1、wordCENTRAL SOUTH UNIVERSITY題 目利用Matlab模擬點電荷電場的分布姓 名xxxx學 號xxxxxxxxxx班 級電氣xxxx班任課老師xxxx實驗日期2022-10電磁場理論 實驗一利用Matlab模擬點電荷電場的分布1 實驗目的：1 熟悉單個點電荷及一對點電荷的電場分布情況；2 學會使用Matlab進行數值計算，并繪出相應的圖形；2 實驗原理：根據庫倫定律：在真空中，兩個靜止點電荷之間的作用力與這兩個電荷的電量乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向在兩個電荷的連線上，兩電荷同號為斥力，異號為吸力，它們之間的力F滿足： (式1)由電場強度E的定義可

2、知： (式2)對于點電荷，根據場論根底中的定義，有勢場E的勢函數為 (式3)而 (式4) 在Matlab中，由以上公式算出各點的電勢U，電場強度E后，可以用Matlab自帶的庫函數繪出相應電荷的電場分布情況。 3 實驗內容：1. 單個點電荷l 點電荷的平面電力線和等勢線真空中點電荷的場強大小是E=kq /r2 ,其中k 為靜電力恒量, q 為電量, r 為點電荷到場點P(x,y)的距離。電場呈球對稱分布, 取電量q 0, 電力線是以電荷為起點的射線簇。以無窮遠處為零勢點, 點電荷的電勢為U=kq /r,當U 取常數時, 此式就是等勢面方程.等勢面是以電荷為中心以r 為半徑的球面。u 平面電力線

3、的畫法在平面上, 電力線是等角分布的射線簇, 用MATLAB 畫射線簇很簡單。取射線的半徑為( 都取國際制單位) r0=0.12, 不同的角度用向量表示( 單位為弧度) th=linspace(0,2*pi,13)。射線簇的終點的直角坐標為: x,y=pol2cart(th,r0)。插入x 的起始坐標x=x; 0.1*x.同樣插入y 的起始坐標, y=y; 0.1*y, x 和y 都是二維數組, 每一列是一條射線的起始和終止坐標。用二維畫線命令plot(x,y)就畫出所有電力線。u 平面等勢線的畫法在過電荷的截面上, 等勢線就是以電荷為中心的圓簇, 用MATLAB 畫等勢線更加簡單。靜電力常量

4、為k=9e9, 電量可取為q=1e- 9; 最大的等勢線的半徑應該比射線的半徑小一點 r0=0.1。其電勢為u0=k8q /r0。如果從外到里取7 條等勢線, 最里面的等勢線的電勢是最外面的3 倍, 那么各條線的電勢用向量表示為: u=linspace(1,3,7)*u0。從- r0 到r0 取偶數個點, 例如100 個點, 使最中心點的坐標繞過0, 各點的坐標可用向量表示: x=linspace(- r0,r0,100), 在直角坐標系中可形成網格坐標: X,Y=meshgrid(x)。各點到原點的距離為: r=sqrt(X.2+Y.2), 在乘方時, 乘方號前面要加點, 表示對變量中的元素

5、進行乘方計算。各點的電勢為U=k8q. /r, 在進行除法運算時, 除號前面也要加點, 同樣表示對變量中的元素進行除法運算。用等高線命令即可畫出等勢線contour(X,Y,U,u), 在畫等勢線后一般會把電力線擦除, 在畫等勢線之前插入如下命令hold on 就行了。平面電力線和等勢線如圖1, 其中插入了標題等等。越靠近點電荷的中心, 電勢越高, 電場強度越大, 電力線和等勢線也越密。圖1源程序：%點電荷的平面電力線和等勢線%平面電力線的畫法q=1e-9;r0=0.12;th=linspace(0,2*pi,13);x,y=pol2cart(th,r0);x=x;0.1*x;y=y;0.1*

