為直線AB的中垂線與直線l的交點，所求圓的半徑為|EB|，計算即得結論解答：解：（1）直線l：xy+m=0，kl=1，直線l與x軸交點為P（m，0），又直線l旋轉后過點Q（2，3），kPQ=1，即=1，解得m=1；（2）m=1，直線l方程為：xy+1=0，所求圓經過點A（1，1）、B（2

11、，2）且圓心在直線l上，所求圓的圓心為直線AB的中垂線與直線l的交點，記線段AB的中點為C（x，y），則，C點坐標為：C（，），kAB=3，直線AB的中垂線的斜率為，又直線AB的中垂線過C（，），直線AB的中垂線的方程為：y+=（x），整理得：x3y3=0，聯立，解得，即圓心為E（3，2），半徑為|EB|=2+3=5，所求圓的方程為：（x+3）2+（x+2）2=25點評：本題是一道直線與圓的綜合題，涉及斜率、中垂線、圓的方程等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題13如圖，在RtAOB中，OAB=30°，斜邊AB=4，RtAOC可以通過RtAOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角BA

12、OC的直二面角，D是AB的中點（1）求證：平面COD平面AOB；（2）求異面直線AO與CD所成角的正切值考點：異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定專題：證明題；空間位置關系與距離；空間角分析：（1）證明平面COD中的直線CO平面AOB即可；（2）作出異面直線AO與CD所成的角，利用直角三角形的邊角關系即可求出異面直線AO與CD所成角的正切值解答：解：（1）如圖所示，RtAOC是通過RtAOB以直線AO為軸旋轉得到，COAO，BOAO；又二面角BAOC是直二面角，BOC是二面角BAOC的平面角，即BOC=90°，COBO；又AOBO=O，CO平面AOB；又CO面COD，平面COD

13、平面AOB；（2）作DEOB于點E，連接CE，DEAO，CDE是異面直線AO與CD所成的角；在 RtCOE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，CE=；又DE=AO=，tanCDE=，即異面直線AO與CD所成角的正切值是點評：本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了直角三角形邊角關系的應用問題，是綜合性題目14已知圓心為C的圓：x2+y2+2x4y+m=0與直線2x+y3=0相交于A、B兩點（1）若ABC為正三角形，求m的值；（2）是否存在常數m，使以AB為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由考點：直線和圓的方程的應用專題：直線與圓分析：（1）求得圓的

14、圓心和半徑，由正三角形的性質，可得C到AB的距離d=r，計算可得m的值；（2）假設存在常數m，使以AB為直徑的圓經過坐標原點即有OAOB，取AB的中點M，連接OM，CM，即有OM=AB=，由直線垂直的條件，由直線的交點可得M的坐標，運用兩點的距離公式，解方程可得m，進而判斷存在解答：解：（1）圓：x2+y2+2x4y+m=0的圓心C（1，2），半徑為r=，由ABC為正三角形，可得C到AB的距離d=r，即為=，解得m=；（2）假設存在常數m，使以AB為直徑的圓經過坐標原點即有OAOB，取AB的中點M，連接OM，CM，即有OM=AB=，由CMAB，可得CM的方程為y2=（x+1），聯立直線2x+y

15、3=0，可得M（，），即有=，解得m=則存在常數m=，使以AB為直徑的圓經過坐標原點點評：本題考查直線和圓的位置關系，考查弦長公式和正三角形的性質，以及直角三角形的性質，屬于中檔題15已知f（x）=ax2+bx+2，xR（1）若b=1，且3y|y=f（x），xR，求a的取值范圍（2）若a=1，且方程f（x）+|x21|=2在（0，2）上有兩個解x1，x2，求b的取值范圍，并證明2考點：二次函數的性質專題：函數的性質及應用；不等式的解法及應用分析：（1）由3y|y=f（x），xR，討論a的取值，利用二次函數的最值，求出a的取值范圍；（2）把方程f（x）+|x21|=2在（0，2）上有兩個解化為函數g（x）=x2+bx+|x21|在（0，2）上有2個零點的問題，去掉絕對值，討論函數的單調函數，求出g（x）在（0，2）上存在兩個零點時b的取值范圍，得出所求證明解答：解：（1）b=1時，f（x）=ax2+x+2，又3y|y=f（x），xR，a0時，3，解得a，不合題意，舍去；a=0時，也不合題意，應舍去；a0時，3，解得a，a的取值范圍是a|a；（2）a=1時，方程f（x）+|x21|=2在（0，2）上有兩個解x1，x2，即x2+bx+|x21|=0在（0，2）上有兩個解x1，x2；由題意知b0，不妨設0x1x22，令g（x）=x2+bx+|x21|=；