1、2015年全國高中數學聯賽模擬試題05第一試（時間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.函數的值域是 2.函數在中的零點個數為 3.設是平面上的兩點,是關于的對稱點,是關于的對稱點,若,則 4.設動點,其中參數,則線段掃過的平面區域的面積是 5.從正十二邊形的頂點中取出4個頂點,它們兩兩不相鄰的概率是 6.一個球外接于四面體，另一半徑為1的球與平面相切，且兩球內切于點，已知,，則四面體的體積為 8. 用表示非空整數集S中所有元素的和，設是正整數集，且，若對每個正整數，存在A的子集S，使得，則滿足上述要求的的最小值為 二、解答題：本大題共3小題

2、，共56分.9. （本小題滿分16分）已知是正實數,求證:10. （本小題滿分20分）設是不同的正實數.證明：是一個等比數列的充分必要條件是：對所有整數，都有11. （本小題滿分20分）已知直線與橢圓C：交于兩點，過橢圓C的右焦點、傾斜角為的直線交弦于點，交橢圓于點（1）用表示四邊形的面積；（2）求四邊形的面積取到最大值時直線的方程2015年全國高中數學聯賽模擬試題05加試（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，證明：為直角三角形.二、（本小題滿分40分）對給定的自然數與，任意一個由個連續整數組成的集合都

3、含有兩個不同的數，它們的乘積能被整除三、（本小題滿分50分）求證：數列的每一項都是整數，但都不是3的倍數四、（本小題滿分50分）圓周上有個點，用弦兩兩連結起來，其中任何3條弦都不在圓內共點，求由此形成的互不重疊的圓內區域的個數2015年全國高中數學聯賽模擬試題05第一試參考解答一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.函數的值域是 解：由(1)時,該方程有解(2)時,因為,所以所以, 且綜合(1)(2) ,故答案為法二：,令,則,故該函數的值域為法三：(1)時,(2)時,因為所以或所以或所以,且即且所以, 且綜合(1)(2) ,故答案為法四：求導,該函數在區間及上單調遞增,在區間上

4、單調遞減,計算即得答案為2.函數在中的零點個數為 解:由于所以,在上的零點個數即是因為的最小正周期為,故之間函數的圖象有1007個周期,每個周期有兩個零點,考慮到兩個端點為閉區間,故答案為20153.設是平面上的兩點,是關于的對稱點,是關于的對稱點,若,則 解:設點對應的復數為由題意:所以,所以,所以,所以, 4.設動點,其中參數,則線段掃過的平面區域的面積是 解:直線的方程為,時,直線方程為,時,直線方程為,故不妨設,直線方程為,對每個,當變化時,所以,線段掃過的平面區域是函數及直線圍成的封閉圖形,由積分的幾何意義,故答案為5.從正十二邊形的頂點中取出4個頂點,它們兩兩不相鄰的概率是 解:將

5、這十二個點依次標為,從十二個點中取4個點的方法數為,取出的四個點兩兩不相鄰的包含以下兩類,(1)如果不取點,則從這11個點中取4個點,兩兩不相鄰,則方法數為(相當于把4個點插到7個點中(2)如果取點,由于不能取,故從這9個點中取三個點,兩兩不相鄰,方法數為(相當于把三個點插到6個點中)故所求概率為6.一個球外接于四面體，另一半徑為1的球與平面相切，且兩球內切于點，已知,，則四面體的體積為 8. 用表示非空整數集S中所有元素的和，設是正整數集，且，若對每個正整數，存在A的子集S，使得，則滿足上述要求的的最小值為 8.解：令若則不存在，使所以 （1）又由題設得 ，于是由（1）及歸納法易得若，則（否

6、則750無法用表示出），所以又于是，所以另一方面，令當時，可找到，使當時，存在，使當時，存在，使當時，存在，使于是，的最小值為248。二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.已知是正實數,求證:證明:由于所以,所以,即法二:令所以,法三、不妨設,可將不等式化為,證明過程略10. （本小題滿分20分）設是不同的正實數.證明：是一個等比數列的充分必要條件是：對所有整數，都有10.必要性：若是一個等比數列，設，則.充分性：當n2時，兩邊都等于1.當n3時，有，化簡得，所以，成等比數列.假設成等比數列（），記，則，因為，所以，即，從而成等比數列.由數學歸納法知，是一個等比數列.11. （本小題滿分2

7、0分）已知直線與橢圓C：交于兩點，過橢圓C的右焦點、傾斜角為的直線交弦于點，交橢圓于點（1）用表示四邊形的面積；（2）求四邊形的面積取到最大值時直線的方程解 （1）直線的傾斜角為，記，則，而與所成的角為，則四邊形面積5分而，A點坐標為，且，從而，其中或10分（2）記，而只可能在時才可能取到最大值對求導數得到：令，則有 15分化簡得到 所以 而 無實根，則經檢驗，符合故所求直線的方程為： 20分2015年全國高中數學聯賽模擬試題05加試參考答案一、（本小題滿分40分）如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，證明：為直角三角形.證：由于點皆在的中垂線上，設直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形二、（本小題滿分40分）對給定的自然數與，任意一個由個連續整數組成的集合都含有兩個不同的數，它們的乘積能被整除證明：設個連續整數為，則，由