1、帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題例析湖北省恩施高中陳恩譜名師指路例1:如圖所示，長為L的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的勻強磁場，磁感應強度為B,板間距離也為L,板不帶電.現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力），從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采A .使粒子的速度V<4mL c.使粒子的速度v>BmL用的辦法是B.使粒子的速度v>4md.使粒子的速度qm<v<4jq=【思維導引】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之一：已知入射點和入射速度方向，但入射速度大小不確定（即軌道半徑不確定）。所有這些問題，其

2、通用解法是：第一步，找準軌跡.圓圓心可能的位置：,第二為，按二定順序盡可能多地作不同圓心對應的軌跡圓（一般至少5畫個軌跡圓）第三步，根據(jù)所作的圖和題設條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關鍵點?！疽c提醒】入射點和入射方向已知，入射速度大小不確定一一這類問題的特點是：所有軌跡圓圓心均在過入射點、垂直入射速度的同一條直線上?！臼职咽帧苛Ｗ映跛俣确较蛞阎?，故不同速度大小的粒子軌跡圓圓心均在垂直初速度的直線上（如圖甲），在該直線上取不同點為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡圓和為臨界軌跡圓。軌道半徑小于軌跡圓或大于軌跡圓的粒子，均可射出磁場而不打在極板上。圖甲圖乙【解答】AB粒子

3、擦著板從右邊穿出時，圓心在。點，有ri2=L2+（riL）2,得ri=-5L由ri=mv1，得vi=54mL，所以吐曙時粒子能從右邊穿出粒子擦著上板從左邊穿出時，圓心在O'點，有2=4由r2=mv2，得v2=BqL，所以v<BqL時粒子能從左邊穿出.【解后反思】容易漏選A,錯在沒有將r先取較小值再連續(xù)增大，從而未分析出粒子還可以從磁場左邊界穿出的情況。a例2：如圖所不，在0Wx唱、0WyW范圍內(nèi)有垂直手xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。2坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶?正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方

4、向打,2的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2*到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中*做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的L?=?上速度的大小;（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！舅季S導引】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之二：已知入射點和入射速度大一1Ir口*1IIII*r1*，I口*Iri*ii，i10ii*ii公工即物迫步逕大小），但Afi逑度方回丕跡走一。西迪用解法還是：第一步,找準軌跡圓圓心可能的位亞&前三口豆二百而近H/加存水而向:取R的軌跡圓（一般至少5畫

5、個軌跡圓），第三步，根據(jù)所作的圖和題設條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關鍵點?！疽c提醒】這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在一個“圓心圓”上一一所謂“圓心圓”，是指以入射點為圓心，以為半徑的圓?！臼职咽帧勘绢}給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經(jīng)過入射點Q入射點O到任一圓心的距離均為r,故所有軌跡圓的圓心均在一個“圓心圓”一一以入射點O為圓心、為半徑的圓周上（如圖甲）。考慮到粒子是向右偏轉，我們從最左邊的軌跡圓畫起取“圓心圓”上不同點為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡對應弦長大于軌跡對應弦長一一半徑一定、圓心角都較小時（均小于18

6、0°）,弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運動時間越長故軌跡對應圓心角為90°。圖甲圖乙【解答】設粒子的發(fā)射速度為 v,粒子做圓周運動的軌道半徑為R,根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力得:2VqvB = mR,口 i mv解得：R= qB當a/2<R<a時，在磁場中運動的時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設該粒子在磁場中運動的時間為t,依題意，t=T/4時，/OCA=tt/2設最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為(X,由幾何關系得:aRsina=R, Rsin a =aRcosa2.22.sin 工, cos - =1口

7、、6.6 aqB .6- 6解得：R = (2 )a, v=(2 )一q-, sin «=22 m10【解后反思】 由于作圖不仔細而把握不住“ 軌跡對應弦長大于軌跡 對應弦長一一半徑一定、圓心角都較小時（均小于 180°）,弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運動時間越長”從而誤認為軌跡對按粒子偏轉方向移動圓心作圖應粒子在磁場中運動時間最長。這類題作圖要講一個小技巧【例3】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于xOy平面向外，大小為B,沿x軸放置一個垂直于xOy平面的較大的熒光屏，P點位于熒光屏上，在y軸上的A點放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同

