1、習題6-2 1. 求圖6-21 中各畫斜線部分的面積: (1) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區間為0, 1. 所求的面積為 . (2) 解法一 畫斜線部分在x軸上的投影區間為0, 1. 所求的面積為 , 解法二 畫斜線部分在y軸上的投影區間為1, e. 所求的面積為 . (3) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區間為-3, 1. 所求的面積為 . (4) 解 畫斜線部分在x軸上的投影區間為-1, 3. 所求的面積為 . 2. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積: (1) 與x2+y2=8(兩部分都要計算); 解: . . (2)與直線y=x及x=2; 解: 所求的面積為 . (3) y=ex, y=

2、e-x與直線x=1; 解: 所求的面積為 . (4)y=ln x, y軸與直線y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解 所求的面積為 3. 求拋物線y=-x2+4x-3及其在點(0, -3)和(3, 0)處的切線所圍成的圖形的面積. 解: y¢=-2 x+4. 過點(0, -3)處的切線的斜率為4, 切線方程為y=4(x-3). 過點(3, 0)處的切線的斜率為-2, 切線方程為y=-2x+6. 兩切線的交點為, 所求的面積為 . 4. 求拋物線y2=2px及其在點處的法線所圍成的圖形的面積. 解 2y×y¢=2p . 在點處, , 法線的斜

3、率k=-1, 法線的方程為, 即. 求得法線與拋物線的兩個交點為和. 法線與拋物線所圍成的圖形的面積為 . 5. 求由下列各曲線 所圍成的圖形的面積;(1)r=2acosq ; 解: 所求的面積為 =pa2. (2)x=acos3t, y=asin3t; 解 所求的面積為 . (3)r=2a(2+cosq ) 解 所求的面積為 . 6. 求由擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱(0£t£2p)與橫軸 所圍成的圖形的面積. 解: 所求的面積為 . 7. 求對數螺線r=aeq(-p£q£p)及射線q=p所圍成的圖形面積. 解 所求的

4、面積為 . 8. 求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積. (1)r=3cosq 及r=1+cosq 解 曲線r=3cosq 與r=1+cosq 交點的極坐標為, . 由對稱性, 所求的面積為 . (2)及. 解 曲線與的交點M的極坐標為M. 所求的面積為 . 9. 求位于曲線y=ex下方, 該曲線過原點的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積. 解 設直線y=kx與曲線y=ex相切于A(x0, y0)點, 則有 , 求得x0=1, y0=e, k=e . 所求面積為 . 10. 求由拋物線y2=4ax與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值. 解 設弦的傾角為a. 由圖可以看出, 拋物線與過焦

5、點的弦所圍成的圖形的面積為 . 顯然當時, A1=0; 當時, A1>0. 因此, 拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值為 . 11. 把拋物線y2=4ax及直線x=x0(x0>0)所圍成的圖形繞x軸旋轉, 計算所得旋轉體的體積. 解 所得旋轉體的體積為 . 12. 由y=x3, x=2, y=0所圍成的圖形, 分別繞x軸及y軸旋轉, 計算所得兩個旋轉體的體積. 解 繞x軸旋轉所得旋轉體的體積為 . 繞y軸旋轉所得旋轉體的體積為 . 13. 把星形線所圍成的圖形, 繞x軸旋轉, 計算所得旋轉體的體積. 解 由對稱性, 所求旋轉體的體積為 . 14. 用積分方法證明圖中球缺的

6、體積為. 證明 . 15. 求下列已知曲線所圍成的圖形, 按指定的軸旋轉所產生的旋轉體的體積: (1), , 繞y軸; 解 . (2), x=0, x=a, y=0, 繞x軸; 解 . (3), 繞x 軸. 解 . (4)擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 繞直線y=2a. 解 . 16. 求圓盤繞x=-b(b>a>0)旋轉所成旋轉體的體積. 解 . 17. 設有一截錐體, 其高為h, 上、下底均為橢圓, 橢圓的軸長分別為2a、2b和2A、2B, 求這截錐體的體積. 解 建立坐標系如圖. 過y軸上y點作垂直于y軸的平面, 則平面與截錐體的截面

