1、高等數學習題集及解答第二章一、 填空題1、設在可導，則。2、設，則。3、設，則。4、已知，則。5、已知，則當經1、1時，。6、，則。7、如果是的切線，則。8、若為奇函數，且，則。9、，則。10、，則。11、設，則。12、設，則。13、設，則。14、設函數由方程所確定，則曲線在點（1，1）處的切線方程是。15、 ，其導數在處連續，則的取值范圍是。16、 知曲線與軸相切，則可以通過表示為。二、 選擇題。17、設可導，則是在處可導的（）。充分了必要條件，B充分但非必要條件，C必要條件但非充分條件，D既非充分條件又非必要條件。18、函數在處（）A左右導數均存在，B左導數存在，右導數不存在，C左導數不存

2、在，右導數存在，D左右導數均不存在。19、設周期函數在內可導，周期為4，又，則曲線在點處的切線斜率為（）A，B0，C10，D2。20、設函數 則實常數當在處可導時必滿足（）A；B；C；D21、已知，且存在，則常數的值為（）ABCD22、函數在上處處可導，且有，此外，對任何的實數恒有，那么（）ABC；D。23、已知函數具有任何階導數，且，則當為大于2的正整數時，的階導數是（）A；B；C；D24、若函數有，則當時，該函數在處的微分是的（）A等價無窮小；B同階但不等價的無窮小；C低階無窮小；D高階無窮小。25、設曲線和在它們交點處兩切線的夾角為，則（）A；BC2；D3。26、設由方程組確定了是的函數

3、，則（）A；B；C；D。一、 填空題的答案1、2 2、-1 ； 3、； 4、 5、-16、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、-11、1 12、 13、 14、 15、 16、 二、選擇題答案：17、A 18、B 19、D 20、A21、C 22、C 23、A 24、B25、D 26、B三、綜合題：27、求曲線上與直線垂直的切線方程。剖析：求曲線的切線議程關鍵有垂點，一是求切點，二是求切線斜線。 解：設切點為則點處的切線斜度為依題意知所求切線（）坐垂直，從而 利切點為；切線（）為 故所求切線方程為 即： 設 則9、如果為偶函數，且存在 證明證明：因為為偶函數，所以從而: 故28、討函

4、數在處方程連續性與可得解：，所以函數在處連續又故函數在處可導、值29、已知求解: 故30、已知解： 所以：從而 31、證明：雙曲線上往一點處切線與兩坐標軸構成的三角形的面積都等于。證明：設為雙曲線上的一點，則該點處切線的斜率為從而切線方程為令得軸上的截距為令得軸上的截距為從而 32、設求解：33、設在 求解：設 則： 從而34、設，討論處連續性剖析：本題需先求的表達式，再討論在點處的連續性解：當從而：由于35、（1） （2）解：（1） （2） = =37、設提示：。答案： 38、求導數 解: = =39、 解 40、設 剖析：此類函數直接求導，很難找出規律，先對41、求下列函數的n階導數的一般

5、表達式 44、求曲線上對應于點處的法線方程46、求剖析：由于函數是根式私連乘，所以用對數示導法47、（相關變化率問題是）設氣球以100cm3的速度，浸入氣球（假設氣球是球體）求在半徑為10cm的氣球半徑增加的速度（假空氣體壓力不變）剖析：解決相關變化率問題一般分三步：第一步：是建立氣球體積v和半徑r之間的關系。第二步：根據等式找出第三步：由己知的變化率求出未知的變化率解：= 由 =10cm 即當=10cm 時半徑以 的速率增加。48、已知 求49、設是由方程確定的隱函數，求解：利用公式將方程兩邊分別對求導，有得 =從而 =50、設y= (1+3-x). 求解： =-51、求下列函數的微分解：(

6、1)、 =( =(- -)（2）函數變形為兩邊取對數有兩邊對求微分得53、擴音器插頭為圓柱形，截面半徑為0.15cm，長度l為4m，為了提高它的導電性能，要在這個圓柱的側面鍍上一層厚為0.001cm的錢銅，問每個插頭約要多少克純銅。解： =2×0.15×4×0.0故鍍的銅的重量為0.0037699×8.954、有一立方形的鐵箱，它的邊長為70±0.1cm，求出它的體積，并估計絕對誤差和相對誤差。解：體積：V=703=343000cm3 絕對誤差 = 相對誤差 55、求、的值，使在可導。 解：為使在得可導，必須在連續 故 即 又因 = = 因此有，從而當時 在處可導56、證明可導偶函數的導數為奇函數 證：由題設 存在 于是 =- 可導偶函數的導數為奇函數 同