8、方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m、電荷量+q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P點處在亮線上，已知OA=OP=l,求：（1）若能打到P點，則粒子速度的最小值為多少？（2）若能打到P點，則粒子在磁場中運動的最長時間為多少？【思維導引】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之三：已知入射點和出射點，但未知初速度大?。次粗霃酱笮。┖头较?。思路同前。【要點提醒】這類問題的特點是：所有軌跡圓圓心均在入射點和出射點連線的中垂線上?！臼职咽帧苛Ｗ蛹冉?jīng)過A點又經(jīng)過P點，因此AP連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的中垂線OM上（如圖甲）。在OM上取不同點為圓心、以圓心和A

9、點連線長度為半徑由小到大作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡對應半徑最小，而軌跡對應粒子是Oi點上方軌道半徑最大的，由圖可知其對應圓心角也最大?！敬鸢浮浚?）v=叵B_,t=5m2m2qBv時，其在磁場中的運【解答】（1）粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，設粒子的速度大小為動半徑為R,則由牛頓第二定律有:2vqBv=m若粒子以最小的速度到達P點時，其軌跡R=sAP2RAP為直徑的圓Jl2（如圖中圓Oi所示）由幾何關系知:則粒子的最小速度v=2qBl2m（2）粒子在磁場中的運動周期T=2空qBB*設粒子在磁場中運動時其軌跡所對應的圓心角為e依則粒子在磁場中白運動時間為：t=T=2冗x1mqB由圖

10、可知，在磁場中運動時間最長的粒子的運動軌跡如圖中圓。2所示,此時粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關系有:則粒子在磁場中運動的最長時間:2qB【解后反思】注意作好入射點和出射點連線的中垂線后,作軌跡圓時半Ox度延長線形成的角的角平分/上。即/末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切入冰也圓圓心到兩條直線 1、30 1的距離（即軌道半徑）相等，因網(wǎng),圓心必位于初、末速度延長線形成的角的角*分線QC上（如圖甲）；八在角平分線QC上取不同的點:勺圓L P可能的軌跡圓中半徑最大的，其對中的君仔速度也最大。P）,其中以C點為圓心軌跡是ACQQOO由小到大作出一系列軌跡圓A AA （文圖/L徑一定要由小到大取

11、至少五個不同的值，這樣才能題意。解題高手【例1】在xOy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B.一個質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子，由原點O開始沿x正方向運動，進入該磁場區(qū)域后又射出該磁場；后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°（如圖所示），已知P到。的距離為L,不計重力的影響。（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小為v=9BL，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積。6m【分析】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大?。次粗?/p>

12、軌道半徑大小）.這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速圖丙圖甲圖乙【解答】過P點作末速度所在直線，交x軸于Q點，經(jīng)分析可知，粒子在磁場中作圓周運動的軌跡的圓心必在/OPQ的角平分線QC上，如圖甲所示。設粒子在磁場中作勻速圓周運動的軌道半徑為r,則由牛頓第2二定律，有qvB=mrmv則r=qB由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場中運動軌跡的圓心是y軸上的C點。（1）如圖丙所示，速度最大時粒子的軌跡圓過。點、且與PQ相切于A點。由幾何關系有OQ=lian3pri=OQtan30）可得r1=3由、求得丫=理3m（2）將丫=照代入式，可得2=L,粒子的運動軌跡

13、是6m6如圖丁所示的軌跡圓，該軌跡圓與x軸相切于D點、與PQ相切于E點。連接DE,由幾何關系可知DE由于D點、E點必須在磁場內(nèi)，即線段DE在磁場內(nèi)，故可知磁場面積最小日必定是以DE為直徑（如圖丁中所示）。即面積最-1r一小的磁場半徑為R=DE2oJ3od2則磁場的最小面積為s=tR2=XL）2=1248【例5】如圖所示，長方形abcd的長ad=0.6m,寬ab=0.3m,O、e分別是ad、bc的中點，以e為圓心eb為半徑的圓弧和以O為圓心Od為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場（eb邊界上無磁場）磁感應強度B=0.25T。一群不計重力、質(zhì)量m=3X10-7kg、電荷量q=+2X10