6、y;plot(x,y);grid onhold onplot(0,0,o,MarkerSize,12)xlabel(x,fontsize,16)ylabel(y,fontsize,16)title(單個點電荷的電場線與等勢線,fontsize,20)%平面等勢線的畫法k=9e9;r0=0.1;u0=k*q/r0;u=linspace(1,3,7)*u0;x=linspace(-r0,r0,100);X,Y=meshgrid(x);r=sqrt(X.2+Y.2);U=k*q./r;hold on;contour(X,Y,U,u)clear;l 點電荷的立體電力線和等勢面u 立體電力線的畫法先形成

7、三維單位球面坐標, 繞z 軸一周有8 條電力線X,Y,Z=sphere(8),每維都是99 的網格矩陣, 將X 化為行向量, 就形成各條電力線的終點x 坐標x=r0=X(:), 其他兩個坐標也可同樣形成終點坐標y=r0+Y(:) , z=r0+Z(:) 。對x坐標插入原點x=x(zeros(size(x), 其他兩個坐標如下形成y=y(zeros(size(y), z=z(zeros(size(z), 用三維畫線命令plot3(x,y,z), 就畫出所有電力線。u 立體等勢面的畫法畫5 條等勢面時, 各面的電勢為u=linspace(1,3,5)+u0, 各等勢面的半徑為r=k6q. /u,

8、其中第一個球面的半徑為rr=r(1)。三維單位球面的坐標可由X,Y,Z=sphere 命令形成, 每維都是2121 的網格矩陣, 由于外球會包圍內球, 因此把球面的四分之一設為非數, 表示割去該局部Z(X0&Y0)=nan. 用曲面命令可畫出第一個曲面surf(rr6X,rr6Y,rr6Z), 只要取不同的半徑就能畫出不同的等勢面.為了使等勢面好看, 可設置一個顏色濃淡連續變化的命令shading interp。點電荷的立體電力線和等勢面如圖2, 旋轉圖片可從不同的角度觀察。圖2源程序：%立體電力線的畫法q=1e-9;X,Y,Z=sphere(8);r0=0.18;r1=0.2;k=9e9;u

9、0=k*q/r0;x=r1*X(:);y=r1*Y(:);z=r1*Z(:);x=x;zeros(size(x);y=y;zeros(size(y);z=z;zeros(size(z);plot3(x,y,z)hold on;%立體等勢線之畫法u=linspace(1,3,5)*u0; %畫5 條等勢面時, 各面的電勢為u=linspace(1,3,5)+u0,r=k*q./u; %各等勢面的半徑為r=k6q. /uX,Y,Z=sphere;Z(X0&Y0)=nan;surf(r(1)*X,r(1)*Y,r(1)*Z); %第一到第五個球面surf(r(2)*X,r(2)*Y,r(2)*Z);

10、surf(r(3)*X,r(3)*Y,r(3)*Z);surf(r(4)*X,r(4)*Y,r(4)*Z);surf(r(5)*X,r(5)*Y,r(5)*Z);shading interp %個顏色濃淡連續變化的命令shading interp。xlabel(x,fontsize,16);ylabel(y,fontsize,16);zlabel(z,fontsize,16);title(正電荷電場線等勢面的三維圖形,fontsize,20);clear;2. 一對點電荷u 平面等勢線的畫法仍然用MATLAB 的等高線命令畫等勢線。對于正負兩個點電荷, 電量不妨分別取q1=2e- 9,q2=-

11、 1e- 9, 正電荷在x 軸正方, 負電荷在x 軸負方, 它們到原點的距離定為a=0.02; 假設平面范圍為xx0=0.05,yy0=0.04, 兩個坐標向量分別x=linspace(- xx0,xx0,20)和y=linspace(- yy0,yy0,50)。設置平面網格坐標為X,Y=meshgrid(x), 各點到兩電荷的距離分別為r1=sqrt(X- a).2+Y.2)和r2=sqrt(X+a).2+Y.2)。各點的電勢為U=k6q1. /r1+k6q2. /r2, 取最高電勢為u0=50, 最低電勢取其負值。在兩者之間取11 個電勢向量u=linspace (u0,- u0,11),

