1、講義編號_ 學員編號：年 級： 課時數：3 學員姓名： 輔導科目： 數學 學科教師：課 題二項式定理(三)授課日期及時段教學目的1理解和掌握二項式系數的性質，并會簡單的應用； 2.初步了解用賦值法是解決二項式系數問題；3.能用函數的觀點分析處理二項式系數的性質，提高分析問題和解決問題教學內容一、復習引入：1二項式定理及其特例：（1），（2）.2二項展開式的通項公式：3求常數項、有理項和系數最大的項時，要根據通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數及項數的整數性 二、講解新課：1二項式系數表（楊輝三角）展開式的二項式系數，當依次取時，二項式系數表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數都等于它肩

2、上兩個數的和2二項式系數的性質：展開式的二項式系數是，可以看成以為自變量的函數定義域是，例當時，其圖象是個孤立的點（如圖）（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等（）直線是圖象的對稱軸（2）增減性與最大值，相對于的增減情況由決定，當時，二項式系數逐漸增大由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；當是偶數時，中間一項取得最大值；當是奇數時，中間兩項，取得最大值（3）各二項式系數和：，令，則三、講解范例：例1在的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和證明：在展開式中，令，則，即，即在的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和說明：由性

3、質（3）及例1知.例2已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）當時，展開式右邊為，當時，（2）令， 令， 得：，.（3）由展開式知：均為負，均為正，由（2）中+ 得：， 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數解：=，原式中實為這分子中的，則所求系數為例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數解：在(x+1)5展開式中，常數項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數項為25=32，含x的項為展開式中含x的項為 ，此展開式中x的系數為240例5.已知的展開式中，第五項與第三項的二項式系數之比為14；3，求展開式的常數項解：依題意3n(n-1)(n-

4、2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設第r+1項為常數項，又 令，此所求常數項為180四、課堂練習：（1）的展開式中二項式系數的和為，各項系數的和為，二項式系數最大的項為第項；（2）的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為（3）+，則（ ）AB.C.D.（4）已知：，求：的值答案：（1），；（2）展開式中只有第六項的二項式系數最大，；（3）A五、小結 ：1性質是組合數公式的再現，性質是從函數的角度研究的二項式系數的單調性，性質是利用賦值法得出的二項展開式中所有二項式系數的和；2因為二項式定理中的字母可取任意數或式，所以在解題時根據題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數

5、和的一種重要方法二項式定理(四)二、講解范例：例1 設，當時，求的值解：令得：，點評：對于，令即可得各項系數的和的值；令即，可得奇數項系數和與偶數項和的關系例2求證：證（法一）倒序相加：設又， 由+得：，即（法二）：左邊各組合數的通項為，例3已知：的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式中系數最大的項解：令，則展開式中各項系數和為，又展開式中二項式系數和為，（1），展開式共項，二項式系數最大的項為第三、四兩項，（2）設展開式中第項系數最大，則，即展開式中第項系數最大，例4已知，求證：當為偶數時，能被整除分析：由二項式定理的逆用化簡，再把變形，

6、化為含有因數的多項式，為偶數，設（）， （） ，當=時，顯然能被整除，當時，（）式能被整除，所以，當為偶數時，能被整除三、課堂練習：1展開式中的系數為，各項系數之和為2多項式（）的展開式中，的系數為3若二項式（）的展開式中含有常數項，則的最小值為（ ）4某企業欲實現在今后10年內年產值翻一番的目標，那么該企業年產值的年平均增長率最低應 （ ） A.低于5 B.在56之間 C.在68之間 D.在8以上5在的展開式中，奇數項之和為，偶數項之和為，則等于（ ）A.0 B. C. D.6求和：7求證：當且時，8求的展開式中系數最大的項 答案：1. 45, 0 2. 0 提示：3. B 4. C 5. D 6.7. (略) 8.四、小結 ：二項式定理體現了二項式的正整數冪的展開式的指數、項數、二項式系數等方面的內在聯系，涉及到二項展開式中的項和系數的綜合問題，只需運用通項公式和二項式系數的性質對條件進行逐個節破，對于與組合數有關的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時注意二項式定理的逆用五、課后作業：1已知展開式中的各項系數的和等于的展開式的常數項，而展開式的系數的最大