1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理基礎自測：15位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有_種32解析每位同學有兩種不同的報名方法，而且只有這5位同學全部報名結束，才算事件完成所以共有2×2×2×2×232(種)2有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數是_12解析由分步乘法計數原理，一條長褲與一件上衣配成一套，分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長褲有3種選法，所以有4×312(種)選法3甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相

2、同的選法有_種答案24解析分步完成首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×224(種)4用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有_個(用數字作答)答案14解析數字2,3至少都出現一次，包括以下情況：“2”出現1次，“3”出現3次，共可組成C4(個)四位數“2”出現2次，“3”出現2次，共可組成C6(個)四位數“2”出現3次，“3”出現1次，共可組成C4(個)四位數綜上所述，共可組成14個這樣的四

3、位數.題型一分類加法計數原理的應用例1一班有學生50人，男生30人，女生20人；二班有學生60人，男生30人，女生30人；三班有學生55人，男生35人，女生20人(1)從一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？(2)從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？思維啟迪用分類加法計數原理解(1)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法，根據分類加法計數原理，任選一名學生任校學生會主席共有506055165(種)選法(2)完

4、成這件事有三類方法第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法綜上知，共有30302080(種)選法思維升華分類時，首先要根據問題的特點確定一個適合它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求，就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數原理(1)在所有的兩位數中，個位數字比十位數字大的兩位數有多少個？(2)方程1表示焦點在y軸上的橢圓，其中m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6

5、,7，那么這樣的橢圓有多少個？解(1)分析個位數字，可分以下幾類：個位是9，則十位可以是1,2,3，8中的一個，故有8個；個位是8，則十位可以是1,2,3，7中的一個，故有7個；同理，個位是7的有6個；個位是6的有5個；個位是2的只有1個由分類加法計數原理，滿足條件的兩位數有1234567836(個)(2)以m的值為標準分類，分為五類第一類：m1時，使n>m，n有6種選擇；第二類：m2時，使n>m，n有5種選擇；第三類：m3時，使n>m，n有4種選擇；第四類：m4時，使n>m，n有3種選擇；第五類：m5時，使n>m，n有2種選擇共有6543220(種)方法，即有2

6、0個符合題意的橢圓題型二分步乘法計數原理的應用例2有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定六名同學都能參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限思維啟迪可以根據報名過程，使用分步乘法計數原理解(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法，由分步乘法計數原理，知共有選法36729(種)(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，由分步乘法計數原理，得共有報名方法6×5

7、×4120(種)(3)由于每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計數原理，得共有不同的報名方法63216(種)思維升華利用分步乘法計數原理解決問題：要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成了才算完成這件事已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，則：(1)yax2bxc可以表示多少個不同的二次函數；(2)yax2bxc可以表示多少個圖象開口向上的二次函數解(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示5×6×6180

8、(個)不同的二次函數(2)yax2bxc的圖象開口向上時，a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此yax2bxc可以表示2×6×672(個)圖象開口向上的二次函數題型三兩個原理的綜合應用例3如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數思維啟迪染色問題是常見的計數應用問題，可從選顏色、選頂點進行分類、分步，從不同角度解決問題解方法一可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法計數原理即可得出結論由題設，四棱錐SABCD的頂點S、A、B所染的顏色互

9、不相同，它們共有5×4×360(種)染色方法當S、A、B染好時，不妨設其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法可見，當S、A、B已染好時，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7420(種)方法二以S、A、B、C、D順序分步染色第一步，S點染色，有5種方法；第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C

10、同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法由分步乘法、分類加法計數原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×32×2)420(種)方法三按所用顏色種數分類第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有A種不同的方法由分類加法計數原理，得不同的染色方法總數為A2×AA420(種)思維升華用兩個計數原理解決計數問題時，關鍵是

11、明確需要分類還是分步(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務，根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數(3)對于復雜問題，可同時運用兩個計數原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5 種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法當第2個、第3個小方格涂不同顏色時

12、，有A12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法由分步乘法計數原理可知，有5×12×3180(種)不同的涂法；當第2個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數原理可知有5×4×480(種)不同的涂法由分類加法計數原理可得，共有18080260(種)不同的涂法A組專項基礎訓練一、選擇題1從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為()A3 B4 C6 D8解析按從小到大順序有124,139,248,469共4個，同理按從大到小順序也

13、有4個，故這樣的等比數列的個數為8個2. 現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的 兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A24種 B30種 C36種 D48種解析共有4×3×2×248(種)，故選D.3集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把滿足上述條件的一對有序整數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數是()A9 B14 C15 D21解析當x2時，xy，點的個數為1×77(個)；當x2時，xy，點的個數為7×17(個)，則共有14個點，故選B.4(2013·山東)用

