1、2010年北京中考數學模擬分類 二次函數綜合題1. （2010北京中考）24.在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y= - _ x-5m-m2-3m 2 與x軸的44交點分別為原點 O和點A,點B（2，n）在這條拋物線上。（1）求點B的坐標；點P在線段OA上，從O點出發向點運動，過 P點作x軸的垂線，與直線 OB交于點E。延長PE到點 D。使得ED=PE。以PD為斜邊在PD右側作等腰直角三角形 PCD（當P點運動時，C點、D點也隨之運動） 當等腰直角三角形 PCD的頂點C落在此拋物線上時，求 OP的長；若P點從O點出發向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段 OA上另一點Q從A點出發向O點

2、作勻速運動，速度為每秒2個單位（當Q點到達O點時停止 運動，P點也同時停止運動）。過Q點作x軸的垂線，與直線 AB交于點F。延長QF至到點 M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰 直角三角形QMN（當Q點運動時，M點，N點也隨之運動）。若P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分 別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。2. （ 2010朝陽一模 24）已知直線 y=kx-3與x軸交于點 A （4, 0）,與y軸交于點 C,拋物線3 2y x mx n經過點A和點C,動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個4交點B向點A運動，點Q由點C沿線段CA向點A運

3、動且速度是點 P運動速度的2倍.（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；（2） 如果點P和點Q同時出發，運動時間為 t （秒），試問當t為何值時，APQA是直角三角形；（3） 在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D，使得AACD的面積最大，若存在，求出點 D坐標；若 不存在，請說明理由.13.( 2010 東城一模)23 .已知拋物線Ci： y=x2_2x的圖象如圖所示，把 Ci的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C2的圖象，拋物線 Ci與拋物線C2的圖象合稱圖象 C3.(1) 求拋物線C1的頂點A坐標，并畫出拋物線 C2的圖象；(2) 若直線y = kx b與拋物線y = ax2 bx - c(a

4、= 0)有且只有一個點時，稱直線與拋物線相切.若直線y =x b與拋物線Ci相切，求-b的值；(3)結合圖象回答，當直線 y =x b與圖象C3有兩個交點時，b的值范圍.4. (2010豐臺一模)23.已知二次函數 y=x2-mxm-2 .(1) 求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；(2) 當該二次函數的圖象經過點(3, 6)時，求二次函數的解析式； 將直線y=x向下平移2個單位長度后與(2)中的拋物線交于 A、B兩點(點A在點B的左邊)，一 個動點P自A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點 E,再到達x軸上的某點F，最后運動到點 B.求 使點P運動的總路徑最短的點 E

5、、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.25. (2010豐臺一模)25 已知拋物線y=x2_x_2 .(1) 求拋物線頂點 M的坐標；(2) 若拋物線與x軸的交點分別為點 A、B (點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,點N為線段BM上 的一點，過點 N作x軸的垂線，垂足為點 Q.當點N在線段BM上運動時(點N不與點B,點M重合)， 設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數關系式及自變量 t的取值范圍；(3) 在對稱軸右側的拋物線上是否存在點卩，使厶FAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.6.(2010海淀一模)24. 點F為拋物線y

6、= x2-2mx m2( m為常數，m 0)上任一點，將拋物線繞頂點G逆時針旋轉90后得到的新圖象與 y軸交于A、B兩點(點A在點B的上方)，點Q為點F旋轉后的對應點(1) 當m = 2，點F橫坐標為4時，求Q點的坐標; 設點Q(a,b)，用含m、b的代數式表示a ；(3)如圖，點Q在第一象限內，點D在x軸的正半軸上，點C為OD的中點，QO平分.AQC , AQ =2QC，當QD二m時，求m的值.37. (2010海淀一模)23.關于x的一元二次方程x2 -4x c = 0有實數根，且c為正整數.求c的值；2(2) 若此方程的兩根均為整數，在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x -4x c與x

7、軸交于A、B兩點(A在B左側)，與y軸交于點C.點P為對稱軸上一點，且四邊形 OBPC為直角梯形，求PC的長; 將 中得到的拋物線沿水平方向平移，設頂點D的坐標為 m,n ,當拋物線與(2)中的直角梯形OBPC只有兩個交點，且一個交點在PC邊上時，直接寫出 m的取值范圍.8. ( 2010石景山一模)25已知：如圖1,等邊厶ABC的邊長為2 3，一邊在x軸上且A1-、. 3,0 ,AC交y軸于點E,過點E作EF / AB交BC于點F .(1) 直接寫出點B、C的坐標；(2) 若直線y二kx -1 k = 0將四邊形EABF的面積兩等分，求 k的值；(3) 如圖2,過點A、B、C的拋物線與y軸交