7、為橢圓, 易得其長短半軸分別為 , . 截面的面積為. 于是截錐體的體積為 . 18. 計算底面是半徑為R的圓, 而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積. 解 設過點x且垂直于x軸的截面面積為A(x), 由已知條件知, 它是邊長為的等邊三角形的面積, 其值為 , 所以 . 19. 證明 由平面圖形0£a£x£b, 0£y£f(x)繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為 . 證明 如圖, 在x處取一寬為dx的小曲邊梯形, 小曲邊梯形繞y軸旋轉所得的旋轉體的體積近似為2px×f(x)dx, 這就是體積元素, 即 dV=2px

8、×f(x)dx, 于是平面圖形繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為 . 20. 利用題19和結論, 計算曲線y=sin x(0£x£p)和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積. 解 . 21. 計算曲線y=ln x上相應于的一段弧的長度. 解 , 令, 即, 則 . 22. 計算曲線上相應于1£x£3的一段弧的長度. 解 , , , , 所求弧長為 . 23. 計算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長度. 解 由得兩曲線的交點的坐標為, . 所求弧長為. 因為 , , . 所以 . 24. 計算拋物線y2=2px 從頂點到這曲線上的一點M(x,

9、 y)的弧長. 解 . 25. 計算星形線, 的全長. 解 用參數方程的弧長公式. . 26. 將繞在圓(半徑為a)上的細線放開拉直, 使細線與圓周始終相切, 細線端點畫出的軌跡叫做圓的漸伸線, 它的方程為 , . 計算這曲線上相應于t從0變到p的一段弧的長度. 解 由參數方程弧長公式 . 27. 在擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分擺線第一拱成1: 3的點的坐標. 解 設t從0變化到t0時擺線第一拱上對應的弧長為s(t0), 則 . 當t0=2p時, 得第一拱弧長s(2p)=8a. 為求分擺線第一拱為1: 3的點為A(x, y), 令 , 解得, 因而分點的坐標為

10、: 橫坐標, 縱坐標, 故所求分點的坐標為. 28. 求對數螺線相應于自q=0到q=j的一段弧長. 解 用極坐標的弧長公式. . 29. 求曲線rq=1相應于自至的一段弧長. 解 按極坐標公式可得所求的弧長 . 30. 求心形線r=a(1+cos q )的全長. 解 用極坐標的弧長公式. . 習題6-3 1. 由實驗知道, 彈簧在拉伸過程中, 需要的力F(單位: N)與伸長量s(單位: cm)成正比, 即F=ks (k為比例常數). 如果把彈簧由原長拉伸6cm, 計算所作的功. 解 將彈簧一端固定于A, 另一端在自由長度時的點O為坐標原點, 建立坐標系. 功元素為dW=ksds, 所求功為 k

11、(牛×厘米). 2. 直徑為20cm、高80cm的圓柱體內充滿壓強為10N/cm2的蒸汽. 設溫度保持不變, 要使蒸汽體積縮小一半, 問需要作多少功？ 解 由玻-馬定律知: . 設蒸氣在圓柱體內變化時底面積不變, 高度減小x厘米時壓強 為P(x)牛/厘米2, 則 , . 功元素為, 所求功為 (J). 3. (1)證明: 把質量為m的物體從地球表面升高到h處所作的功是 , 其中g是地面上的重力加速度, R是地球的半徑; (2)一顆人造地球衛星的質量為173kg, 在高于地面630km處進入軌道. 問把這顆衛星從地面送到630的高空處, 克服地球引力要作多少功？已知g=9.8m/s2,

12、 地球半徑R=6370km. 證明 (1)取地球中心為坐標原點, 把質量為m的物體升高的功元素為 , 所求的功為 . (2)(kJ). 4. 一物體按規律作直線運動, 媒質的阻力與速度的平方成正比. 計算物體由x=0移至x=a時, 克服媒質阻力所作的功. 解 因為, 所以 , 阻力. 而, 所以 . 功元素dW=-f(x)dx, 所求之功為 . 5. 用鐵錘將一鐵釘擊入木板, 設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比, 在擊第一次時, 將鐵釘擊入木板1cm. 如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等, 問錘擊第二次時, 鐵釘又擊入多少？ 解 設錘擊第二次時鐵釘又擊入hcm, 因木板對鐵釘的阻力f與