14、0,1，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A243 B252 C261 D279解析0,1,2，9共能組成9×10×10900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8648(個)有重復數字的三位數有900648252(個)5(2013·四川)從1,3,5,7,9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數是()A9 B10 C18 D20解析由于lg alg blg(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個作為有A20種，又與相同，與相同，lg alg b的不

15、同值的個數有A220218，選C.二、填空題6一個乒乓球隊里有男隊員5名，女隊員4名，從中選取男、女隊員各一名組成混合雙打，共有_種不同的選法答案20解析先選男隊員，有5種選法，再選女隊員有4種選法，由分步乘法計數原理知共有5×420(種)不同的選法7某次活動中，有30人排成6行5列，現要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數為_(用數字作答)答案7 200解析其中最先選出的一個人有30種方法，此時不能再從這個人所在的行和列上選人，還剩一個5行4列的隊形，故選第二個人有20種方法，此時不能再從該人所在的行和列上選人，還剩一個4行3列的隊形，此

16、時第三個人的選法有12種，根據分步乘法計數原理，總的選法種數是30×20×127 200.8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數是_答案6解析分兩類：第一類，第一象限內的點，有2×24(個)；第二類，第二象限內的點，有1×22(個)共426(個)三、解答題9某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人

17、只會日語第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有213(種)，此時共有6×318(種)；第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時共有1×22(種)；所以根據分類加法計數原理知共有18220(種)選法10在某種信息傳輸過程中，用4個數字的一個排列(數字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息若所用數字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為多少？解方法一分0個相同、1個相同、2個相同討論(1)若0個相同，則信息為1001.共1個(2)若1個相同，則信息為0001,1101,1

18、011,1000.共4個(3)若2個相同，又分為以下情況：若位置一與二相同，則信息為0101；若位置一與三相同，則信息為0011；若位置一與四相同，則信息為0000；若位置二與三相同，則信息為1111；若位置二與四相同，則信息為1100；若位置三與四相同，則信息為1010.共6個故與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為14611.方法二若0個相同，共有1個；若1個相同，共有C4(個)；若2個相同，共有C6(個)故共有14611(個)復習與回顧一、 立體幾何：1.(2013·廣東)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是()A.4B. C.D.6解析由三視圖知四棱

19、臺的直觀圖為由棱臺的體積公式得：V(2×2 1×1)×2.2.(2013·課標全國)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A.且lB.且lC.與相交，且交線垂直于lD.與相交，且交線平行于l解析假設，由m平面，n平面，則mn，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么與相交，設交線為l1，則l1m，l1n，在直線m上任取一點作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面，所以l1l.3、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點，PE2EC.(1)證明：PC平

20、面BED；(2)設二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.思維啟迪利用PA平面ABCD建立空間直角坐標系，利用向量求解.方法一(1)證明因為底面ABCD為菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，所以PCBD.如圖，設ACBDF，連接EF.因為AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，從而，.因為，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90°.由此知PCEF.因為PC與平面BED內兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB內過點A作AGPB，G為垂足.因為二面角APBC為90°，所以平面PAB平面PBC.又平

21、面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.因為BC與平面PAB內兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設D到平面PBC的距離為d.因為ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D兩點到平面PBC的距離相等，即dAG.設PD與平面PBC所成的角為，則sin .所以PD與平面PBC所成的角為30°.方法二(1)證明以A為坐標原點，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則C(2，0,0)，P(0,0,2)，E，設D(，b,0)，其中b>0，則B(，b,0).于是

22、(2，0，2)，從而·0，·0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BED.(2)解(0,0,2)，(，b,0).設m(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·0，m·0，即2z0且xby0，令xb，則m(b，0).設n(p，q，r)為平面PBC的法向量，則n·0，n·0，即2p2r0且bqr0，令p1，則r，q，n.因為二面角APBC為90°，所以面PAB面PBC，故m·n0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，所以cosn，所以n，60°.因為PD與平面PBC所成角和n，互余，故P

23、D與平面PBC所成的角為30°.二、圓錐曲線：1雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，離心率為3，則該雙曲線的標準方程為_，漸近線方程為_答案1y±2x解析由題意設雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)，則2a4，即a2，e3，則c6，b4，所以雙曲線的標準方程為1，漸近線方程為y±x±2x.2、若點(3,1)是拋物線y22px一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則p_.答案2解析設弦兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則，兩式相減得，2.又y1y22，p2.3、已知橢圓E的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A.B.C.D.解析由題意可知，F1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根據勾股定理得22(2c)2，所以離心率e.4、已知雙曲線1 (a