8、于點D , M為線段0B上的一個動點，過 x軸上一點G -2,0作DM的垂線，垂足為H，直線GH交y軸于點N，當M點在線段0B上運動時，現給出兩個結論：.GNM 二.CDM.MGN二.DCM ,其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪個結論圖2正確，并證明.9. (2010西城一模)23 已知關于 x 的方程 mx2 _3(m_1)x 2m_3= 0 .(1) 求證：無論 m取任何實數時，方程總有實數根；(2) 若關于x的二次函數y1 =mx23(m1)x 2m-3的圖象關于y軸對稱. 求這個二次函數的解析式； 已知一次函數 y2 =2x -2，證明：在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數

9、所對應的函數值yi>y2均成立；(3) 在.(2)的條件下，若二次函數 y3= ax2 + bx+ c的圖象經過點(一5, 0),且在實數范圍內，對于 x 的同一個值，這三個函數所對應的函數值yiy3> y2均成立.求二次函數 y3= ax2 + bx+ c的解析式.10. (2010宣武一模)24.已知：將函數y二身X的圖象向上平移2個單位，得到一個新的函數的圖 像.(1) 求這個新的函數的解析式；(2) 若平移前后的這兩個函數圖象分別與y軸交于O、A兩點，與直線x - - , 3交于C、B兩點.試判斷以A、B、C、O四點為頂點的四邊形形狀，并說明理由；2 2 1 若中的四邊形(

10、不包括邊界)始終覆蓋著二次函數y = x - 2bx b ?的圖象的一部分，求滿足條件的實數b的取值范圍.611. (2010崇文一模)25.已知拋物線y=ax2 bx1經過點a( 1, 3)和點B (2, 1).(1) 求此拋物線解析式；(2) 點C、D分別是X軸和y軸上的動點，求四邊形 ABCD周長的最小值；(3) 過點B作X軸的垂線，垂足為 E點點P從拋物線的頂點出發，先沿拋物線的對稱軸到達F點，再沿FE到達E點，若P點在對稱軸上的運動速度是它在直線FE上運動速度的、,2倍，試確定點F的位置，使得點P按照上述要求到達 E點所用的時間最短.(要求：簡述確定 F點位置的方法，但不要求證明)1

11、2 (2010崇文一模)23.已知P ( -3,m)和Q (1, m )是拋物線y=2x2 bx 1上的兩點.(1 )求b的值；(2) 判斷關于x的一元二次方程2x2 bx 1 =0是否有實數根，若有，求出它的實數根；若沒有， 請說明理由；2(3 )將拋物線y =2x bx 1的圖象向上平移k ( k是正整數)個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，求k的最小值.713. （2010朝陽二模）25.（本小題8分）如圖，邊長為2的正方形ABCO中，點F為x軸上一點，CF=1 , 過點B作BF的垂線，交y軸于點E.（1）求過點E、B、F的拋物線的解析式；（2）將/ EBF繞點B順時針旋轉，角的一邊交

12、y軸正半軸于點M,另一邊交x軸于點N，設BM與（1 ）中拋物線的另一個交點為點G,且點G的橫坐標為6 , EM與NO有怎樣的數5量關系？請說明你的結論.（3）點P在（1）中的拋物線上，且 PE與y軸所成銳角的正切值為 -，求點P的坐標.214 （2010朝陽二模）22.（本小題5分）已知拋物線y =x2 -2mx m2與直線y = 2x交點的橫坐標均為整數， 且mv2 ,求滿足要求的 m的 整數值.815. (2010東城二模)24.如圖，二次函數過 A (0, m )、的平行線交拋物線于一點D，線段OC上有一動點P,連結DP,丄DP,交y軸于點E.(1)求AD的長;(2)若在線段 OC上存在

13、不同的兩點 Pi、P2 ,與點A重合，試求m的取值范圍.(3)設拋物線的頂點為點 Q，當60 BQC<90 時,使相應的點E1、求m的變化范圍.16. (2010海淀二模)23.已知：拋物線y = x2 (a-2)x-2a( a為常數.且a 0).(1) 求證：拋物線與x軸有兩個交點；(2) 設拋物線與x軸的兩個交點分別為 A、B( A在B左側).與y軸的交點為C . 當AC =2. 5時.求拋物線的解析式； 將中的拋物線沿x軸正方向平移t個單位(t>0).同時將直線l：y=3x沿y軸正方向平移t個單位.平 移后的直線為丨'.移動后A、B的對應點分別為 A'、B&#

