1、南京市2017屆高三年級學情調研數 學 2016.09注意事項：1 本試卷共4頁，包括填空題(第1題第14題)、解答題(第15題第20題)兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2 答題前，請務必將自己的姓名、學校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題卡參考公式：柱體的體積公式：VSh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高錐體的體積公式：VSh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1 已知集合A0，1，2，Bx|x2x0，則AB 0，1(第3題)0.040.030.020.0

2速/km2 設復數z滿足(zi)i34i (i為虛數單位)，則z的模為 2k1開始輸出k結束S80S1YNS2Skkk1(第5題)3 為了解某一段公路汽車通過時的車速情況，現隨機抽測了通過這段公路的200輛汽車的時速，所得數據均在區間40，80中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的200輛汽車中，時速在區間40，60)內的汽車有 輛804 若函數f(x)sin(x) (0)的最小正周期為，則f()的值是 5 右圖是一個算法的流程圖，則輸出k的值是 56 設向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b若ac，則實數x的值是 47 某單位要在4名員工(含甲、乙兩人)中隨機選2

3、名到某、地出差，則甲、乙兩人中，至少有一人被選中的概率是 8 在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：1(a0)的一條漸近線與直線y2x1平行，則實數a的值是 19 在平面直角坐標系xOy中，若直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)216相交于A，B兩點，且ABC為直角三角形，則實數a的值是 110已知圓柱M的底面半徑為2，高為6；圓錐N的底面直徑和母線長相等若圓柱M和圓錐N的體積相同，則圓錐N的高為 611各項均為正數的等比數列an，其前n項和為Sn若a2a578，S313，則數列an的通項公式an 312已知函數f(x)當x(，m時，f(x)的取值范圍為16，)，則實數m的取值范圍是

4、2，813.在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若·3，則AC的長是 14已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f(x)g(x)()x若存在x0，1，使得等式af(x0)g(2x0)0成立，則實數a的取值范圍是 2，二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟xOyAB(第15題)15(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點A，B若點A的橫坐標是，點B的縱坐標是(1)求cos()的值；(2)求的值解：因為銳角的終邊與單位圓交于A，且

5、點A的橫坐標是，所以，由任意角的三角函數的定義可知，cos，從而sin 2分因為鈍角的終邊與單位圓交于點B，且點B的縱坐標是，所以sin，從而cos 4分(1)cos()coscossinsin×()× 8分(2)sin()sincoscossin×()× 11分因為為銳角，為鈍角，故(，)，所以 14分ABCDMNA1B1C1(第16題)16(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點M，N分別為線段A1B，AC1的中點(1)求證：MN平面BB1C1C；(2)若D在邊BC上，ADDC1，求證：MNAD證明：(1)如圖，連結A1C在直三棱

6、柱ABCA1B1C1中，側面AA1C1C為平行四邊形又因為N為線段AC1的中點，所以A1C與AC1相交于點N，即A1C經過點N，且N為線段A1C的中點 2分因為M為線段A1B的中點，所以MNBC 4分又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C 6分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD 8分因為ADDC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1DC1C1，所以AD平面BB1C1C 10分又BC平面BB1C1C，所以ADBC 12分又由(1)知，MNBC，所以MNAD 14分ABOCD(第17題)17(本

7、小題滿分14分)如圖，某城市有一塊半徑為40m的半圓形綠化區域(以O為圓心，AB為直徑)，現計劃對其進行改建在AB的延長線上取點D，OD80m，在半圓上選定一點C，改建后的綠化區域由扇形區域AOC和三角形區域COD組成，其面積為Sm2設AOCxrad(1)寫出S關于x的函數關系式S(x)，并指出x的取值范圍；(2)試問AOC多大時，改建后的綠化區域面積S取得最大值解：(1)因為扇形AOC的半徑為40m，AOCxrad，所以扇形AOC的面積S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD的面積SCOD·OC·OD·sinCOD16

8、00sin(x)1600sinx 4分從而SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 6分(2)由(1)知，S(x)1600sinx800x，0xS(x)1600cosx8001600(cosx) 8分由S(x)0，解得x從而當0x時，S(x)0；當x時，S(x)0因此S(x)在區間(0，)上單調遞增；在區間(，)上單調遞減 11分所以當x，S(x)取得最大值答：當AOC為時，改建后的綠化區域面積S最大 14分(第18題)xOyPF1F2Q18(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點(在x軸上方)，連結PF1

9、并延長交橢圓于另一點Q，設(1)若點P的坐標為(1，)，且PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e，求實數的取值范圍解：(1)因為F1，F2為橢圓C的兩焦點，且P，Q為橢圓上的點，所以PF1PF2QF1QF22a，從而PQF2的周長為4a由題意，得4a8，解得a2 2分因為點P的坐標為(1，)，所以1，解得b23所以橢圓C的方程為1 5分(2)方法一：因為PF2x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y00設Q(x1，y1)因為P在橢圓上，所以1，解得y0，即P(c，) 7分因為F1(c，0)，所以(2c，)，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1

10、，解得x1c，y1，所以Q(c，) 11分因為點Q在橢圓上，所以()2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因為10，所以(3)e21，從而3 14分因為e，所以e2，即5所以的取值范圍為，5 16分方法二：因為PF2x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y00因為P在橢圓上，所以1，解得y0，即P(c，) 7分因為F1(c，0)，故直線PF1的方程為y(xc)由得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0因為直線PF1與橢圓有一個交點為P(c，)設Q(x1，y1)，則x1c，即cx1 11分因為，所以3 14分因為e，所以e2，即5所以的取值范圍為，5 16分19