14、-3C的帶正電粒子以速度v=5Xl02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（）A.從Od邊射入的粒子，出射點全部分布在Oa邊B.從aO邊射入的粒子，出射點全部分布在ab邊C.從Od邊射入的粒子，出射點分布在ab邊D.從ad邊射人的粒子，出射點全部通過b點【分析】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之五：已知初速度的大小（即已知軌道半徑大?。┖头较?，但入射點不確定.這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點組成的邊界沿垂直入射速度方向平移一個半徑距離的曲線上。所有進入磁場的粒子的入射點均在dOb線上，將該曲線垂直速度向上平移一個半徑r=mv后得到曲線O

15、af,此即所有粒子在磁場中做圓周運動的圓心所在曲線，在qB該曲線上從下到上取點作為圓心、r=mv為半徑作一系列軌跡圓，其中為從d點射入粒子的軌跡（圓qB心在。點），為從O點射入粒子的軌跡（圓心在a點），為從a點射入粒子的軌跡，從d、O之間入射粒子在磁場中轉過1/4圓周后沿eb邊界作直線運動最終匯聚于b點，從O、a之間入射粒子先作直線運動再進入磁場做圓周運動，由作圖易知這些粒子也匯聚于b點?！纠?】如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0,a）點以初速度v0平行于x軸射出，在y軸右側某一圓形區(qū)域加一垂直于xoy平面向里勻強磁場，磁感應強度大小為B.為了使電子能從x軸上的Q（b,0

16、）點射出磁場。試求滿足條件的磁場的最小面積，并求出該磁場圓圓心的坐標?！痉治觥勘绢}是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之六：已知初速度方向（所在直線）和出射點，但入射點不確定.這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在“以初速度所在直線為準線、出射點為焦點的拋物線”上。本題中，電子初速度所在直線已知，電子進入磁場的入射點在該直線上，則可知電子在磁場中作圓周運動的軌跡圓與該直線相切、且經(jīng)過Q點，所以電子軌跡圓圓心到該直線和到Q點的距離相等，即電子軌跡圓圓心在以該直線為準線、Q點為焦點的拋物線上。在該拋物線上從左向右去不同點為圓心，做出一些列軌跡圓，可以看出所有這些軌跡中軌跡所需圓形磁場的直徑

17、最小?！敬鸢浮?7a2,(b,a)42練習【練習1】兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點O為原點，如圖所示。在y>0,0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強磁場，在y>0,x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應強度大小均為B。在O點處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運動的時間與在x>a的區(qū)域中運動的時間之比為2：5

18、,在磁場中運動的總時間為7T/12,其中T為該粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中作圓周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）。XX：1XX:XX:XXiXxL【分析】粒子在0<x<a的區(qū)域中的運動屬于初速度方向已知、大小不確定的情況，在垂直初速度的直線（即y軸）上取不同點為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖甲），其中軌跡圓與直線x=a相切，為能打到y(tǒng)軸上的粒子中軌道半徑最大的；若粒子軌道半徑大于軌跡圓，粒子將進入x>a的區(qū)域,由對稱性口y半徑由小比惻屋”在x>a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在T目所要求跡圓,其中軌跡圓a2a2a圖甲圖乙【答案】豎直屏上發(fā)

19、亮的范圍從。到2a,水平屏上發(fā)亮的范圍從2a至ijx=2a+紀3a3【解答】粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中運動半徑為：r=mvqB速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a,屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。軌道半徑大于a的粒子開始進入右側磁場，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側的圓軌跡與x軸在D點相切(虛線)，OD=2a,這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C',C在y軸上，有對稱性可知C'在x=2a直線上。設ti為粒子在0<x<a的區(qū)域中運動的時間，t