14、39;.當t為何值時.在直線l ' 上存在點P.使得 A'B'P為以A'B'為直角邊的等腰直角三角形 ？1017 （2010海淀二模）25. 如圖.在平面直角坐標系 xOy中點B的坐標為（0,2）.點D在x軸的正半 軸上.ODB =30 . OE為ABOD的中線.過B、E兩點的拋物線丫曲唱與x軸相交于 A、F 兩點（A在F的左側）.（1）求拋物線的解析式； 等邊AOMN的頂點M、N在線段AE上.求AE及AM的長； 點P為ABO內的一個動點.設m = PA PB PO .請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長.（備用圖）18（2010石景山

15、二模）23.已知關于x的一元二次方程 x2- m-1x，m-3 = 0.（1）求證：不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根 若直線y二m -1 x 3與函數y =x2 m的圖象C1的一個交點的橫坐標為 2, 求關于x的一元二次方程 x2 -m -1 x m -3 = 0的解. 在的條件下，將拋物線 y =x2 - m-1 x m-3繞原點旋轉180，得到圖象C?，點P為x軸上 的一個動點，過點 P作x軸的垂線，分別與圖象 C1、C2交于M、N兩點，當線段 MN的長度最小 時，求點P的坐標.5119. (2010石景山二模)25.已知：如圖，拋物線 y = ax -5ax b 與直線y= x

16、b交于點2 2A( -3,0)、點B，與y軸交于點C .(1) 求拋物線與直線的解析式;(2) 在直線AB上方的拋物線上有一點 D，使得 DAB的面積是8,求點D的坐標;(3) 若點P是直線x =1上一點，是否存在 PAB是等腰三角形若存在，求出所有符合條件的點 P的坐標；若不存在，請說明理由20 (2010西城二模)23已知：關于x的一兀二次方程 -X2 (m 4)x _4m =0，其中0 ： m ： 4 .(1 )求此方程的兩個實數根(用含m的代數式表示)；(2) 設拋物線y - -X2 bx C與x軸交于A、B兩點(A在B的左側)，若點D的坐標為(0, -2 ),且AD BD=10,求拋

17、物線的解析式；(3) 已知點E (a, %)、F(2a,y2)、G (3a,y3)都在(2)中的拋物線上，是否存在含有y1、y2、y3，且與a無關的等式？如果存在，試寫出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由.3 321. (2010西城二模)25 .在平面直角坐標系中，將直線I: y x 沿x軸翻折，得到一條4 22 2新直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將拋物線Ci : yx2沿x軸平移，得到一條新拋物線 C2與y3軸交于點D，與直線 AB交于點E、點F .(1) 求直線AB的解析式；(2) 若線段DF / x軸，求拋物線C2的解析式；(3) 在(2)的條件下，若點F在y軸右側，過F作F

18、H丄x軸于點G,與直線I交于點H , 條直線m (m 不過 AFH的頂點)與AF交于點M，與FH交于點N,如果直線m既平分 AFH的面積，求直線m的解 析式.22. (2010 宣武二模)25.對于任意兩個二次函數：y i=aix+bix+ci； y 2=a2x+b2x+C2,其中 ai?a2 0.當I ai I = I a21時，我們稱這兩個二次函數的圖象為全等拋物線.現有 ABM, A(-1,0) B(1,0). 我們記過三點的二次函數的圖象為“ 8” ( “口”中填寫相應三個點的字母).如過點A、B、M三點的二次函數的圖像為 CABM.(1) 如果已知M(0,1), AB曜 ABN.請通

19、過計算判斷CABM與 CABN是否為全等拋物線；(2) 若已知M(0, n), 在圖中的平面直角坐標系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形.求拋物線CABM勺解析式，然后請直接寫出所有過平行四邊形中三個頂點且能與CABM全等的拋物線解析式. 若已知M(m,n),當m,n滿足什么條件時，存在拋物線 CABM?根據以上的探究結果，在圖中的平面直 角坐標系中，以A、B M三點為頂點，畫出平行四邊形.然后請列出所有滿足過平行四邊形中三個頂點且 能與CABM全等的拋物線 8口口”.23. (2010豐臺二模)23.(本小題滿分7 分)已知：關于x的一元二次方程x2 _2(m - 1)x m2 =