12、 等高線命令contour(X,Y,U,u,k- )用黑實線, 畫出等勢線如圖2所示, 其中, 左邊從里到外的第6 條包圍負電荷的等勢線為零勢線。u 平面電力線的畫法利用MATLAB 的箭頭命令, 可用各點的電場強度方向代替電力線。根據梯度可求各點的場強的兩個分量Ex,Ey=gradient(- U),合場強為E=sqrt(Ex.2+Ey.2)。為了使箭頭等長, 將場強Ex=Ex. /E,Ey=Ey. /E 歸一化, 用箭頭命令quiver(X,Y,Ex,Ey)可標出各網點的電場強度的方向,異號點電荷對的場點方向如圖3 所示。為了畫出連續的電力線, 先確定電力線的起點。電荷的半徑可取為r0=0

13、.002, 如圖4 所示, 假設第一條電力線的起始角為30 度, 其弧度為q=30+pi /180, 起始點到第一個點電荷的坐標為x1=r0+cos(q),y=r0+sin(q), 到第二個點電荷的坐標只有橫坐標x2=2+a+x1 不同。用前面的方法可求出該點到兩個電荷之間的距離r1 和r2, 從而計算場強的兩個分量以及總場強Ex=q1+x1 /r13 +q2+x2 /r23, Ey=q1+y/r13+q2+y/r23, E=sqrt(Ex6Ex+Ey6Ey)。下面只要用到場強分量與總場強的比值, 在計算場強分量時沒有乘以靜電力常量k。由于電力線的方向與場強的切線方向相同, 取線段為s=0.0

14、001,由此可求出終點的坐標為x1=x1+s#Ex/E,y=y+s+Ey/E, 從而計算x2。以終點為新的起點就能計算其他終點。當終點出界時或者到達另一點電荷時, 這個終點可作為最后終點. 這種計算電力線的方法稱為切線法。源程序：%一對電荷平面等勢線和電場線圖clear all;clf;%平面等勢線的畫法q1=2e-9;q2=-1e-9;a=0.02;%到原點的距離xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r11=sqrt(xx0/1.7-a)2+(yy0/1.

15、7)2); r22=sqrt(xx0/1.7+a)2+(yy0/1.7)2);r1=sqrt(X-a).2+Y.2); %各點到點電荷的距離r2=sqrt(X+a).2+Y.2);U=k*q1./r1+k*q2./r2; %各點的電勢u0=k*q1/r11+k*q2/r22;u=linspace(u0,-u0,11); %取21個等勢向量contour(X,Y,U,u,k-);hold ongrid onplot(a,0,o,MarkerSize,12);plot(-a,0,o,MarkerSize,12);xlabel(x,fontsize,16);ylabel(y,fontsize,16)

16、;%平面電力線的畫法Ex,Ey=gradient(-U);E=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./E;Ey=Ey./E;hold on;quiver(X,Y,Ex,Ey);title(一對不相等的電荷的等勢線圖和電場線圖,fontsize,20)clear;圖3源程序：%一對電荷平面等勢線和電場線圖clear all;clf;%平面等勢線的畫法q1=1;q2=1;a=0.02;xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r11=sqrt(xx0/1.7-

17、a)2+(yy0/1.7)2);r22=sqrt(xx0/1.7+a)2+(yy0/1.7)2);r1=sqrt(X-a).2+Y.2);r2=sqrt(X+a).2+Y.2);U=k*q1./r1+k*q2./r2;u0=k*q1/r11+k*q2/r22;u=linspace(u0,-u0,11);contour(X,Y,U,u,k-);hold on%平面電力線的畫法Ex,Ey=gradient(-U);E=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./E;Ey=Ey./E;dth1=20;th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180;r0=a/5;x1=r0*cos(

18、th1)+a;y1=r0*sin(th1);streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1);streamline(-X,-Y,-Ex,-Ey,x1,-y1);q=abs(q1/q2);dth2=dth1/q;th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;x2=r0*cos(th2)-a;y2=r0*sin(th2);streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2);streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2);grid onplot(a,0,o,MarkerSize,12);plot(-a,0,o,MarkerSize,12);xlabel(x