13、鐵釘擊入木板的深度x(cm)成正比, 即f=kx, 功元素dW=f dx=kxdx, 擊第一次作功為 , 擊第二次作功為 . 因為, 所以有 , 解得(cm). 6. 設一錐形貯水池, 深15m, 口徑20m, 盛滿水, 今以唧筒將水吸盡, 問要作多少功？ 解 在水深x處, 水平截面半徑為, 功元素為 , 所求功為 =1875(噸米)=57785.7(kJ). 7. 有一閘門, 它的形狀和尺寸如圖, 水面超過門頂2m. 求閘門上所受的水壓力. 解 建立x軸, 方向向下, 原點在水面. 水壓力元素為 , 閘門上所受的水壓力為 (噸)=205. 8(kN). 8. 灑水車上的水箱是一個橫放的橢圓柱

14、體, 尺寸如圖所示. 當水箱裝滿水時, 計算水箱的一個端面所受的壓力. 解 建立坐標系如圖, 則橢圓的方程為 . 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=17.3(kN). (提示: 積分中所作的變換為) 9. 有一等腰梯形閘門, 它的兩條底邊各長10m和6m, 高為20m. 較長的底邊與水面相齊. 計算閘門的一側所受的水壓力. 解 建立坐標系如圖. 直線AB的方程為 , 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=14388(千牛). 10. 一底為8cm、高為6cm的等腰三角形片, 鉛直地沉沒在水中, 頂在上, 底在下且與水面平行, 而頂離水面3cm, 試求它每面所受的壓力. 解 建立坐標系如圖. 腰

15、AC的方程為, 壓力元素為 , 所求壓力為 (克)=1.65(牛). 11. 設有一長度為l、線密度為m的均勻細直棒, 在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質量為m的質點M, 試求這細棒對質點M的引力. 解 建立坐標系如圖. 在細直棒上取一小段dy, 引力元素為 , dF在x軸方向和y軸方向上的分力分別為 , . , . 12. 設有一半徑為R、中心角為 j 的圓弧形細棒, 其線密度為常數 m . 在圓心處有一質量為m的質點F. 試求這細棒對質點M的引力. 解 根據對稱性, Fy=0. , . 引力的大小為, 方向自M點起指向圓弧中點. 總 習 題 六 1. 一金屬棒長3m, 離棒左端xm處的線

16、密度為(kg/m). 問x為何值時, 0, x一段的質量為全棒質量的一半? 解 x應滿足. 因為, , 所以 , (m). 2. 求由曲線r=asinq, r=a(cosq+sinq)(a>0)所圍圖形公共部分的面積. 解 . 3. 設拋物線通過點(0, 0), 且當xÎ0, 1時, y³0. 試確定a、b、c的值, 使得拋物線與直線x=1, y=0所圍圖形的面積為, 且使該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積最小. 解 因為拋物線通過點(0, 0), 所以c=0, 從而 . 拋物線與直線x=1, y=0所圍圖形的面積為 . 令, 得. 該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積

17、為 . 令, 得, 于是b=2. 4. 求由曲線與直線x=4, x軸所圍圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積. 解 所求旋轉體的體積為 . 5. 求圓盤繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積. 解 . 6. 拋物線被圓所需截下的有限部分的弧長. 解 由解得拋物線與圓的兩個交點為, , 于是所求的弧長為 . 7. 半徑為r的球沉入水中, 球的上部與水面相切, 球的比重與水相同, 現將球從水中取出, 需作多少功? 解 建立坐標系如圖. 將球從水中取出時, 球的各點上升的高度均為2r. 在x處取一厚度為dx的薄片, 在將球從水中取出的過程中, 薄片在水下上升的高度為r+x, 在水上上升的高度為r-x. 在水下對薄片所做的功為零, 在水上對薄片所做的功為 , 對球所做的功為 . 8. 邊長為a和b的矩形薄板, 與液面成a 角斜沉于液體內, 長邊平行于液面