20、0有兩個整數根，m<5且m為整數.(1 )求m的值；(2) 當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y = x2 _2(m - 1)x m2的圖象沿x軸向 左平移4個單位長度，求平移后的二次函數圖象的解析式；(3) 當直線y=x+b與(2)中的兩條拋物線有且只有三個 交點時，求b的值.24 (2010豐臺二模)25.(本小題滿分8分)已知：如圖，四邊形 OABC是矩形，0A =4 , OC =8，將矩形OABC沿直線AC折疊，使點B落 在點D處，AD交0C于點E .(1 )求0E的長；(2) 求過O, D, C三點的拋物線的解析式；(3) 若F為過0, D, C三點的拋物線的頂點

21、， 一動點P從點A出發，沿射線AB以每秒1個單位長度 的速度勻速運動，當運動時間t (秒)為何值時，直線PF把厶FAC分成面積之比為1: 3的兩部分？15#O是坐標原點，點 A、B的坐標分別為 A(0,3)25 (2010崇文二模)24.如圖，在平面直角坐標系中,#和 B(5,0)，連結 AB .(1) 現將 AOB繞點O按逆時針方向旋轉 90°,得到 COD (點A落到點C處)，請畫出厶COD并求 經過B, C, D三點的拋物線對應的函數關系式；(2) 將(1)中拋物線向右平移兩個單位，點B的對應點為點E，平移后的拋物線與原拋物線相交于點F. P為平移后的拋物線對稱軸上一個動點，連

22、結PE點P的坐標；(3)在(2)的條件下，當點 P在拋物線對稱軸上運動時， 是否存在點P使厶EPF為直角三角形？如果存在，請求 出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.,PF,當PE-PF的絕對值取得最大值時，求26 (2010崇文二模)23.已知一元二次方程 x2 px q，1=0的一根為2.(1) 求q關于p的函數關系式；(2) 求證：拋物線 y =x2 px q與x軸有兩個交點；(3) 設拋物線 y = X2 px q 1與x軸交于A、B兩點(A、B不重合)，且以AB為直徑的圓正好經過 該拋物線的頂點求 p,q的值.2009年北京中考數學模擬分類一一二次函數綜合題 1627. (2009朝

23、陽一模)24.拋物線與x軸交于A (- 1, 0)、B兩點，與y軸交于點C (0, 3),拋物 線頂點為M，連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點 Q,且點Q到x軸的距離為6.(1) 求此拋物線的解析式；(2) 在拋物線上找一點 D，使得DC與AC垂直，求出點D的坐標；28.( 2009東城一模)24.(本題滿分二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點(3) 拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得Spam=3Sacm，若存在，求出 P點坐標；若不存在，請說明 理由7分)在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第A(0, 2),點C( 1, 0)，如圖所示，拋物線 y= ax2 + ax 2經過點B

24、.求點B的坐標；(2) 求拋物線的解析式；(3) 在拋物線上是否還存在點 為直角邊的等腰直角三角形 存在，請說明理由.3173#229 (2009豐臺一模)25.已知拋物線yx2bxc與x軸交于不同的兩點Ax,和B屜,0,3#o與y軸交于點C,且xi, X2是方程x - 2x - 3 = 0的兩個根(Xi ： X2).(1) 求拋物線的解析式；(2) 過點A作AD /CB交拋物線于點 D，求四邊形 ACBD的面積；(3) 如果P是線段AC上的一個動點(不與點 A、C重合)，過點P作平行于x軸的直線I交BC于點 Q,那么在x軸上是否存在點 R,使得 PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點 R的坐

25、標；若不存 在，請說明理由.30. ( 2009海淀一模)25已知拋物線經過點 A(0, 4)、B(1 , 4)、C(3, 2),與x軸正半軸交于點 D .(1) 求此拋物線的解析式及點D的坐標；(2) 在x軸上求一點E,使得 BCE是以BC為底邊的等腰三角形；在(2)的條件下，過線段 ED上動點P作直線PF / BC,與BE、CE分別交于點 F、G ,將厶EFG沿FG 翻折得到厶EFG 設P(x, 0), EFG與四邊形FGCB重疊部分的面積為 S,求S與x的函數關系式及自 變量x的取值范圍.331. (2009西城一模)24 .已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y x 6與x軸、y

26、軸的4交點分別為A、B,將/ OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.（1）直接寫出點C的坐標，并求過 A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為 D，在直線BC上是否存在點 P,使得四邊形 ODAP為平行四邊形？若存在，求 出點P的坐標；若不存在，說明理由；設拋物線的對稱軸與直線 BC的交點為T, Q為線段BT上一點，直接寫出丨QA QO丨的取值范圍.32. （2009宣武一模）25.如圖，矩形 OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，點B的坐標是（.3 , 1），點D是AB邊上一個動點（與 點A不重合），沿OD將厶OAD翻折后，點A落在點P處.若點P在