11、(本小題滿分16分)已知數列an是公差為正數的等差數列，其前n項和為Sn，且a2·a315，S416(1)求數列an的通項公式；(2)數列bn滿足b1a1，bn1bn求數列 bn的通項公式；是否存在正整數m，n(mn)，使得b2，bm，bn成等差數列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由解：(1)設數列an的公差為d，則d0由a2·a315，S416，得解得或(舍去)所以an2n1 4分(2)因為b1a1，bn1bn，所以b1a11，bn+1bn()， 6分即b2b1(1)，b3b2()，bnbn1()，(n2)累加得：bnb1(1)， 9分所以bnb11b11也符

12、合上式故bn，nN* 11分假設存在正整數m、n(mn)，使得b2，bm，bn成等差數列，則b2bn2bm又b2，bn，bm，所以()2()，即，化簡得：2m7 14分當n13，即n2時，m2，(舍去)；當n19，即n8時，m3，符合題意所以存在正整數m3，n8，使得b2，bm，bn成等差數列 16分20(本小題滿分16分)已知函數f(x)ax2bxlnx，a，bR(1)當ab1時，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)當b2a1時，討論函數f(x)的單調性；(3)當a1，b3時，記函數f(x)的導函數f (x)的兩個零點是x1和x2 (x1x2)求證：f(x1)f(x2)ln2解：(1)

13、因為ab1，所以f(x)x2xlnx，從而f(x)2x1因為f(1)0，f(1)2，故曲線yf(x)在x1處的切線方程為y02(x1)，即2xy20 3分(2)因為b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xlnx，從而f(x)2ax(2a1)，x0 5分當a0時，x(0，1)時，f(x)0，x(1，)時，f(x)0，所以，f(x)在區間(0，1)上單調遞增，在區間(1，)上單調遞減 7分當0a時，由f(x)0，得0x1，或x；由f(x)0，得1x，所以f(x)在區間(0，1)和區間(，)上單調遞增，在區間(1，)上單調遞減當a時，因為f(x)0(當且僅當x1時取等號)，所以f(x)在區間(0，)

14、上單調遞增當a時，由f(x)0，得0x，或x1；由f(x)0，得x1，所以f(x)在區間(0，)和區間(1，)上單調遞增，在區間(，1)上單調遞減 10分(3)方法一：因為a1，所以f(x)x2bxlnx，從而f (x)(x0)由題意知，x1，x2是方程2x2bx10的兩個根，故x1x2記g(x)2x2bx1，因為b3，所以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且bxi2xi21(i1，2) 12分f(x1)f(x2)(x12x22)(bx1bx2)ln(x12x22)ln因為x1x2，所以f(x1)f(x2)x22ln(2x22)，x2(1，) 14分令t2x22(2，)

15、，(t)f(x1)f(x2)lnt因為(t)0，所以(t)在區間(2，)單調遞增，所以(t)(2)ln2，即f(x1)f(x2)ln2 16分方法二：因為a1，所以f(x)x2bxlnx，從而f(x)(x0)由題意知，x1，x2是方程2x2bx10的兩個根記g(x)2x2bx1，因為b3，所以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且f(x)在x1，x2上為減函數 12分所以f(x1)f(x2)f()f(1)(ln)(1b)ln2因為b3，故f(x1)f(x2)ln2ln2 16分南京市2017屆高三年級學情調研數學附加題 2016.09注意事項：1附加題供選修物理的考生使用

16、2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，請務必將自己的姓名、學校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題卡21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講(第21題A)ABCDEFO如圖，AB為圓O的一條弦，C為圓O外一點CA，CB分別交圓O于D，E兩點若ABAC，EFAC于點F，求證：F為線段DC的中點證明：因為點A、D、E、B在圓O上，即四邊形ADEB是圓內接四邊形，所以BEDC 3分因為ABAC，所以BC 5分所以CEDC，從而EDEC

17、7分又因為EFDC于點F，所以F為線段DC中點 10分B選修42：矩陣與變換已知矩陣A，B，設MAB(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的特征值解：(1)MAB 5分(2)矩陣M的特征多項式為f()(2)(3)2令f()0，解得11，24，所以矩陣M的特征值為1或4 10分C選修44：坐標系與參數方程已知曲線C的極坐標方程為2cos，直線l的極坐標方程為sin()m若直線l與曲線C有且只有一個公共點，求實數m的值解：曲線C的極坐標方程為2cos，化為直角坐標方程為x2y22x即(x1)2y21，表示以(1，0)為圓心，1為半徑的圓 3分直線l的極坐標方程是sin()m，即cossinm，化為直角坐標

18、方程為xy2m0 6分因為直線l與曲線C有且只有一個公共點，所以1，解得m或m所以，所求實數m的值為或 10分D選修45：不等式選講解不等式|x1|2|x|4x解：原不等式等價于，或，或 6分解得xÆ；解得x1；解得x1所以原不等式的解集為，) 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟ABCDFPE(第22題)22(本小題滿分10分)如圖，在底面為正方形的四棱錐PABCD中，側棱PD底面ABCD，PDDC，點E是線段PC的中點(1)求異面直線AP與BE所成角的大小；(2)若點F在線段PB上，使得二面角FD

19、EB的正弦值為，求的值解：(1)在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PD底面ABCD，所以DA、DC、DP兩兩垂直，故以，為正交基底，建立空間直角坐標系Dxyz因為PDDC，所以DADCDP，不妨設DADCDP2，xyzABCDFPE(第22題)則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)因為E是PC的中點，所以E(0，1，1)所以(2，0，2)，(2，1，1)，所以cosá，ñ，從而á，ñ因此異面直線AP與BE所成角的大小為 4分(2)由(1)可知，(0，1，1)，(2，2，0)，(2，2，2)設，則(2，2