20、2為在x>a的區(qū)域中運動的時間，由題意可知t127T,.,T,5T_一=一，ti+t2=由此解得：t1=一t1=t2512612由式和對稱性可得/OCM=60,/MC'N=6b/MC'P=3'60=：1(50所以NNC'P=150”60"=9012即弧長NP為1/4圓周。因此，圓心C'在x軸上。設速度為最大值粒子的軌道半徑為R,有直角LCOC'可得2Rsin60'=2a由圖可知OP=2a+R,因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標【易錯提醒】本題容易把握不住隱含條件一一所有在x>a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在x=2a直線

21、上，從而造成在x>a的區(qū)域內(nèi)的作圖困難；另一方面，在x>a的區(qū)域內(nèi)作軌跡圓時，半徑未從軌跡圓半徑開始取值，致使軌跡圓未作出，從而將水平熒光屏發(fā)亮范圍的左邊界坐標確定為x=a【練習2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應弓雖度為B的勻強磁場。在t=0時刻，一位于ad邊中點O的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od邊的夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界cd上白p點離開磁場，粒子在磁場中做圓周運動的半徑恰好等于正方形邊長L,粒子重力不計，求：(1)粒子的比荷q/

22、m；(2)假設粒子源發(fā)射的粒子在0180。范圍內(nèi)均勻分布，此時刻仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間。【分析】以L為半徑、O點為圓心作“圓心圓”（如圖甲）；由于粒子逆時針偏轉，從最下面的軌跡開始;其中軌跡與軌跡畫起（軌跡），在圓心圓”取不同點為圓心、以L為半徑作出一系列圓（如圖乙）對稱，在磁場中運動時間相同；軌跡并不經(jīng)過c點，軌跡對應弦長短于軌跡對應弦長一一即沿軌跡運動的粒子最后離開磁場。m 6Btot =(12arcsin-5)t0【解答】（1）初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場中運動的軌跡如圖，其園心為n,由幾何關系有:ji-Onp 二一

23、6toT12粒子做圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得21; 2 rBqv =m() R, v =Om 6Bt0（2）依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到。點距離相等。在 to時刻仍在磁場中的粒子應位于以園心，Op為半徑的弧pw上。由圖知八5二pOw =6此時刻仍在磁場中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6（3）在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡應該與磁場邊界b點相交，設此a粒子運動軌跡對應的圓心角為0,則.9sin-二2、 一e在磁場中運動的最長時間t = T2 二12arcsin57554所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時間為* J25、.t =(arcsin )t0。 二 4【易錯提醒】

24、本題因作圖不認真易錯誤地認為軌跡 經(jīng)過c點，認為軌跡對應弦長等于軌跡對應弦長， 于是將軌跡對應粒子作為在磁場中運動時間最長的 粒子進行計算；雖然計算出來結果正確，但依據(jù)錯誤。【練習3】如圖所示，xOy平面內(nèi)存在著沿y軸正 方向的勻強電場.一個質(zhì)量為m,帶電荷量為+ q的粒子從坐標原點 O以速度Vo沿x軸正方向開始運動.當 它經(jīng)過圖中虛線上的 M(2j3a, a)點時，撤去電場，粒 子繼續(xù)運動一段時間后進入一個矩形勻強磁場區(qū)域(圖中未畫出)，又從虛線上的某一位置N處沿y軸負方向運動并再次經(jīng)過 M點.已知磁場方向垂直 xOy平面(紙 面)向里，磁感應強度大小為 B,不計粒子的重力，試求：(1)電場強度的大小；(2)N點的坐標；(3)矩形磁場的最小面積.o【分析】 粒子在電場中偏轉后進入 MN右側，初速度方向已知，另一方面，粒子末速度由N指向Mo初速度、末速度所在直線交于點M,過M點作/NMP角平分線 MO',粒子軌跡圓的圓心必在直線MO'上。取其上一點 O'為圓心作出軌跡圓(如圖所示)2 mv0 【答案】E =6qa Xn =2、3a4m2v2 Smin = Li L222q b【解答】粒子從。到M做類平拋運動，設時間為 t,則有2 3a =v0t得1 qE+2 a = t