27、一次函數y= 2x 1的圖象上，求點 P的坐標；（2）若點P在拋物線y= ax2圖象上，并滿足厶PCB是等腰三角形，求 該拋物線解析式；（3）當線段OD與PC所在直線垂直時，在PC所在直線上作出一點 M , 使DM + BM最小，并求出這個最小值.33. （2009崇文一模）24.（本小題滿分7分）如圖，拋物線y= ax2+ bx 3，與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點 C,且OB = OC = 3OA.（I）求拋物線的解析式；（n）探究坐標軸上是否存在點P,使得以點p, a, C為頂點的三角形為直角三角形 ？若存在，求出 P點坐標，若不存在，請說明理由；1（川）直線yx 1交y軸于D點，E

28、為拋物線頂點若/ DBC =，/ CBE=-，求：的值.334 （2009石景山一模）21 已知：如圖，直角三角形 AOB的兩直角邊 OA、OB分別在x軸的正半軸和y軸的負半軸上，C為線段OA上一點，OC = OB,拋物線 過A、C兩點.（1）求出A、B兩點的坐標（可用含m的代數式表示）: 若 AOB的面積為2,求m的值.y= x2 （m + 1）x+ m（m 是常數，且 m> 1）經35. （2009 朝陽二模）23.（本小題7分）如圖，點 A在x軸的負半軸上,OA=4 AB=OB5 .將ABO繞坐標原點O順時針旋轉90°，得到AB1O，再繼續旋轉90 °,得到B2

29、O .拋物線y= ax 2+bx+3經過B B兩點.(1) 求拋物線的解析式；(2) 點B2是否在此拋物線上，請說明理由;(3) 在該拋物線上找一點 P,使得 pbb2是以BB2為底的等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標;(4) 在該拋物線上，是否存在兩點 M N,使得原點0是線段MN的中點，若存在，直接寫出這兩點的坐標;若不存在，請說明理由36. (2009崇文二模)25.(本小題滿分8分)在平面直角坐標系中， 拋物線y = ax2 x c經過直線y = 2x 4與坐標軸的兩個交點 B、C ,它與 x軸的另一個交點為 A.點N是拋物線對稱軸與 x軸的交點，點 M為線段AB上的動點.(1)

30、 求拋物線的解析式及點 A的坐標；(2) 如圖，若過動點 M的直線ME BC交拋物線對稱軸于點 E 試問拋物線上是否存在點 F，使得 以點M , N, E, F為頂點組成的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點 F的坐標；若不存在，說明理由；(3)如圖，若過動點 M的直線MD/AC交直線BC于D，連接CM .當.CDM的面積最大時，求點M的坐標?37. (2009東城二模)24.定義1a,b,c?為函數2 -2x 322#的 特征數”是 訃-2,3?，函數y=2x的 特征數”是8,2,3?,函數y =-x的 特征數”是#J3 (1) 將 特征數”是0,二,1，的函數圖象向下平移 2個單位，得到一個

31、新函數，這個新函數的解析式； 3 J(2) 在(1)中，平移前后的兩個函數分別與 y軸交于A、B兩點，與直線x=J3分別交于D、C兩點， 判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，請說明理由并計算其周長. 2 1 1(3) 若(2)中的四邊形與 特征數”是1,_2b,b -的函數圖象的有交點，求滿足條件的實數b的取I2J值范圍？38 (2009海淀二模)23、已知：關于x的一元二次方程 x2 +( n 2m) x + m2 mn=0(1)、求證：方程有兩個實數根：(2) 、若m- n仁0,求證方程有一個實數根為1;(3) 、在(2)的條件下，設方程的另一個根為a。當x=2時，關與m的函數y 1= nx + am與y2=x2 + a(n 2m)x+ m2 mn的圖像交與點 A、B (點A在點B的左側)，平行于y軸的直線L與y1、y2的圖像分別交與點 C D.當L沿AB由點A平移到點B時，求線段CD的最大值39. (2009海淀二模)24、如圖，已知拋物線 y= (3 m) x2 + 223(m- 3) x + 4m- m2的頂點 A在雙曲線y= 上，直線y=mx+ b經過點 xA,與y軸交于點B,與x軸交與點C.(1) 、確定直線AB的解析式：(2) 、將直線 AB繞點0順時針旋轉90°，與x軸交與點D,與y軸交與點E,求sin / BDE的