19、,fontsize,16);ylabel(y,fontsize,16);title(一對點電荷的電場分布圖);clear;圖4圖54 實驗心得本次電磁場實驗是利用Matlab模擬點電荷電場的分布，剛收到實驗指導書時，并不知道該怎么做，由于我們并沒有正式學過Matlab，只是在局部課程如信號，自控等課上對該軟件有所接觸。接到實驗指導書后，我去圖書館借閱了有關Matlab根底的書籍，了解了其中根底局部以及和實驗有關的局部，并在網上搜約了相關資料，最后在同組同學的努力以及老師的指導下終于成功完成了實驗。通過這次試驗，我了解了Matlab的根本操作以及其中局部函數的應用，學會用利用Matlab模擬點電

20、荷電場的分布。另外，我還體會到自學的重要性，大學有很多東西需要自學，只有通過自學更多的知識才能更好的應用所學的課程。電磁場理論實驗二 利用Matlab模擬帶電粒子在磁場中的運動1 實驗目的：(1) 理解數值模擬研究物理問題的思路，能獨立地運用此方法研究物理問題，掌握數值模擬的編程。(2) 運用Matlab數值模擬的方法研究三維空間中帶電粒子在復雜磁場環境下的運動行為。3 實驗原理：帶電粒子在磁場中運動時會受到洛倫茲力的作用，且隨著初始運動方向和磁場分布的不同，其運動軌跡會發生不同的變化。由洛倫茲力的推導公式可知，它垂直于粒子的運動速度，不對運動粒子作功，只改變其運動方向，其大小為：；因此，綜合

21、牛頓運動定律就可以精確確定帶電粒子在磁場中的運動軌跡。4 實驗內容：1 用Matlab數值模擬的方法模擬帶電粒子在恒定磁場中的螺旋運動，即帶電粒子進入磁場的方向與磁場方向的角度。2 用Matlab數值模擬的方法模擬磁聚焦現象，即在均勻磁場中某點引入一發散角不大的帶電粒子束，并使束中粒子的速度v大致相同。3 有興趣的同學可以嘗試模擬磁鏡現象，即從帶電粒子束進入方向，磁場逐漸增強。5 實驗步驟：(一)1) 帶電粒子在均勻穩定電磁場中受力分析: 2) 帶電粒子在均勻穩定電磁場中的運動微分方程為: 可將上式分解在直角坐標系展成標量式：令 , ,那么化簡為:令 那么得出可以用MATLAB數值積分的一次微

22、分方程組： 3) 根據上述方程進行MATLAB編程:建立微分方程函數: %實驗微分方程 電磁場中帶電粒子function ydot=mf1(t,y,flag,q,m,b1,b2,b3)ydot=y(2); q*b3*y(4)/m-q*b2*y(6)/m; y(4);-q*b3*y(2)/m+q*b1*y(6)/m; y(6);+q*b2*y(2)/m-q*b1*y(4)/m;設置各參數的初值,并在command windows 中輸入相關命令,B1=0;B2=0;B3=2;c=0,5,0,9,0,8;q=1.6e-2; m=0.02figurestrd1=E(x)neq 1,E(y)neq 1

23、,E(z)neq 1,B(x)neq o,B(y)neq o,B(z)neq 1;t,y=ode23(mf1,0:0.001:20,c,q,m,B1,B2,B3);title(strd1,fontsize,12,fontweight,demi);xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z);view(-51,18);comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5);plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5); grid on程序中利用了ode23求解數值微分,事實上,如果利用符號積分計算運動軌跡,由于計算機速度的限制,得不到結果.利用comet3 繪制3-D動態圖,利用plot3繪制3-D靜止圖.實驗結果如圖:(二)一個帶電粒子進入磁場時速度的方向不與磁場垂直, 那么可將入射速度分解為沿著磁場方向的速度v1和垂直磁場的速度v2。在垂直磁場方向, 由于粒子受到洛倫茲力的作用, 做圓周運動, 運動周期為, 粒子平行于磁場方向的分速度不受